第一章计数原理 章末测试（含详解）

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人教新课标A版
选修2-3
第一章计数原理
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数(
??)
A.?7?????????????????????????????????????????B.?64?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?81
2.的展开式中
的系数是（???
）
A.?-210?????????????????????????????????????B.?-120?????????????????????????????????????C.?120?????????????????????????????????????D.?210
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（???
）
A.?120种???????????????????????????????????B.?90种???????????????????????????????????C.?60种???????????????????????????????????D.?30种
4.若
的展开式中
的系数之和为-10，则实数a的值为（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?1
5.袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，则至少有一个红球的取法种数是（???
）
A.???????
?????B.?????????
C.??????
??????D.?
6.的展开式中x3y3的系数为（???
）
A.?5?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?15?????????????????????????????????????????D.?20
7.某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学A，B，其中A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（???
）
A.?21种????????????????????????????????????B.?23种????????????????????????????????????C.?25种????????????????????????????????????D.?27种
8.设
，那么
的值为（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?-1
9.由
这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（?
??）
A.?180??????????????????????????????????????B.?196??????????????????????????????????????C.?210??????????????????????????????????????D.?224
10.二项式
的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（???
）
A.?-160??????????????????????????????????????B.?-80??????????????????????????????????????C.?80??????????????????????????????????????D.?160
11.的展开式的各项系数之和为5，则该展开式中x项的系数为（???
）
A.?-66????????????????????????????????????????B.?-18????????????????????????????????????????C.?18????????????????????????????????????????D.?66
12.已知
，其中
，则
=（???
）
A.?405??????????????????????????????????????B.?810??????????????????????????????????????C.?324??????????????????????????????????????D.?648
二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13.在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（???
）
A.?抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有
种
B.?抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有
种
C.?抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有
种
D.?抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有
种
14.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（???
）
A.?某学生从中选3门，共有30种选法
B.?课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C.?课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D.?课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
15.若
（
），则（???
）
A.??????????????????????????????????????????????????????????????????B.?
C.???????????D.?
16.若
且
，则实数m的值可以为（???
）
A.?3?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?0?????????????????????????????????????????D.?1
三、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
17.某校开设A类选修课5门，B类选修课4门，一位同学从中供选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有________.种
18.在
的展开式中，
的系数是________．
19.有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种.
20.某校
名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共
种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以
人一组或者
人一组.如果
人一组，则必须角色相同；如果
人一组，则
人角色相同或者
人为级别连续的
个不同角色.已知这
名学生扮演的角色有
名士兵和
名司令，其余角色各
人，现在新加入
名学生，将这
名学生分成
组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.
四、解答题（本大题共6小题，共54分）
21.（本小题8分）
己知
的二项展开式中二项式系数之和为256.
（1）求n的值；
（2）求该展开式中
项的系数.
（本小题8分）
已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？
（2）两名教师不能相邻的排法有多少种？
（3）两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？
（本小题8分）
设
（1）求
的值；
（2）求
的值.
（本小题8分）
有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.
（1）共有几种放法？
（2）恰有2个盒子不放球，有几种放法？
（本小题10分）
已知二项式
．
（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；
（2）若
，求二项式的值被7除的余数．
（本小题12分）
江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).
（1）共有多少种分配方案？
（2）6名学生确定后，分成A、B、C、D四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？
（3）6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
C
解：根据题意，由于四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，那么先选择裤子有3种，那么在选上衣有4种，根据分步乘法计数原理，得到结论为3×4=12，
故答案为：C.
【分析】利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，从而求出不同的配法种数.
2.答案：
B
解：由二项式定理求出
的展开式的通项公式为
所以对应的项的r=7,所以系数
的系数是
，
所以
的系数是-120.
故答案为：B
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，从而求出
的展开式中
的系数.
3.答案：
C
解：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有
；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有
；
最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有
种.
故答案为：C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
4.答案：
B
解：由
，
则展开式中
的系数为
，
展开式中
的系数为
，
二者的系数之和为
，得
.
故答案为：B.
【分析】由
，进而分别求出展开式中
的系数及展开式中
的系数，令二者之和等于-10，可求出实数a的值.
5.答案：
C
解：由题意，袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，
至少有一个红球的取法有：
①直接法：
种不同的取法；
②间接法：
.
故答案为：C.
