1.3二项式定理 同步练习（含详解）

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人教新课标A版
选修2-3
1.3二项式定理
一、单选题
1.的展开式中
的系数是（???
）.
A.?-210?????????????????????????????????????B.?-120?????????????????????????????????????C.?120?????????????????????????????????????D.?210
2.展开式中的第2项是（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
3.在
的展开式中，
的系数为（???
）．
A.?-5?????????????????????????????????????????B.?5?????????????????????????????????????????C.?-10?????????????????????????????????????????D.?10
4.设
，那么
的值为（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?-1
5.的展开式中x3y3的系数为（???
）
A.?5?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?15?????????????????????????????????????????D.?20
6.二项式
的展开式中
的系数为（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
7.已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝（??
）
A.?－4???????????????????????????????????????B.?－3???????????????????????????????????????C.?－2???????????????????????????????????????D.?－1
8.二项式
的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（???
）
A.?-160??????????????????????????????????????B.?-80??????????????????????????????????????C.?80??????????????????????????????????????D.?160
9.若
的展开式中常数项为第9项，则n的值为（???
）
A.?7???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?10
10.设
，那么
的值为（???
）
A.?0??????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????D.?
11.在
展开式中，二项式系数的最大值为m，含
的系数为n，则
（???
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
12.的展开式的各项系数和为-32，则该展开式中含
项的系数是（???
）
A.?-15?????????????????????????????????????????B.?-5?????????????????????????????????????????C.?5?????????????????????????????????????????D.?15
二、多选题
13.关于
的说法，正确的是(???
)
A.?展开式中的二项式系数之和为2048?????????????????????B.?展开式中只有第6项的二项式系数最大
C.?展开式中第6项和第7项的二项式系数最大???????????D.?展开式中第6项的系数最小
14.若
（
），则（???
）
A.??????????????????????????????????????????????????????????????????
B.?
C.???????????
D.?
三、填空题
15.在
的展开式中，
的系数是________．
的展开式中
的系数为________．
设
（1+2x）5＝a1+a2x+a3x2+a4x3+a5x4+a6x5
，
则a5＝________；a1+a2+a3＝________．
已知
，则
________，
________.
四、解答题
19.己知
的二项展开式中二项式系数之和为256.
（1）求n的值；
（2）求该展开式中
项的系数.
20.设
（1）求
的值；
（2）求
的值.
21.二项式
的展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大.
（1）求所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的有理项.
22.已知
的展开式的系数和比
的展开式的二项式系数和大992，求
的展开式中：
（1）二项式中的常数项；
（2）系数小于1025的项．
23.已知二项式
．
（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；
（2）若
，求二项式的值被7除的余数．
24.对任意
，定义
，其中
，
为正整数.
（1）求
，
的值；
（2）求证：
；
（3）设
是否存在实数
，使得
对任意
恒成立？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
B
解：由二项式定理求出
的展开式的通项公式为所以对应的项的r=7,所以系数
的系数是
，
所以
的系数是-120.
故答案为：B
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，从而求出
的展开式中
的系数.
2.答案：
C
解：
展开式中的第2项是
.
故答案为：C.
【分析】直接利用二项展开式的通项公式计算后，即可做出判定.
3.答案：
C
解：
展开式的通项公式为：
，
令
可得：
，则
的系数为：
.
故答案为：C.
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定
的系数即可.
4.答案：
B
解：由
，
令
得：
，①
令
得：
，②
联立①②得：
，
，
即
，
故答案为：B.
【分析】由赋值法求二项式展开式系数可得
，
，代入运算即可得解.
5.答案：
C
解：
展开式的通项公式为
（
且
）
所以
与
展开式的乘积可表示为：
或
在
中，令
，可得：
，该项中
的系数为10，
在
中，令
，可得：
，该项中
的系数为
所以
的系数为
故答案为：C
【分析】求得
展开式的通项公式为
（
且
），即可求得
与
展开式的乘积为
或
形式，对r分别赋值为3，1即可求得
的系数，问题得解.
6.答案：
A
解：通项为
令
，则
，
.
故答案为：A
【分析】根据二项式展开的通项，求解即可.
7.答案：
D
解：由题意知：
，解得
，
故答案为：D.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出
x2的系数，再利用
(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，从而求出a的值。
8.答案：
A
解：由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，
即
，
解得：
，
二项式
的展开式中，通项
，
当r=3时，取得常数项，
.
故答案为：A
【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n，结合通项即可得到常数项.
9.答案：
D
解：
展开式的通项公式为：
，
展开式中的常数项是第9项，
即当
时
，
故答案为：D
【分析】先求出
展开式的通项公式，结合题意可得当
时，x的幂指数等于零，由此求得n的值.
10.答案：
C
解：因为
，
令
得
，
令
得
，
所以
故答案为：C
【分析】令
和
得到
，
，再整体代入可得；
11.答案：
A
解：因为
，所以二项展开式中共有7项，所以第四项的二项式系数最大，
所以
，
根据二项展开式的通项公式可得
，
所以
.
