2.3离散型随机变量的均值与方差 同步练习（含详解）

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人教新课标A版
选修2-3
2.3离散型随机变量的均值与方差
一、单选题
1.若随机变量X的分布列如下表，则
（
??）
X
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
2.随机变量X的取值范围为0，1，2，若
，则D（X）＝（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.设服从二项分布
的随机变量X的期望与方差分别是10和8，则
的值分别是（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
4.已知随机变量
（???
）
A.?9???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?3
5.若随机变量ξ的分布列如下表，那么E(5ξ+4)等于（???
）
ξ
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
A.?15????????????????????????????????????????B.?11????????????????????????????????????????C.?2.2????????????????????????????????????????D.?2.3
6.已知随机变量X的分布列如下：
若随机变量Y满足
，则Y的方差
（???
）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
7.已知随机变量
和
，其中
，且
，若
的分布列如下表，则m的值为（?
）
ξ
1
2
3
4
P
?
m
n
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
8.随机变量
的分布列如下表所示，则
（???
）
X
-2
-1
1
P
a
A.?0?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?-1?????????????????????????????????????????D.?-2
9.已知
，随机变量
的分布列如下表所示，则（???
）
A.????????????????????????????????B.?
C.????????????????????????????????D.?
10.已知
，随机变量X的分布列如图：
X
-1
0
1
P
a
b
则当b在
内增大时（???
）
A.?增大???????????????????B.?减小???????????????????C.?先增后减???????????????????D.?先减后增
11.已知随机变量
的取值为
.若
，
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
12.一个长方形塑料箱子中装有20个大小相同的乒乓球，其中标有数字0的有10个，标有数字
的有
个（
）.
现从该长方形塑料箱子中任取一球，其中
表示所取球的标号，若
，则
（???
）
?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
二、填空题
13.已知X服从二项分布
，则
________
14.已知随机变量X的分布列如下表：
X
0
2
a
P
b
其中
.且
，则b=________
，
=________.
15.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P（ξ＝0）＝________；E（ξ）＝________．
16.设随机变量
的分布列如下：
X
0
1
2
P
若
，则
的最大值是________，
的最大值是________.
三、解答题
17.编号为a，b，c的三位学生随机入座编号为a，b，c的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是
.
（1）求随机变量
的取值和对应的概率，并列出分布列；
（2）求随机变量
的数学期望及方差.
18.一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是
，试验不成功的概率都是
甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套.
（1）求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；
（2）记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X，求X的分布列和期望
.
19.一个袋中有10个大小相同的球，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有5个，标号3的球有2个.第一次从袋中任取一个球，放回后第二次再任取一个球（假设取到每个球的可能性都相等）.记两次取到球的标号之和为X.
（1）求随机变量X的分布列；
（2）求随机变量X的数学期望.
20.某服装店每年春季以每件15元的价格购入M型号童裤若干，并开始以每件30元的价格出售，若前2个月内所购进的M型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的M型号童裤将以每件10元的价格低价处理（根据经验，1个月内完全能够把M型号童裤低价处理完毕，且处理完毕后，该季度不再购进M型号童裤）．该服装店统计了过去18年中每年该季度M型号童裤在前2个月内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）
前2月内的销售量（单位：件）
30
40
50
频数（单位：年）
6
8
4
（1）若今年该季度服装店购进M型号童裤40件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售M型号童裤获取利润X的分布列和期望；（结果保留一位小数）
（2）依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件M型号童裤时所获得的平均利润最大．
21.口袋里装有大小相同的小球8个，其中红色球3个，黄色球3个，蓝色球2个。第一次从口袋里任意取球一个，记下颜色后放回口袋，第二次再任意取球一个，记下颜色后放回口袋，规定取到红色球记1分，取到黄色球记2分，取到蓝色球记3分．第一次与第二次取到球的得分之和为ξ。
（1）当ξ为何值时，其发生的概率最小？请说明理由；
（2）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）.
22.2020年春节期间，全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中.当时武汉多家医院的医用防护物资库存不足，某医院甚至面临断货危机，南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资，得知消息后，立即决定无偿捐赠这批医用防护物资，需要用A、B两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉.已知从南昌到武汉有两条合适路线选择，且选择两条路线所用的时间互不影响.据调查统计2000辆汽车，通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下：
所用的时间（单位：小时）
路线1的频数
200
400
200
200
路线2的频数
100
400
400
100
假设汽车A只能在约定交货时间的前5小时出发，汽车B只能在约定交货时间的前6小时出发（将频率视为概率）.为最大可能在约定时间送达这批物资，来确定这两车的路线.
