第二章 随机变量及其分布 章末检测（含详解）

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人教新课标A版
选修2-3
第二章
随机变量及其分布
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1.已知随机变量
的分布列如下，则
（???
）
X
0
1
2
3
P
p
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
2.已知随机变量
服从二项分布
，则
（???
）．
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
3.新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布：
，若
，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（???
）
A.?0.372??????????????????????????????????B.?0.256??????????????????????????????????C.?0.128??????????????????????????????????D.?0.744
4.若随机变量
的分布列如下：
X
-3
-2
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当
时，
的取值范围是（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
5.随机变量X的取值范围为0，1，2，若
，则D（X）＝（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
6.夏日炎炎，雪糕成为很多人的解暑甜品，一个盒子里装有10个雪糕，其中草莓味2个，巧克力味3个，芒果味5个，假设三种口味的雪糕外观完全相同，现从中任意取3个，则恰好有一个是芒果味的概率为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
7.袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是
，依次从中有放回地摸球，每次摸出一个，累计2次摸到红球即停止．记3次之内（含3次）摸到红球的次数为
，则随机变量
的数学期望
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
8.设服从二项分布
的随机变量X的期望与方差分别是10和8，则
的值分别是（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
9.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（???
）
A.?10名????????????????????????????????????B.?18名????????????????????????????????????C.?24名????????????????????????????????????D.?32名
10.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
11.已知
，随机变量
的分布列如下表所示，则（???
）
A.????????????????????????????????B.?
C.????????????????????????????????D.?
12.中国剪纸是我国广大劳动人民在生产与生活实践中创造出来的一种平面剪刻艺术．民间剪纸艺术是我国优秀的非物质文化遗产之一，在千百年的发展过程中，积淀了丰厚的文化历史，取得了卓越的艺术成就．2020年3月发行的邮票《中国剪纸（二）》共4枚，第一枚邮票《三娘教子》（如图1）出自“孟母教子”的故事，讲述了母亲通过断织等行为教育孩子努力上进，懂得感恩．图2是某剪纸艺术家根据第一枚邮票用一张半径为4个单位的圆形纸片裁剪而成的《三娘教子》剪纸．为了测算图2中有关部分的面积，在圆形区域内随机投掷400个点，其中落入图案上的点有225个，据此可估计剪去部分纸片的面积为（??
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
二、多选题（本大题共2小题，每小题3分，共6分）
13.设随机变量
的分布列为
，则
(???
)
A.???????????
B.???????????
C.??????????
D.?
14.已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩
服从正态分布
，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是（???
）
附：随机变量
服从正态分布
，则
，
，
.
?该市学生数学成绩的期望为100???????????????
?该市学生数学成绩的标准差为100
C.?该市学生数学成绩及格率超过0.8???????????
D.?该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
15.已知X服从二项分布
，则
________.
某路口的交通信号灯，绿灯亮40秒后，黄灯闪烁若干秒，然后红灯亮30秒，如果一辆车到达路口时，遇到红灯的概率为
，那么黄灯闪烁的时间为________秒.
每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次
，各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若
，则n的最小值为________.
盒中有4个质地，形状完全相同的小球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球；现从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中黄球在第
次被首次取到（
表示黄球未被取到），则
________.
四、解答题（本大题共6小题，共66分）
19.（本小题10分）
编号为a，b，c的三位学生随机入座编号为a，b，c的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是
.
（1）求随机变量
的取值和对应的概率，并列出分布列；
（2）求随机变量
的数学期望及方差.
20.（本小题10分）
某服装店每年春季以每件15元的价格购入M型号童裤若干，并开始以每件30元的价格出售，若前2个月内所购进的M型号童裤没有售完，则服装店对没卖出的M型号童裤将以每件10元的价格低价处理（根据经验，1个月内完全能够把M型号童裤低价处理完毕，且处理完毕后，该季度不再购进M型号童裤）．该服装店统计了过去18年中每年该季度M型号童裤在前2个月内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．
前2月内的销售量（单位：件）
30
40
50
频数（单位：年）
6
8
4
（1）若今年该季度服装店购进M型号童裤40件，依据统计的需求量试求服装店该季度销售M型号童裤获取利润X的分布列和期望；（结果保留一位小数）
（2）依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件M型号童裤时所获得的平均利润最大．
21.（本小题10分）
一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是
，试验不成功的概率都是
甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套.
（1）求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；
（2）记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X，求X的分布列和期望
.
22.（本小题12分）
2020年4月，受新型冠状病毒疫情的影响，某校初三年级500名学生参加了市里组织的线上联考，这500名学生的数学成绩（满分120分）的频率分布直方图如图所示（用样本的频率作为概率）.
