3.1回归分析的基本思想及其初步应用 同步练习（含详解）

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人教新课标A版
选修2-3
3.1回归分析的基本思想及其初步应用
一、单选题
1.已知呈线性相关的变量x与y的部分数据如表所示：
x
2
4
5
6
8
y
3
4.5
m
7.5
9
若其回归直线方程是
，则m=（???
）
A.?5.5??????????????????????????????????????????B.?6??????????????????????????????????????????C.?6.5??????????????????????????????????????????D.?7
2.两个线性相关变量
与
的统计数据如表：
x
9
9.5
10
10.5
11
y
11
10
8
6
5
其回归直线方程是
，则相对应于点
的残差为（???
）
A.?0.1????????????????????????????????????????B.?0.4????????????????????????????????????????C.?0.3????????????????????????????????????????D.?0.2
3.观察下列各图形，
其中两个变量
具有相关关系的图是（???
）
A.?①②??????????????????????????????????????B.?①④??????????????????????????????????????C.?③④??????????????????????????????????????D.?③
4.已知一组样本数据点
，用最小二乘法求得其线性回归方程为
.若
的平均数为1，则
（???
）
A.?10?????????????????????????????????????????B.?11?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?13
5.某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据：
广告费用
(万元)
0.2
0.4
0.5
0.6
0.8
销售额
(万元)
3
4
6
5
7
销售额
(万元)与广告费用
(万元)之间有线性相关关系，回归方程为
(
为常数)，现在要使销售额达到7.8万元，估计广告费用约为（???
）万元.
A.?0.75???????????????????????????????????????B.?0.9???????????????????????????????????????C.?1.5???????????????????????????????????????D.?2.5
6.为了估计加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下表：
零件数
（个）
1
3
5
7
加工时间
（分钟）
0.5
a
2
2.5
若零件数x与加工时间y具有线性相关关系，且线性回归方程为
，则a＝（???
）
A.?1????????????????????????????????????????B.?0.8????????????????????????????????????????C.?1.09????????????????????????????????????????D.?1.5
7.调查某市出租车使用年限
和该年支出维修费用
（万元），得到数据如下：
使用年限
2
3
4
5
6
维修费用
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
则线性回归方程是（???
）
A.??????????
B.??????????
C.??????????
D.?
8.已知关于某设各的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料，
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
由上表可得线性回归方程
，若规定当维修费用y＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（?
）
A.?7???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?10
9.某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
70
根据表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为
，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（???
）
?45?????????????????????????????????????????B.?55?????????????????????????????????????????C.?50?????????????????????????????????????????D.?60
10.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据
得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（???
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
11.某地两防指挥部在汛期对当地一条河流连续进行监测，下表是最近几日该河流某段的水位情况，
河流水位表（1）
第
日
第1日
第2日
第3日
第4日
第5日
第6日
第7日
水位
（米）
3.5
3.7
3.8
3.9
4.3
4.4
4.8
而根据河流的堤防情况规定：水位超过一定高度将分别启动相应预警措施（见下表），当水位达到保证水位时，防汛进入紧急状态，防汛部门要按照紧急防汛期的权限，采取各种必要措施，确保堤防等工程的安全，并根据“有限保证、无限负责”的精神，对于可能出现超过保证水位的工程抢护和人员安全做好积极准备，
水位预警分级表（2）
水位
水位分类
设防水位
警戒水位
保证水位
预警颜色
黄色
橙色
红色
现已根据上表得到水位
的回归直线方程为
，据上表估计（???
）
A.?第8日将要启动洪水橙色预警??????????????????????????????B.?第10日将要启动洪水红色预警
C.?第11日将要启动洪水红色预警????????????????????????????D.?第12日将要启动洪水红色预警
12.下列说法错误的是（???