故答案为：A.
【分析】根据二项式系数的性质可求得m，根据通项公式可求得n.
12.答案：
B
解：
的展开式的各项系数和为-32
令
，可得
，
故：
，解得：
，
故：
，
设
展开通项公式为：
，
设
展开通项公式为：
，
则
展开通项公式为展开式中含
，
即
中
的幂是9，
故
，可得
，
又
且
，
可得
或
，
当
，由
，
当
，由
，
该展开式中含
项的系数为
.
故答案为：B.
【分析】因为
的展开式的各项系数和为
，令
，可得
，解得
，结合二项式展开通项公式，即可求得答案.
二、多选题
13.答案：
A,C,D
解：对于A：由二项式系数的性质知，
的二项式系数之和为
，项A符合题意；
因为
的展开式共有12项，中间两项的二项式系数最大，
即第6项和第7项的二项式系数最大，选项C符合题意，B不符合题意；
因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，
所以展开式中第6项的系数最小，项D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】根据二项式系数的性质即可判断A；由
为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断BC；由展开式中第6项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断D.
14.答案：
A,C,D
解：由题意，当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
，
，
，
当
时，
，
所以
.
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法解决，对于A：通过给x赋值
即可判断；对于B和C：通过给
赋值
和
，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；对于D：
通过给
赋值
得到结果即可作出判断.
三、填空题
15.答案：
10
解：因为
的展开式的通项公式为
，令
，解得
．
所以
的系数为
．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令
的指数为2，即可求出．
16.答案：
－40
解：二项式展开式的通项公式为：
,
令
，可得：
的系数为：
，
故答案为-40.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出
的展开式中
的系数.
17.答案：
80；130
解：（1+2x）5＝a1+a2x+a3x2+a4x3+a5x4+a6x5
，
则a5＝
＝80．
a1+a2+a3＝
＝130．
故答案为：80；130．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．
18.答案：
0；665
解：因为
，
令
可得：
.
所以：
；
；
；
；
……
；
；
故
.
故答案为：0，665.
【分析】根据其特点可知
为
的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令
即可求解．
四、解答题
19.答案：
（1）解：
，解得
；
（2）解：
，令
可得
时，
，
即
项的系数为
．
【分析】（1）根据题意，由二项式定理可得
，解可得
，（2）先求得展开式的通项，可得
，将r的值代入通项计算可得答案.
20.答案：
（1）解：
的展开式的通项为
所以
；
（2）解：当
时，
，
当
时，
，得
，
所以
【分析】（1）写出
的展开式的通项即可得到答案；（2）令
，求出
的值，然后再令
，求出
的值，从而可求出
的值.
21.答案：
（1）解：由题意，二项展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大，可得
，
因此所有二项式系数的和
.
（2）解：二项展开式的通项为：
由有理项的定义，可得
，所以
或
，
因此所求有理项为
，
.
【分析】（1）由二项展开式的性质求得
的值，结合二项式系数的性质，即可求得二项式系数的和；（2）取得二项展开式的通项为：
，根据有理项的定义，求得
或
，代入即可求解.
答案：
（1）解：
的展开式的系数和为
，
的展开式的二项式系数和为
，
由题意可得
，可得
或
（舍），所以，
.
展开式的通项为
，
令
，可得
，
因此展开式中的常数项为
；
（2）解：
展开式的各项分别为：
，
，
，
，
，
，
，
，
。
，
.
因此，系数小于1025的项为
，
，
，
，
.
【分析】（1）根据题意可得出关于n的等式，即可解出正整数
的值，进而写出
的展开式的通项，令x的指数为零，求出参数的值，代入通项公式即可得出展开式中的常数项；（2）利用二项展开式通项写出展开式中的每一项，进而可得出结果.
答案：
（1）解：
二项式
的二项式系数之和为512，
，
．
由
，解得：
，
展开式中系数最大的项为第8项，为
；
（2）解：若
，
，
问题转化为
被7除的余数，
，即余数为2．
【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质求得
的值，再根据通项公式可得展开式中第
项的系数，从而求得展开式中系数最大的项．（2）二项式即
，按照二项式定理展开，问题化为
被7除的余数．再根据
，按照二项式定理展开，可得它被7除的余数．
24.答案：
（1）解：
，
所以
，所以
，
，
所以
，
；
（2）解：
，
所以
，
，
所以
，
所以
；
（3）解：由（2）知，
，设
，
则
，
可以发现
会随着n的增大而增大，
所以
会随着n的增大而减小，并且会越来越接近与1，
所以
会无限趋近与
，且比
要大；
当
时，
则
，
同理可以确定
会随着会随着n的增大而增大，会无限趋近与
，
从而可以得出满足
的
的值为
.
【分析】（1）分别令
和
，将
和
展开，求得
的值，进而求得结果；（2）分别列出
和
的值，列出关系，得到
，从而证得结果；（3）假设存在实数
，满足条件，根据题意找关系，确定出
的极限，求得结果.
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