（1）由频率分布直方图，可以认为学生成绩z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ，σ2分别取考生的平均成绩
（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）和考生成绩的方差S2
，
请估计该校500名学生的成绩不低于99.31分的人数（结果四舍五入取整数）.
（2）现从该市参加线上联考的学生中随机抽取20名，设其中有k名学生的数学成绩在[100，120]内的概率为P（X＝k）（k＝0，1，2，…20），则当P（X＝k）最大时，求k的值.
附：①s2＝28.2，
；②若z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜z＜μ+3σ）≈0.9973.
（本小题12分）
在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第5局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜，在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分，现有甲乙两队进行排球比赛：
（1）若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局.
接下来两队赢得每局比赛的概率均为
，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
（2）若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局比赛.
在决胜局（第5局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权，若甲发球时甲赢1分的概率为
，乙发球时甲赢1分的概率为
，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了
个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率
.
24.（本小题12分）
某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
表1：一级滤芯更换频数分布表
图2：二级滤芯更换频数条形图
一级滤芯更换的个数
8
9
频数
60
40
?
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
（1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；
（2）记
表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求
的分布列及数学期望；
（3）记
分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若
，且
，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定
的值.
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
D
解：由题意可得
，则
故答案为：D
【分析】根据分布列概率之和为1，建立方程求解.
2.答案：
D
解：
表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为
，
则
，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合二项分布求概率的方法，从而求出的值。
3.答案：
C
解：因为
，所以根据正态曲线的对称性知，
.
故答案为：C.
【分析】根据正态曲线的对称性可求得结果.
4.答案：
B
解：由题意可得
，
，
，则
.
故答案为：B
【分析】根据分布列可得
，
，即可确定m的取值范围.
5.答案：
C
解：设
，
，
由题意，
，且
，
解得
，
，
，
故答案为：C．
【分析】设
，
，则由
，
，列出方程组，求出
，
，由此能求出
.
6.答案：
A
解：根据题意：
.
故答案为：A.
【分析】根据题意得到
，计算得到答案.
7.答案：
A
解：由题意可得
的取值为0，1，2，
，
，
，
所以数学期望
.
故答案为：A
【分析】首先得到随机变量
的取值，再分别写出概率，再根据期望公式计算
8.答案：
A
解：题意可得
解得
.
故答案为：A
【分析】根据二项分布的期望和方差公式建立方程组即可得解.
9.答案：
B
解：由题意，第二天新增订单数为
，
故需要志愿者
名.
故答案为：B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
10.答案：
B
解：由题意
事件
为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：
若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；
若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，
故共有
个事件，
由条件概率的定义：
故答案为：B
【分析】由条件概率的定义
，分别计算
即得解.
11.答案：
B
解：解：
，
，
令
，则
，
；
故答案为：B
【分析】代入期望公式，用作差法易比较期望的大小；取
，计算期望和方差，方差的大小易比较.
12.答案：
C
解：
剪去部分纸片上共有
个点，
剪去部分纸片的面积为
.
故答案为：C.
【分析】根据几何概型中的面积比可求得结果.
二、多选题
13.答案：
A,B,C
解：
随机变量
的分布列为
,
，
解得
，A符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
，D不符合题意.
故答案为：A、B、C.
【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得
，即可判断A、D；由
即可判断B；由
即可判断C即可得解.
14.答案：
A,C
解：数学成绩
服从正态分布
，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，A符合题意B不符合题意；
及格率为
，C符合题意；
不及格概率为
，优秀概率
，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据正态分布定义得到A符合题意B不符合题意，及格率为
，C符合题意，不及格概率为
，优秀概率
，D不符合题意，得到答案.
三、填空题
15.答案：
-62
解：因为
服从二项分布
，所以
所以
【分析】先根据二项分布数学期望公式得
，再求
.
16.答案：
5
解：设黄灯闪烁的时间为x秒，则遇到红灯的概率为
，
故答案为：5
【分析】根据几何概型概率公式列方程
即可解得结果.
17.答案：
6
解：实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率为
，
由题知
，则
，
即
，所以正整数n的最小值为6.
故答案为：6
【分析】先计算出实验一次，至少有1枚硬币正面朝上的概率，根据二项分布期望公式列不等式，解不等式求得
的最小值.
18.答案：
解：
的可能取值为0，1，2，
，
，
故
；
所以
.
故答案为：
【分析】
的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求出
.
四、解答题
19.答案：
（1）解：随机变量
的取值为0，1，3
??
??
??