【分析】根据题意，可分别利用直接法和间接法求解，得到答案.
6.答案：
C
解：
展开式的通项公式为
（
且
）
，
所以
与
展开式的乘积可表示为：
或
，
在
中，令
，可得：
，该项中
的系数为10，
在
中，令
，可得：
，该项中
的系数为
，
所以
的系数为
.
故答案为：C
【分析】求得
展开式的通项公式为
（
且
），即可求得
与
展开式的乘积为
或
形式，对r分别赋值为3，1即可求得
的系数，问题得解.
7.答案：
C
解：A大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，
故报考A大学的选择方案有
种；
B大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门，
故报考B大学的选择方案有
种；
该同学将来想报考这两所大学中的其中一所，
那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有
种.
故答案为：C.
【分析】报考A大学的选择方案有
种，报考B大学的选择方案有
种，利用分步计数原理计算即可得解.
8.答案：
B
解：由
，
令
得：
，①
令
得：
，②
联立①②得：
，
，
即
，
故答案为：B.
【分析】由赋值法求二项式展开式系数可得
，
，代入运算即可得解.
9.答案：
C
解：分两种情况：
⑴个位与百位填入0与8，则有
个；
⑵个位与百位填入1与9，则有
个.
则共有
个.
故答案为：C
【分析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案．
10.答案：
A
解：由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，
即
解得：
，
二项式
的展开式中，通项
，
当r=3时，取得常数项，
.
故答案为：A
【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n，结合通项即可得到常数项.
11.答案：
D
解：令
，可得
，∴
．
又
的通项公式为
，
在
的展开式中x的系数为
．
故答案为：D．
【分析】令
得各项系数和，可求得
，再由二项式定理求得
的系数，注意多项式乘法法则的应用．
12.答案：
B
解：令
可得
，
由题意可得
，解得
，
所以
，
两边同时求导得
，
令
可得
，
所以
.
故答案为：B.
【分析】令
可得
，对
两边求导，再令
即可得解.
二、多选题
13.答案：
A,C,D
解：根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，
即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，
则合格品的取法有
种，不合格品的取法有
种，
则恰好有1件是不合格品的取法有
种取法；则
正确，
错误；
若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况，
①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有
种取法，
②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有
种取法，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有
种，
正确；
也可以使用间接法：在100件产品中任选3件，有
种取法，
其中全部为合格品的取法有
种，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有
种取法，
正确；
故答案为：ACD．
【分析】根据题意，依次分析选项，对于
，由分步计数原理计算可得合格品的取法以及不合格品的取法，由分步计数原理可得
正确，
错误；对于
，分2种情况讨论：①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，由加法原理可得
；
对于
，由间接法分析：先计算在100件产品中任选3件的取法数目，再计算其中全部为合格品的取法，据此分析可得
正确；
综合即可得答案．
14.答案：
C,D
解：6门中选3门共有
种，A不符合题意；
课程“射”“御”排在不相邻两周，共有
种排法，B不符合题意；
课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有
种排法，C符合题意；
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有
种排法，D符合题意．
故答案为：CD
【分析】根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可.
15.答案：
A,C,D
解：由题意，当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
，
，
，
当
时，
，
所以
.
故答案为：ACD.
【分析】利用赋值法解决，对于A：通过给x赋值
即可判断；对于B和C：通过给
赋值
和
，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；对于D：
通过给
赋值
得到结果即可作出判断.
16.答案：
A,D
解：因为
，
令
得：
，
令
得：
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
或
，
解得：
或
.
故答案为：AD
【分析】根据
，令
得到
，令
得到
，然后根据
求解.
三、填空题
17.答案：
70
解：由条件可知3门课程可以分成以下两种情况：
类2门，
类1门，共有
种，
或
类1门，
类2门，共有
，
所以不同的选法共有
种方法.
故答案为：70
【分析】根据分类计数原理，3门功课可分成2种情况，分别求方法种数.
18.答案：
10
解：因为
的展开式的通项公式为
，令
，解得
．
所以
的系数为
．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令
的指数为2，即可求出．
19.答案：
36
解：任选2名同学去一个小区为，
再对三组进行排列为，
即种.
【分析】利用实际问题的已知条件结合排列数、组合数解决计数问题的方法，再结合分步乘法计数原理，从而求出不同的安排方法种数.
