2.1离散型随机变量及其分布列 同步练习（含详解）

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人教新课标A版
选修2-3
2.1离散型随机变量及其分布列
一、单选题
1.已知随机变量
的分布列如下，则
（???
）
X
0
1
2
3
P
p
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
2.若随机变量
的分布列如下：
X
-3
-2
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当
时，
的取值范围是（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
3.一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A，“第2次拿出的是白球”为事件B，则事件A发生的条件下事件B发生的概率是（??
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
4.若随机变量X的分布列如下表，则
（
??）
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
5.随机变量X的取值范围为0，1，2，若
，则D（X）＝（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
6.一个不透明的袋中装有6个白球，4个红球球除颜色外，无任何差异．从袋中往外取球，每次任取1个，取出后记下颜色不放回，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量
，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
7.随机变量
的分布列如下表所示，则
（???
）
X
-2
-1
1
P
a
A.?0?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?-1?????????????????????????????????????????D.?-2
8.若样本数据
的标准差为8，则数据
，
，
，
的标准差为（?
）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?15?????????????????????????????????????????C.?16?????????????????????????????????????????D.?32
9.已知随机变量
和
，其中
，且
，若
的分布列如下表，则m的值为（?
）
ξ
1
2
3
4
P
?
m
n
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
10.已知随机变量
的取值为
.若
，
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
11.已知
，随机变量
的分布列如下表所示，则（???
）
A.????????????????????????????????B.?
C.????????????????????????????????D.?
12.一个长方形塑料箱子中装有20个大小相同的乒乓球，其中标有数字0的有10个，标有数字
的有
个（
）.
现从该长方形塑料箱子中任取一球，其中
表示所取球的标号.
若
，则
（???
）
?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
二、多选题
13.设随机变量
的分布列为
，则
(???
)
A.????????
???B.???????????
C.????
???????D.?
三、填空题
14.已知X服从二项分布
，则
________.
15.每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次
，各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若
，则n的最小值为________.
16.有一种游戏，其规则为：每局游戏进行两轮积分，玩家先从标有1?2?3?4的4张卡片中随机抽取一张卡片，将卡片上数字的相反数作为得分；再从标有1?2?3?4的4张卡片中随机抽取两张卡片，将两张卡片数字之差的绝对值的1.2倍作为得分.则玩家玩一局游戏的得分期望为________.
17.设随机变量
的分布列如下：
X
0
1
2
P
若
，则
的最大值是________，
的最大值是________.
四、解答题
18.编号为a，b，c的三位学生随机入座编号为a，b，c的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是
.
（1）求随机变量
的取值和对应的概率，并列出分布列；
（2）求随机变量
的数学期望及方差.
19.一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是
，试验不成功的概率都是
甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套.
（1）求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；
（2）记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X，求X的分布列和期望
.
20.一个袋中有10个大小相同的球，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有5个，标号3的球有2个.第一次从袋中任取一个球，放回后第二次再任取一个球（假设取到每个球的可能性都相等）.记两次取到球的标号之和为X.
（1）求随机变量X的分布列；
（2）求随机变量X的数学期望.
21.口袋里装有大小相同的小球8个，其中红色球3个，黄色球3个，蓝色球2个。第一次从口袋里任意取球一个，记下颜色后放回口袋，第二次再任意取球一个，记下颜色后放回口袋，规定取到红色球记1分，取到黄色球记2分，取到蓝色球记3分．第一次与第二次取到球的得分之和为ξ。
（1）当ξ为何值时，其发生的概率最小？请说明理由；
（2）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）.