（1）汽车A和汽车B应如何选择各自的路线.
（2）若路线1、路线2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元，且每车医用物资生产成本为40万元（其他费用忽略不计），以上费用均由生产商承担，作为援助金额的一部分.根据这两辆车到达时间分别计分，具体规则如下（已知两辆车到达时间相互独立，互不影响）：
到达时间与约定时间的差x（单位：小时）
该车得分
0
1
2
生产商准备根据运输车得分情况给出现金排款，两车得分和为0，捐款40万元，两车得分和每增加1分，捐款增加20万元，若汽车A、B用（1）中所选的路线运输物资，记该生产商在此次援助活动中援助总额为Y（万元），求随机变量Y的期望值，（援助总额
一次性费用
生产成本
现金捐款总额）
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：
，
故答案为：D.
【分析】利用随机变量的分布列结合求期望公式，从而求出E（X）的值.
2.答案：
C
解：设
，
，
由题意，
，且
，
解得
，
，
，
故答案为：C．
【分析】设
，
，则由
，
，列出方程组，求出
，
，由此能求出
.
3.答案：
A
解：题意可得
解得
.
故答案为：A
【分析】根据二项分布的期望和方差公式建立方程组即可得解.
4.答案：
B
解：因为随机变量
所以
,
所以
.
故答案为：B
【分析】先求出D(X),再求D(2X+1)的值.
5.答案：
A
解：由已知，得：Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，
∴E(5ξ+4)=5E(ξ)+4=5×2.2+4=15.
故答案为：A.
【分析】由已知条件求出Eξ=2.2，再由E(5ξ+4)=5E(ξ)+4，能求出结果.
6.答案：
D
解：由题意可知，
，
则
，
则
，
所以
．
故答案为：D
【分析】结合分布列性质求出a，再由离散型随机变量的数学期望与方差计算公式分别求出对应的数学期望与方差即可．
7.答案：
A
解：
且
，则
，
即
，
则?，解得
.
故答案为：A
【分析】根据随机变量
和
的关系得到
，概率和为1，联立方程组解得答案.
8.答案：
D
解：由随机变量的分布列的性质，可得
，解得
，
则
，
所以
.
故答案为：D.
【分析】由随机变量的分布列的性质，求得
，再由期望的计算公式，求得
，进而求得
，得到答案.
9.答案：
B
解：
，
，
令
，则
，
；
故答案为：B
【分析】代入期望公式，用作差法易比较期望的大小；取
，计算期望和方差，方差的大小易比较.
10.答案：
A
解：由已知，
，
，
所以
，所以当b在
内增大时，
增大.
故答案为：A
【分析】根据期望及方差公式计算即可得到答案.
11.答案：
C
解：由题意，设
，则
，
又
，解得
，
所以
，
，
则
，
所以
.
故答案为：C.
【分析】设
，可得
，结合
，可求出P，进而可求出方差
，再结合
，可求出答案.
12.答案：
A
解：
的可能取值为：0，1，2，3，4，
则
，，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
p
所以
，
，
因为
，
所以
，，
又因为
，解得
，所以
.
故答案为：A
【分析】由题意，
的可能取值为：0，1，2，3，4，求得相应的概率，列出分布列，求得其期望和方差，再根据
，利用
，
求解即可.
二、填空题
13.答案：
-62
解：因为
服从二项分布
，所以
所以
【分析】先根据二项分布数学期望公式得
，再求
.
14.答案：
；24
解：由题意
，解得
，
；
所以
，
所以
.
故答案为：
，
.
【分析】由概率和为1即可的
，由题意结合期望公式可得
，根据方差公式求得
后利用
即可得解.
15.答案：
；1
解：由题意知，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，
计算P（ξ＝0）＝
+
＝
；
P（ξ＝1）＝
+
＝
；
P（ξ＝2）＝
+
＝
；
所以E（ξ）＝0×
+1×
+2×
＝1．
故答案为：
，1．
【分析】由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2；分别计算P（ξ＝0）、P（ξ＝1）和P（ξ＝2），再求E（ξ）的值．
16.答案：
；
解：①由题意可得
解得
.
