2.2二项分布及其应用 同步练习（含详解）

中小学教育资源及组卷应用平台
人教新课标A版
选修2-3
2.2二项分布及其应用
一、单选题
1.已知随机变量
服从二项分布
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
2.夏日炎炎，雪糕成为很多人的解暑甜品，一个盒子里装有10个雪糕，其中草莓味2个，巧克力味3个，芒果味5个，假设三种口味的雪糕外观完全相同，现从中任意取3个，则恰好有一个是芒果味的概率为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
3.已知一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于??（
????）
????
?????????B.???????????
C.??????????
???D.?
5.一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，则概率
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
6.某学生参加一次选拔考试,有5道题,每题10分.已知他解题的正确率为
,若40分为最低分数线,则该生被选中的概率是(??
)
A.????????????????B.??????????????C.?????????????D.?
7.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知
，则
??
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
8.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
9.设
，其中
，且
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
10.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（???
）
A.?10名????????????????????????????????????B.?18名????????????????????????????????????C.?24名????????????????????????????????????D.?32名
11.某电子管正品率为
，次品率为
，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，
则P(ξ＝3)＝(??
)
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
12.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为
，各成员的支付方式相互独立，设
为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，
，则
（???
）
A.?0.7????????????????????????????????????????B.?0.6????????????????????????????????????????C.?0.4????????????????????????????????????????D.?0.3
二、填空题
13.设随机变量
，则
________
设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为
,则事件A恰好发生一次的概率为________
15.5G指的是第五代移动通信技术，比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍，某公司在研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为0.5．则该公司攻克这项技术难题的概率为________
16.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为
“阳爻”和
“阴爻”，如图就是重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是________
三、解答题
17.袋子
和
中均装有若干个大小相同的红球和白球，从
中摸出一个红球的概率是
，从
中摸出一个红球的概率为
.
（1）从
中有放回地摸球，每次摸出1个，有3次摸到红球即停止，求恰好摸5次停止的概率.
（2）若
、
两个袋子中的球数之比为
，将
、
中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是
，求
的值.
18.现有A和B两个盒子装有大小相同的黄乒乓球和白乒乓球，A盒装有2个黄乒乓球，2个白乒乓球；B盒装有2个黄乒乓球，
个白乒乓球.
现从A、B两盒中各任取2个乒乓球.
（1）若
，求取到的4个乒乓球全是白的概率；
（2）若取到的4个乒乓球中恰有2个黄的概率为
,
求
的值.
19.某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.
方案一：每满100元减20元；
方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
红球个数
3
2
1
0
实际付款
7折
8折
9折
原价
（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率；
（2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？
20.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
21.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
22.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过
的包裹收费10元；重量超过
的包裹，除
收费10元之外，超过
的部分，每超出
（不足
，按
计算）需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表：
包裹重量（单位：kg）
1
2
3
4
5
包裹件数
43
30
15
8
4
公司对近60天，每天揽件数量统计如表：
包裹件数范围
0～100
101～200
201～300
301～400
401～500
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率．
（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：
表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为
，
则
，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合二项分布求概率的方法，从而求出的值.
2.答案：
A
解：根据题意：
.
故答案为：A.
【分析】根据题意得到
，计算得到答案.
3.答案：
D
解：依题意，摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是
.
故答案为：D
【分析】用
减去没有白球的概率，求得所求概率.
4.答案：
B
解：根据题意，由于一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，当取出12次球就停止了，说民最后一次取出的为红球，前11次有9次红球，则利用可放回的抽样可知，每次试验中抽到红球的概率为，
取到白球的概率为，
则可知=，
故答案为B。
【分析】主要是考查了二项分布的概率的计算，属于基础题.
5.答案：
B
解：，设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，
，
第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：
.
故答案为：B.
【分析】先求各事件概率再利用条件概率公式求解即可.
6.答案：
C
解：依题意可知，学生做题正确题目数列满足二项分布，
学生必须答对4个题或者5个题才能够被选上，
答对4个题的概率为
，答对5个题的概率为
，
故该生被选中的概率是
.
故答案为：C.
【分析】学生被选上，分数为40分或者50分，也即要答对4个题或者5个题，根据二项分布概率计算公式，得出正确选项.
7.答案：
B
解：由题意知，
，
，解得
，
，
．
故答案为：B．
【分析】由题意知
，知
，由此即可求出
．
8.答案：
B
解：由题意
，
事件
为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：
若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；
若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，
故共有
个事件
由条件概率的定义：
故答案为：B
【分析】由条件概率的定义
，分别计算
即得解.
9.答案：
D
解：
故答案为：D
【分析】根据二项分布概率公式化简
求得
，再根据二项分布概率公式求结果.
10.答案：
B
解：由题意，第二天新增订单数为
，
故需要志愿者
名.
故答案为：B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
11.答案：
C
解：ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，
故其概率是
，
故答案为：C.
【分析】准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键，
表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.
12.答案：
B
解：
或
，
,可知
故答案为：B.