）
A.?回归直线始终过样本点（
x1
，
y1
），（
x2
，
y2
），…，（
xn
，
yn
）
的中心（
）
B.?若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于0
C.?在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D.?在线性回归模型中，相关指数R2越接近于1，说明回归的效果越好
二、多选题
13.为了对变量
与
的线性相关性进行检验，由样本点
、
、
、
求得两个变量的样本相关系数为
，那么下面说法中错误的有（???
）
A.?若所有样本点都在直线
上，则
B.?若所有样本点都在直线
上，则
C.?若
越大，则变量
与
的线性相关性越强
D.?若
越小，则变量
与
的线性相关性越强
14.在2020年3月15日,某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的售价
元和销售量
件之间的一组数据如表所示：
价格
9
9.5
10
10.5
11
销售量
11
10
8
6
5
根据公式计算得相关系数
,其线性回归直线方程是：
,
则下列说法正确的有(???
)
参考：
?有
的把握认为变量
具有线性相关关系???
?回归直线恒过定点
C.??
D.?当
时,
的估计值为12.8
三、填空题
15.下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量
（吨）与相应的生产能耗
（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到
关于
的线性回归方程为
，那么表中
的值为________．
3
4
5
6
2.5
4
4.5
16.为了了解家庭月收入
（单位：千元）与月储蓄
（单位：千元）的关系，从某居民区随机抽取10个家庭，根据测量数据的散点图可以看出
与
之间具有线性相关关系，其回归直线方程为
，若该居民区某家庭月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为________千元.
17.已知
与
之间的一组数据：
x
2
4
6
8
y
1
3
5
7
则
与
的线性回归方程为
必过点________．
18.以下几个命题中：
①线性回归直线方程
恒过样本中心
；
②用相关指数
可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；
③随机误差是引起预报值
和真实值
之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；
④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数
等于相关系数
的平方.
其中真命题为
________
四、解答题
19.某新上市的电子产品举行为期一个星期（7天）的促销活动，规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份，随着促销活动的有效开展，第五天工作人员对前五天中参加活动的人数进行统计，y表示第x天参加该活动的人数，得到统计表格如下，经计算得
.
x
1
2
3
4
5
y
4
m
10
23
22
参考公式：
，
（1）若y与x具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
；
（2）预测该星期最后一天参加该活动的人数（按四舍五入取到整数）.
20.这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期
和全国累计报告确诊病例数量
（单位：万人）之间的关系如下表：
日期
1
2
3
4
5
6
7
确诊病例数量
（万人）
1.4
1.7
2.0
2.4
2.8
3.1
3.5
参考数据如下表：
1.92
16.9
77.5
35.17
表中
，
，
.
参考公式：对于一组数据
，
，…，
其回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：①
，②
.
（1）根据表中的数据，
与
哪一个适宜作为确诊病例数量
关于日期
的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立
关于
的回归方程；（精确到0.01）
（3）预测2月16日全国累计报告确诊病例数.
21.为了解某地区某种农产品的年产量
(单位：吨)对价格
(单位：千元/吨)的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：
x
2
3
4
5
6
y
8
6
5
4
2
已知x和
具有线性相关关系.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，
.
（1）求
，
；
（2）求y关于x的线性回归方程
；
（3）若年产量为3.5吨，试预测该农产品的价格.
22.某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式：
，
.
（1）画出散点图；
（2）求y关于x的线性回归方程.
（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？
23.《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.
参考公式：
，
（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；
（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间
（单位：小时）与年龄
（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：
年龄
20
30
40
50
每周学习诗词的平均时间
3
3.5
3.5
4
由表中数据分析，
与
呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.
24.一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间
（分钟）和答对人数
的统计表格如下：
时间
（分钟）
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
答对人数
98
70
52
36
30
20
15
11
5
5
1.99
1.85
1.72
1.56
1.48
1.30
1.18
1.04
0.7
0.7
时间
与答对人数
的散点图如图：
附：
，
，
，
，
，对于一组数据
，
，……，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.请根据表格数据回答下列问题：
（1）根据散点图判断，
与
，哪个更适宣作为线性回归类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果，建立y与t的回归方程；（数据保留3位有效数字）
（3）根据（2）请估算要想记住
的内容，至多间隔多少分钟重新记忆一遍.（参考数据：
，
）
答案解析部分
一、单选题
1.答案：
C
解：由题意可得
，
，
则
，解得
.