20.答案：
9
解：依题意，
名学生分成
组，则一定是
个
人组和
个
人组.
①若新加入的学生是士兵，则可以将这
个人分组如下：
名士兵；士兵、排长、连长各
名；
营长、团长、旅长各
名；师长、军长、司令各
名；
名司令.
所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；
②若新加入的学生是排长，则可以将这
个人分组如下：
名士兵；连长、营长、团长各
名；
旅长、师长、军长各
名；
名司令；
名排长.
所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；
③若新加入的学生是连长，则可以将这
个人分组如下：
名士兵；士兵、排长、连长各
名；
连长、营长、团长各
名；旅长、师长、军长各
名；
名司令.
所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；
④若新加入的学生是营长，则可以将这
个人分组如下：
名士兵；排长、连长、营长各
名；
营长、团长、旅长各
名；师长、军长、司令各
名；
名司令.
所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；
⑤若新加入的学生是团长，则可以将这
个人分组如下：
名士兵；排长、连长、营长各
名；
旅长、师长、军长各
名；
名司令；
名团长.
所以新加入的学生可以是团长.
综上所述，新加入学生可以扮演
种角色.
故答案为：
.
【分析】对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下
个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.
四、解答题
21.答案：
（1）解：
，解得
；
（2）解：
，令
，
可得
时，
，
即
项的系数为
．
【分析】（1）根据题意，由二项式定理可得
，解可得
，（2）先求得展开式的通项，可得
，将r的值代入通项计算可得答案.
22.答案：
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
.
【分析】（1）先排教师有
种方法，再排学生有
种方法，再根据分步计数原理即可得到答案；（2）先排4名学生有
种方法，再把老师插入4个学生形成的5个空位中，有
种方法，根据分步计数原理即可得到答案；（3）先将2名老师看成一个整体，有
种方法，再从4名学生种选2名排两端，有
种方法，最后将剩下的2名学生和老师这个整体全排列，有
种方法，由乘法原理即可得到答案.
23.答案：
（1）解：
的展开式的通项为
所以
；
（2）解：当
时，
，
当
时，
，
得
，
所以
【分析】（1）写出
的展开式的通项即可得到答案；（2）令
，求出
的值，然后再令
，求出
的值，从而可求出
的值.
24.答案：
（1）解：每一个球有4种放法，故共有44＝256（种）
（2）解：恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；
第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有
种，再放到2个小盒中有
种放法，共有
种方法；
第二类，2个盒子中各放2个小球有
种放法，
故恰有2个盒子不放球的方法共有
种放法.
【分析】（1）明确共有4个球，每个球都有4种放法，盒子可以不放球，根据分步计数原理求解.（2）首先明确有两个盒子不放球的含义是将4个球放入2个盒子中，放球分为两类，一类是1个盒子放3个另一个放1个，二类是两个盒子各放2个，分别求出每一类的放法，再用加法计数原理求解.
25.答案：
（1）解：
二项式
的二项式系数之和为512，
，
．
由
，解得：
，
展开式中系数最大的项为第8项，为
；
（2）解：若
，
，
问题转化为
被7除的余数，
，即余数为2．
【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质求得
的值，再根据通项公式可得展开式中第
项的系数，从而求得展开式中系数最大的项．（2）二项式即
，按照二项式定理展开，问题化为
被7除的余数．再根据
，按照二项式定理展开，可得它被7除的余数．
26.答案：
（1）解：由题意得：问题转化为不定方程
的非负整数解的个数，
∴方程又等价于不定方程
的正整数解的个数，
利用隔板原理得：方程正整数解的个数为
，
∴共有多少
种分配方案；
（2）解：将问题转化为不定方程
的正整数解个数，分组后再进行排列，
∵不定方程
的正整数解个数为
，
∴共有
种方法；
（3）解：设6名学生在3个安检的人数分别为
，
∵方程
非负整数解的个数等价于方程
的正整数解的个数，
∴6人进站的不同方案种数为
.
【分析】（1）将问题转化为不定方程
的非负整数解问题，再利用隔板原理进行求解；（2）将问题转化为不定方程
的正整数解问题，再利用隔板原理、排列数公式进行求解；（3）将问题转化为不定方程方程
的正整数解问题，再利用隔板原理、排列数公式进行求解.
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