【分析】判断出为二项分布，利用公式
进行计算即可．
二、填空题
13.答案：
解：因为随机变量
,
所以
.
故答案为:
.
【分析】根据二项分布的概率公式可得:
.
14.答案：
解：假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，
设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B（3，p），
则有1﹣（1﹣p）3=
，得p=
，
则事件A恰好发生一次的概率为
.
故答案为：
．
【分析】根据在三次独立重复试验中,事件A至少发生一次的概率，求出事件A在每次试验中的成功概率，即可求出事件A恰好发生一次的概率.
15.答案：
0.8
解：根据题意：
.
故答案为：0.8.
【分析】计算不能攻克的概率，得到答案.
16.答案：
解：每一“爻组”为“阳爻”的概率为
，
次独立重复试验，
“阳爻”恰出现
次的概率为
.
故答案为：
.
【分析】根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求的概率.
三、解答题
17.答案：
（1）解：设“恰好摸5次停止”为事件
，
由题意得恰好摸5次停止即第5次摸到红球，前4次中有2次摸到红球，
所以恰好摸5次停止的概率为
，
即恰好摸5次停止的概率为
；
（2）解：设袋子A中有
个球，则袋子B中有
个球，
则袋子A中有
个红球，则袋子B中有
个红球，
由题意得
，解得
.
【分析】(1)根据实际问题的已知条件结合二项分布求概率公式求出恰好摸5次停止的概率.
（2）根据实际问题的已知条件结合古典概型求概率公式求出
的值.
18.答案：
（1）设“取到的4个乒乓球全是白球”为事件A,
则
；
（2）解：设“取到的4个乒乓球中恰有2个黄的”为事件B,
则
，
化简得：
?，
解得
或
（舍去），所以
.
【分析】（1）利用已知条件用组合数的方法结合求概率公式，求出当时
，取到的4个乒乓球全是白的概率；（2）利用已知条件用组合数的方法结合求分类计数原理求概率公式，求出事件B（即取到的4个乒乓球中恰有2个黄色）的概率，再利用事件B的概率与n的关系式，从而求出n的值.
19.答案：
（1）解：该顾客获得7折优惠的概率
，
该顾客获得8折优惠的概率
，
故该顾客获得7折或8折优惠的概率
；
（2）解：若选择方案一，则付款金额为
.
若选择方案二，记付款金额为
元，则
可取的值为126，144，162，180.
，
，
则
.
因为
，所以选择方案二更为划算.
【分析】（1）计算顾客获得7折优惠的概率
，获得8折优惠的概率
，相加得到答案.（2）选择方案二，记付款金额为
元，则
可取的值为126，144，162，180.，计算概率得到数学期望，比较大小得到答案.
20.答案：
（1）解：由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关，
如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p
；
（2）解：当温度大于等于25℃时，需求量为500，
Y＝450×2＝900元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为300，
Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，
当温度低于20℃时，需求量为200，
Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，
当温度大于等于20时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：
90﹣（2+16）＝72，
∴估计Y大于零的概率P
．
【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．
21.答案：
（1）解：最高气温低于25时这种酸奶的需求量不超过300，
则
；
（2）解：当最高气温不低于25时，需求量为500，进货450瓶均可售出，
所以利润?
（元）；
当最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶，进货450瓶只能售出300瓶，
所以利润
（元）；
当最高气温低于20，需求量为200瓶，进货450瓶只能售出200瓶，
所以利润
（元）；
当利润
时，最高气温不低于20，
所以
或者
.
【分析】（1）需求量不超过300相当于气温低于25，根据表格可以直接看出概率；
（2）首先求出各区间的利润，根据各区间Y的可能值直接求出Y大于零的概率.
答案：
（1）解：样本包裹件数在
之间的天数为
，
频率
，故可估计概率为
，
显然未来
天中，包裹件数在
之间的天数
服从二项分布，
即
，故所求概率为
；
（2）解：（i）样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位：
）
快递费（单位：元）
包裹件数
故样本中每件快递收取的费用的平均值为
（元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为
元；
（ii）根据题意及（2）（i），揽件数每增加
，
可使前台工资和公司利润增加
（元），
将题目中的天数转化为频率，得
包裹件数范围
包裹件数（近似处理）
天数
频率
若不裁员，则每天可揽件的上限为
件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数（近似处理）
实际揽件数
频率
?
故公司平均每日利润的期望值为
（元）；
若裁员
人，则每天可揽件的上限为
件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数（近似处理）
实际揽件数
频率
?
故公司平均每日利润的期望值为
（元）.
因
，故公司将前台工作人员裁员
人对提高公司利润不利.
【分析】（1）先计算出包裹件数在
之间的天数为
，然后得到频率，估计出概率，运用二项分布求出结果(2)运用公式求出每件包裹收取的快递费的平均值；(2)先将天数转化为频率，分别计算出不裁员和裁员两种情况的利润，从而作出比较.
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精品试卷·第
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