故答案为：C.
【分析】先求出
，
，再根据回归方程过样本中心，可求出参数
的值.
2.答案：
D
解：
，
，
则样本中心点为
，
因为回归直线方程为
，所以有
，解之得
，
所以
，当
时，
，
则相对应于点
的残差为
.
故答案为：D.
【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入回归方程中求得
的值，进而求出回归方程，取
，求得
，再由残差公式求得结果即可.
3.答案：
C
解：由图可知，图③中这些点大致分布在一条直线附近，具有线性相关关系；
图④中这些点大致分布在一条类似二次曲线附近，具有相关关系；
而图①②中这些点分布不均匀，比较分散，不具有相关关系．
故答案为：C．
【分析】根据图形中点的分布，即可判断
是否具有相关关系．
4.答案：
C
解：
，
，
由回归直线
过样本中心点，
所以
，
解得
.
故答案为：C
【分析】利用回归直线过样本中心点
即可求解.
5.答案：
B
解：
，
，
样本点的中心为
，
代入
，得
，即
，
线性回归方程为
，
取
，得
，则
．
故答案为：
B．
【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得
，得到线性回归方程，取
求得
值即可．
6.答案：
B
解：依题意
，
，
将
代入
，得
，解得
.
故答案为：B
【分析】将样本中心点代入回归直线方程，解方程求得
的值.
7.答案：
B
解：设回归直线方程为
，
由表格中的数据可得
，
，
由最小二乘法公式可得
，
，
因此，回归直线方程为
.
故答案为：B.
【分析】设回归直线方程为
，求得
、
的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出
和
的值，进而可求得回归直线方程.
8.答案：
C
解：由已知表格得：
，
，
由于线性回归直线恒过样本中心点
，所以有：
，解得：
，
所以线性回归方程
，
由
得：
解得：
，
由于
，
所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9.
故答案为：C.
【分析】利用已知的数据表求出x和y的平均数，从而求出样本中心点的坐标，再利用线性回归直线恒过样本中心点
，求出的值，从而求出线性回归方程，再利用已知条件当维修费用y＞12时该设各必须报废，从而用线性回归方程，从而结合x的实际意义预报出该设备使用年限的最大值.
9.答案：
C
解：由表中数据得：
，
因为样本中心点
在回归直线上，
所以
，
所以
，
故答案为：C
【分析】根据样本中心点在回归直线上可得答案.
10.答案：
D
解：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率
和温度
的回归方程类型的是
.
故答案为：D.
【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
11.答案：
D
解：因为水位
的回归直线方程为
，
A.第8日的水位是
，将启动黄色预警，A不符合题意；
B.第10日的水位是
，将启动橙色预警，B不符合题意；
C.第11日的水位是
，将启动橙色预警，C不符合题意；
D.第12日的水位是
，将启动红色预警，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据回归方程，逐项计算预测值，再由河流水位表，即可判定出结果.
12.答案：
B
解：回归直线一定经过样本点的中心
，故
对；
若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数
的值越接近于1或
，
错；
在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故
对；
在线性回归模型中，相关指数
越接近于1，说明回归的效果越好，故
对，
故答案为：B．
【分析】根据回归直线方程及回归分析的相关知识判断即可；
二、多选题
13.答案：
A,B,D
解：若所有样本点都在直线
上，且直线斜率为负数，则
，A、B选项均错误；
若
越大，则变量
与
的线性相关性越强，C选项正确，D选项错误.
故答案为：ABD.
【分析】根据相关系数与变量
与
的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误.
14.答案：
A,B,C,D
解：对A,因为
,
故有99%的把握认为变量
具有线性相关关系，A符合题意；
对B,价格平均
,销售量
，
故回归直线恒过定点
.B符合题意；
对C,因为回归直线恒过定点
,故
.C符合题意；
对D,当
时,
.D符合题意；综上,ABCD均正确.