所以概率分布列为：?
0
1
3
（2）解：
，
.
【分析】（1）求得当ξ分别为0,1,3时的概率,列分布列；（2）代入期望和方差公式可得结论.
20.答案：
（1）解：设服装店某季度销售M型号童裤获得的利润为X（单位：元）．
当需求量为30时，
，
当需求量为40时，
，
当需求量为50时，
．
所以
，
，
故X的分布列为：
X
400
600
P
则
（元），
所以服装店今年销售M型号童裤获得的利润均值为533.3元；
（2）解：设销售M型号童裤获得的利润为Y，
依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，
则服装店每年该季度购进的M型号童裤的件数取值可能为30件，40件，50件．
当购进M型号童裤30件时，
；
当购进
型号童裤40件时，
；
当购进
型号童裤50件时，
．
所以服装店每年该季度在购进40件M型号童裤时所获得的平均利润最大．
【分析】（1）先求出利润X的可能值，根据过去18年中销售量的频数表，得出
对应的概率，得到X的分布列，求出期望；（2）分别求出购进M型号童裤30件、40件、50件时，利润的期望值，比较即可得出结论.
答案：
（1）解：记事件“一次试验中，选择第
套方案并试验成功”为
，
，2，
则
，
3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率：
；
（2）解：X的可能值为0，1，2，3，则
，
，
，1，2，3，
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
．
【分析】（1）记事件“一次试验中，选择第
套方案并试验成功”为
，得
，由此能求出3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率
；（2）
的可能值为0，1，2，3，则
，由
即可求出
的分布列和期望．
22.答案：
（1）解：
，
，
所以z～
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以该校500名学生的成绩不低于99.31分的人数约为79人；
（2）解：由频率分布直方图可知学生成绩在[100，120]内的频率为
，
所以
～
，则
，
故
，
令
，可得
，令
，可得
，
所以当
时，P（X＝k）取得最大值.
【分析】（1）计算
，根据正态分布的概率公式和对称性得出
，再计算人数即可；（2）计算成绩在[100，120]内的频率，根据二项分布的概率公式计算
，令
，得出概率的增减性，从而得出
的值.
23.答案：
（1）解：甲队最后羸得整场比赛的情况为第4局赢或第4局输第5局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为
；
（2）解：根据比赛规则，x的取值只能为2或4，对应比分分别为16：14，17：15
，
比分为16：14是两队打了2个球后甲羸得整场比赛，
即打第1个球甲发球甲得分，打第2个球甲发球甲得分，
此时概率为P(2)=
，
比分为17：
15是两队打了4个球后甲羸得整场比赛，
即打第1个球甲发球甲得分，打第2个球甲发球甲失分，
打第3个球乙发球甲得分，打第4个球甲发球甲得分，
或打第1个球甲发球甲失分，打第2个球乙发球甲得分，
打第3个球甲发球甲得分，打第4个球甲发球甲得分，
此时概率为P(4)=
【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合互斥事件求概率公式和独立事件求概率公式，从而求出甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）利用实际问题的已知条件结合互斥事件求概率公式和独立事件求概率公式，从而求出x的取值及相应的概率
。
答案：
（1）解：由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，
设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16”为事件
，
因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，
二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，
所以
；
（2）解：由柱状图知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，由题意X的可能取值为8，9，10，11，12，
从而
，
，
.
所以X的分布列为
8
9
10
11
12
0.04
0.16
0.32
0.32
0.16
（个），
或用分数表示也可以为
X
8
9
10
11
12
p
（个）；
（3）解：解法一：记
表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用（单位：元）
因为
，且
，
1°若
，则
，
（元）；
2°若
，则
，
（元）.
因为
，故答案为：择方案：
.
解法二：记
分别表示该客户净水系统在使用期内购买一级滤芯和二级滤芯所需费用（单位：元）
1°若
，则
，
的分布列为
1280
1680
0.6
0.4
880
1080
0.84
0.16
该客户的净水系统在使用期内购买的各级滤芯所需总费用为
（元）；
2°若
，则
，
的分布列为
800
1000
1200
0.52
0.32
0.16
（元），
因为
，
所以选择方案：
.
【分析】（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套净水系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，而由一级滤芯更换频数分布表和二级滤芯更换频数条形图可知，一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，再由乘法原理可求出概率；（2）由二级滤芯更换频数条形图可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，而
的可能取值为8，9，10，11，12，然后求出概率，可得到
的分布列及数学期望；（3）由
，且
，可知若
，则
，或若
，则
，再分别计算两种情况下的所需总费用的期望值比较大小即可.
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精品试卷·第
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