因为
，
所以
的最大值是
，
②因为
，
因为
，所以
，
所以
的最大值是
【分析】①根据概率性质求得
，计算出
的范围；②计算出
结合二次函数性质求解取值范围.
三、解答题
17.答案：
（1）解：随机变量
的取值为0，1，3，
??
??
??
所以概率分布列为：?
0
1
3
（2）解：
【分析】（1）求得当ξ分别为0,1,3时的概率,列分布列；（2）代入期望和方差公式可得结论.
答案：
（1）解：记事件“一次试验中，选择第
套方案并试验成功”为
，
，2，
则
．
3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率为：
；
（2）解：X的可能值为0，1，2，3，则
，
，
，1，2，3，
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
则．
【分析】（1）记事件“一次试验中，选择第
套方案并试验成功”为
，得
，由此能求出3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率；（2）
的可能值为0，1，2，3，得，
，由此即可求出
的分布列和期望．
19.答案：
（1）解：由题意，随机变量X的可能取值为
，
，
，
，
，
.
则随机变量X的分布列为：
X
2
3
4
5
6
P
（2）解：由（1）可知，
随机变量X的数学期望
.
【分析】（1）随机变量X的可能取值为
，分别求出每种情况所对应的概率，进而可得出X的分布列；（2）结合X的分布列，及数学期望的公式，求解即可.
20.答案：
（1）解：设服装店某季度销售M型号童裤获得的利润为X（单位：元）．
当需求量为30时，
，
当需求量为40时，
，
当需求量为50时，
．
所以
，
．
故X的分布列为：
X
400
600
P
则
（元），
所以服装店今年销售M型号童裤获得的利润均值为533.3元；
（2）解：设销售M型号童裤获得的利润为Y，
依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，
则服装店每年该季度购进的M型号童裤的件数取值可能为30件，40件，50件，
当购进M型号童裤30件时，
；
当购进
型号童裤40件时，
；
当购进
型号童裤50件时，
．
所以服装店每年该季度在购进40件M型号童裤时所获得的平均利润最大．
【分析】（1）先求出利润X的可能值，根据过去18年中销售量的频数表，得出
对应的概率，得到X的分布列，求出期望；（2）分别求出购进M型号童裤30件、40件、50件时，利润的期望值，比较即可得出结论.
21.答案：
（1）解：依题意，随机变量E的可能取值是2，3，4，5，6，
因为P（ξ=2）=
，
P（ξ=3）=
，
P（ξ=4）=
，
P（ξ=5）=
，
P（ξ=6）=
，
所以当ξ=6时，其发生的概率最小，最小值为
；
（2）解：由（1）知E（ξ）=2×
+3×
+4×
+5×
+6×
=
.
【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合随机变量的分布列，从而推出当ξ=6时，其发生的概率最小，最小值为
；（2）利用随机变量的分布列结合随机变量的期望公式，从而求出随机变量ξ的数学期望E（ξ）.
22.答案：
（1）解：频率分布表如下：
所用的时间（单位：小时）
路线1的频率
0.2
0.4
0.2
0.2
路线2的频率
0.1
0.4
0.4
0.1
设
，
分别表示汽车
在约定交货时间前5小时出发选择路线1、2将物资运往武汉且在约定交货时间前到达；
、
分别表示汽车
在约定交货前6小时出发选择路线1、2将物资运往武汉且在约定交货时间前到达；
，
，
，
，
所以汽车A选择路线1，汽车B选择路线2；
（2）解：设
表示汽车A选择路线1时的得分，
表示汽车B选择路线2时的得分，
，
的分布列分别是：
0
1
2
P
0.6
0.2
0.2
0
1
P
0.9
0.1
设
则X的分布列如下：
0
1
2
3
0.54
0.24
0.2
0.02
，
所以
（万元）
所以援助总额的期望值为138.8万元
.
【分析】（1）由题目中的频数分布表列出频率分布表，求出汽车
在约定交货时间前5（6）小时出发选择路线1、2将物资运往武汉且在约定交货时间前到达的概率，选择概率较大的路线；（2）设
表示汽车A选择路线1时的得分，
表示汽车B选择路线2时的得分，分别求出
，
的分布列，再求出
的分布列，求出
，即可求出
.
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精品试卷·第
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