故答案为：ABCD
【分析】对A,根据
判断即可；对BC,根据回归直线方程经过样本中心点求解即可.对D；
求出
,再代入
求解即可.
三、填空题
15.答案：
3
解：
，
，
又回归直线必过样本点的中心
，
所以
，所以
．
故答案为：3.
【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．
16.答案：
1.7
解：由于
，代入
，于是得到
，
故答案为1.7.
【分析】直接代入
即得答案.
17.答案：
(5,4)
解：由题得
，
所以样本中心点为
，
所以线性回归方程
必过点（5,4），
故答案为
.
【分析】求出样本中心点即得解.
18.答案：
①③④
解：①线性回归直线方程
恒过样本中心
，所以正确.；
②用相关指数
可以刻画回归的效果，值越大说明模型的拟合效果越好，所以错误；
③随机误差是引起预报值
和真实值
之间存在误差的原因之一，
其大小取决于随机误差的方差，所以正确；
④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数
等于相关系数
的平方，所以正确.
故答案为：①③④.
【分析】由线性回归直线恒过样本中心可判断①，由相关指数的值的大小与拟合效果的关系可判断②，由随机误差和方差的关系可判断③，由相关指数和相关系数的关系可判断④.
四、解答题
19.答案：
（1）解：根据表中的数据，可得
，解得
，
则
，
，
又由
，故所求回归直线方程为
；
（2）解：将
代入
中，求得
，
故预测最后一天参加该活动的人数34.
【分析】（1）由
计算出参数
的值，再计算出
，
，
，根据公式计算可得；
（2）将
代入（1）的方程计算可得.
20.答案：
（1）解：根据表中的数据：
适宜作为确诊病例数量
关于日期
的回归方程类型；
（2）解：由已知数据得：
，
，
∴
，
，
所以，
关于
的回归方程为：
；
（3）解：把
代入回归方程得：
，
所以预测2月16日全国累计报告确诊病例数为6.6万人.
【分析】（1）直接由表格中的数据可知
适宜作为确诊病例数量
关于日期
的回归方程类型；（2）由表格中的数据求得
与
的值，则
关于
的线性回归方程可求；（3）在（2）中求得的线性回归方程中，取
求得
值即可．
答案：
（1）解：
，
，
（2）解：因为
，
所以
，
所以线性回归方程为：
；
（3）解：当
时，
，
故农产品的价格为
千元
吨.
【分析】（1）根据表中数据计算出
，
；（2）利用公式计算出
的值，则线性回归方程可求；（3）利用（2）中的线性回归方程预测农产品价格.
22.答案：
（1）解：根据表格中的数据，得到点
，
画在坐标系中，得到散点图：
（2）解：由表格中的数据，可得
，
，
则
，
，
于是所求的线性回归方程是
；
（3）解：当
时，
（百万元），
即广告费支出为一千万元，预测销售额大约为
百万元.
【分析】（1）根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图.（2）先求出
的平均数，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程.（3）将
代入回归直线方程求出y的值，即可得到广告费支出一千万元时的销售额的估计值.
23.答案：
（1）解：设污损的数字为
，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得
，
，即
，
；
（2）解：
，
，
，
又
，
，
，
，
，
时，
.
答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时.
【分析】（1）由题，列出不等式，解得x的取值范围，即可得到本题答案；
（2）由
，
，求得线性回归方程，然后令
，即可得到本题答案.
24.答案：
（1）解：由图象可知，
更适宜作为线性回归类型；
（2）解：设
，根据最小二乘法得
，
，
所以
，
因此
；
（3）解：由题意知
，
即
，
解得，即至多19.05分钟，就需要重新复习一遍.
【分析】(1)根据图象可得答案;(2)先求得
的线性回归方程,再将对数式化为指数式可得y与t的回归方程;(3)解不等式
可得答案.
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精品试卷·第
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