22.某服装店每年春季以每件15元的价格购入M型号童裤若干，并开始以每件30元的价格出售，若前2个月内所购进的M型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的M型号童裤将以每件10元的价格低价处理（根据经验，1个月内完全能够把M型号童裤低价处理完毕，且处理完毕后，该季度不再购进M型号童裤）．该服装店统计了过去18年中每年该季度M型号童裤在前2个月内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．
前2月内的销售量（单位：件）
30
40
50
频数（单位：年）
6
8
4
（1）若今年该季度服装店购进M型号童裤40件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售M型号童裤获取利润X的分布列和期望；（结果保留一位小数）
（2）依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件M型号童裤时所获得的平均利润最大．
23.某环保小组为了检测n（
且
）条河流是否含有某种细菌，现对这n条河流进行取样检测（每一条河流取一份水样样本）．以往的检测方法是将样本逐份检测，为了提高检测的效率，该环保小组设计了混合检测法，其步骤如下：将其中m（
且
）份水样样本分别取样混合在一起检测，若检测结果不含该细菌，则这
份水样样本只要检测这一次即可；若检测结果含有该细菌，为了明确这m份水样究竟哪份或哪几份含有该细菌，需要对这
份再逐份检测，此时这m份水样样本的检测总次数为
．针对这n份水样样本，先采取混合检测，剩余的水样样本再逐份检测．假设在接受检测的水样样本中，每份样本是否含有该细菌相互独立，且每份样本含有该细菌的概率均为
．
（1）若
，
，设所有水样样本检测结束时检测总次数为X，求X的分布列；
（2）假设
，在混合检测中，取其中k（
且
）份水样样本，记这
份样本需要检测的总次数为Y．若Y的数学期望
，求p（用k表示），并求当
时p的估计值（结果保留三位有效数字）．
参考数据：
．
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：由题意可得
，则
故答案为：D
【分析】根据分布列概率之和为1，建立方程求解.
2.答案：
B
解：由题意可得
，
，
，则
.
故答案为：B
【分析】根据分布列可得
，
，即可确定m的取值范围.
3.答案：
A
解：由题意可理解为条件概率，则可由条件概率公式得；
,
故答案为：A
【分析】利用实际问题的已知条件结合条件概率求概率公式，从而求出事件A发生的条件下事件B发生的概率.
4.答案：
D
解：
，
故答案为：D.
【分析】利用随机变量的分布列结合求期望公式，从而求出E（X）的值.
5.答案：
C
解：设
，
，
由题意，
，且
，
解得
，
，
，
故答案为：C．
【分析】设
，
，则由
，
，列出方程组，求出
，
，由此能求出
.
6.答案：
C
解：
表示前k个球为白球，第
个球为红球，
，
，
，
所以
，
故答案为：C．
【分析】
表示前k个球为白球，第
个球为红球，则
，由此计算可得结论．
7.答案：
D
解：由随机变量的分布列的性质，可得
，解得
，
则
，
所以
.
故答案为：D.
【分析】由随机变量的分布列的性质，求得
，再由期望的计算公式，求得
，进而求得
，得到答案.
8.答案：
C
解：样本数据
，
，
，
的标准差为
，所以方差为64，
由
可得数据
，
，
，
的方差为
，所以标准差为
.
故答案为：C
【分析】利用标准差和方差的关系式结合已知条件，由
可得数据
，
，
，
的方差，进而求出数据
，
，
，
的标准差.
9.答案：
A
解：
且
，则
即
?，解得
.
故答案为：A
【分析】根据随机变量
和
的关系得到
，概率和为1，联立方程组解得答案.
10.答案：
C
解：由题意，设
，则
，
又
，解得
，
所以
，
，
则
，
所以
.
故答案为：C.
【分析】设
，可得
，结合
，可求出P，进而可求出方差
，再结合
，可求出答案.
11.答案：
B
解：
，
，
令
，则
，
；
故答案为：B
【分析】代入期望公式，用作差法易比较期望的大小；取
，计算期望和方差，方差的大小易比较.
12.答案：
A
解：
的可能取值为：0，1，2，3，4，
则
，
，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
p
所以
，
，
因为
，
所以
，
，
又因为
，解得
，
所以
.
故答案为：A
【分析】由题意，
的可能取值为：0，1，2，3，4，求得相应的概率，列出分布列，求得其期望和方差，再根据
，利用
，
求解即可.
二、多选题
13.答案：
A,B,C
解：
随机变量
的分布列为
,
，
解得
，A符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意.
故答案为：A、B、C.
【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得
，即可判断A、D；由
即可判断B；由
即可判断C，即可得解.
三、填空题
14.答案：
-62
解：因为
服从二项分布
，所以
所以
【分析】先根据二项分布数学期望公式得
，再求
.
15.答案：
6
解：实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率为
，
由题知
，则
，即
，
所以正整数n的最小值为6.
故答案为：6
【分析】先计算出实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率，根据二项分布期望公式列不等式，解不等式求得
的最小值.
16.答案：
解：由题意得分为
的概率都是
，
任两个卡片差的绝对值有1，2，3，得分分别为1.2，2.4，3.6，
概率分别为：得分1.2的概率是
，得分2.4的概率是
，得分为3.6的概率是
，
因此所求期望为
．
故答案为：
．
【分析】求出各得分的概率，利用期望公式计算期望．
17.答案：
；
解：①由题意可得
解得
.
因为
，
所以
的最大值是
，
②因为
，
因为
，所以
，
所以
的最大值是
【分析】①根据概率性质求得
，计算出
的范围；②计算出
结合二次函数性质求解取值范围.
四、解答题
18.答案：
（1）解：随机变量
的取值为0，1，3
??
??
??
所以概率分布列为：?
0
1
3
（2）解：
【分析】（1）求得当ξ分别为0,1,3时的概率,列分布列；（2）代入期望和方差公式可得结论.
答案：
（1）解：记事件“一次试验中，选择第
套方案并试验成功”为
，
，2，
则
．
3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率：
．
（2）解：X的可能值为0，1，2，3，则
，
，
，1，2，3，
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
．
【分析】（1）记事件“一次试验中，选择第
套方案并试验成功”为
，
，2，得，由此能求出3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率；（2）
的可能值为0，1，2，3，则
，
，
，1，2，3，由此能求出
的分布列和期望．
20.答案：
（1）解：由题意，随机变量X的可能取值为
.
，
，
，
，
.
则随机变量X的分布列为：
X
2
3
4
5
6
P
（2）解：由（1）可知，
随机变量X的数学期望
.
【分析】（1）随机变量X的可能取值为
，分别求出每种情况所对应的概率，进而可得出X的分布列；（2）结合X的分布列，及数学期望的公式，求解即可.
21.答案：
（1）解：依题意，随机变量E的可能取值是2，3，4，5，6，
因为P（ξ=2）=
，
P（ξ=3）=
，
P（ξ=4）=
，
P（ξ=5）=
，
P（ξ=6）=
，
所以当ξ=6时，其发生的概率最小，最小值为
；
（2）解：由（1）知E（ξ）=2×
+3×
+4×
+5×
+6×
=
.
【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合随机变量的分布列，从而推出当ξ=6时，其发生的概率最小，最小值为
；（2）利用随机变量的分布列结合随机变量的期望公式，从而求出随机变量ξ的数学期望E（ξ）。
22.答案：
（1）解：设服装店某季度销售M型号童裤获得的利润为X（单位：元）．
当需求量为30时，
，
当需求量为40时，
，
当需求量为50时，
．
所以
，
．
故X的分布列为
X
400
600
P
则
（元），
所以服装店今年销售M型号童裤获得的利润均值为533.3元；
（2）解：设销售M型号童裤获得的利润为Y．
依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，
则服装店每年该季度购进的M型号童裤的件数取值可能为30件，40件，50件．
当购进M型号童裤30件时，
；
当购进
型号童裤40件时，
；
当购进
型号童裤50件时，
．
所以服装店每年该季度在购进40件M型号童裤时所获得的平均利润最大．
【分析】（1）先求出利润X的可能值，根据过去18年中销售量的频数表，得出
对应的概率，得到X的分布列，求出期望；（2）分别求出购进M型号童裤30件、40件、50件时，利润的期望值，比较即可得出结论.
23.答案：
（1）解：依题意得X的可能取值为2，4，
且
，
则X的分布列为
X
2
4
P
（2）解：由题可知Y的所有可能取值为1，
，
所以
，
所以
．
因为
，所以
，即
，
则
，即
．
当
时，
．
故p的估计值为0.258．
【分析】（1）随机变量X的可能取值为2，4，利用独立重复试验的概率计算公式即可求出分布列.（2）根据题意求出Y的所有可能取值为1，
，利用独立重复试验的概率计算公式求出Y的分布列，再利用数学期望的计算公式即可求解.
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精品试卷·第
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