北师大版八年级数学上册《5.8_三元一次方程组》（共29张ppt）

导入新课
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
思考：若含有3个未知数的方程组如何求解？
*5.8 三元一次方程组
学习目标
1.理解三元一次方程组的概念．
2.能解简单的三元一次方程组．
新知导入
1、解二元一次方程组的基本思路是______，基本消元方法有____________和______________.
2、解二元一次方程组
代入消元法
消元
加减消元法
　解：①+②，得6x＝18，解得x＝3．
　　　　将x＝3代入②，得4×3-3y＝11，解得
所以原方程组的解为
①
②
新知讲解
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
活动探究一：想一想， 怎样列下面的方程组呢？（小组讨论，3min）
新知讲解
解：设甲数为x,乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组：
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系，又如何求解？
新知讲解
定义：在这个方程组中，x+y+z=23 和 2x+y-z=20都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.
（linear equation with three unknowns）
新知讲解
像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.（system of linear equations with three unknowns）
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
特点：1.共含有三个未知数；
2.含未知数的项的次数都是1；
3.共含有三个方程.
新知讲解
怎样解三元一次方程组呢？
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
用代入消元法试一试！
新知讲解
方法一：用一元一次方程求解：
解：设甲数为x,则乙数为（x-1）,丙数为（2x+x-1-20），可列一元一次方程
x+（x-1）+（2x+x-1-20）=23.
解这个一元一次方程，得x=9
所以甲数为9，乙数为8，丙数为9.
新知讲解
方法二：用二元一次方程组求解：
解：设甲数为x,乙数为y,则丙数为（2x+y-20）,可列二元一次方程组
x=y+1
x+y+2x+y-20=23
解这个方程组，得
x=9
y=8
所以甲数为9，乙数为8，丙数为6.
新知讲解
①
②
③
例 解方程组：
解：由方程②得
. ④
把④分别代入①、③，得
⑤
⑥
解由⑤、⑥组成二元一次方程组，得
新知讲解
①
②
③
例 解方程组：
把
代入④，得
经检验，x=9，y=8，z=6适合原方程组．
所以原方程组的解是
新知讲解
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次方程（如例1中的③），则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一次方程（如例1中的③ ）中缺少的那个元.
缺某元，消某元.
在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择最恰当、最简便的方法.
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢？
?
?
?
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
二、三元一次方程组的解
典例解析
例1：解方程组
解：由方程②得 x=y+1 ④
把④分别代入①③得
2y+z=22 ⑤
3y-z=18 ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
y=8,z=6
把y=8代入④，得x=9
所以原方程的解是
x=9
y=8
z=6
?
?
?
类似二元一次方程组的“消元”,把“三元”化成“二元”.
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
例2 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0; 当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
a＋b=1，
4a＋b=10.
a=3，
b=-2.
解这个方程组，得
把 代入①，得
a=3，
b=-2
c=-5,
a=3，
b=-2，
c=-5.
因此
例3 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
食物
铁
钙
维生素
A
5
20
5
B
5
10
15
C
10
10
5
三、三元一次方程组的应用
分析：（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各位x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足婴儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
解：(1)设食谱中A，B，C三种食物各x,y,z份，由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组
?
?
?
(2)?-?×4,?-?,得
⑤
?
④
⑤+④,得
⑥
?
④
通过回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B中食物1份，C种食物2份.
课堂练习
1. 若2x＋3y＋4z＝20，5x＋4y＋3z＝22，则x＋y＋z的值为（ ）
A.1 B.7
C.6 D.5
C
课堂练习
2x-y+z=3 ①
3x+4y-z=8 ②
x+y-2z=-3 ③
2. 解方程组
解： ①+②得：5x+3y=11 ④
①×2+③得：5x-y=3 ⑤
由此可得方程组：
　　　　
④－⑤得：4y=8,y=2
课堂练习
2x-y+z=3 ①
3x+4y-z=8 ②
x+y-2z=-3 ③
2. 解方程组

将y=2代入⑤知：x=1
将x=1,y=2代入①得：z=3
所以方程组的解为：
x=1
y=2
z=3
课堂练习
解：由方程③得，x＝y＋1， ④
把④分别代入①③，得
2y＋z＝25，⑤ y＋z＝16．⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
把y＝9代入④，得x＝10．
经检验，x＝10，y＝9，z＝7适合原方程组．
所以原方程组的解是
3. 解方程组
课堂练习
解：②－①，得x＋2y＝7， ④
①＋③，得4x＋3y＝18．⑤
解由④⑤组成的二元一次方程组，得
把x＝3，y＝2代入①，得z＝5．
经检验，x＝3，y＝2，z＝5适合原方程组．
所以原方程组的解是
拓展提高
求方程组的解
解： 由 ① ② 得： x：y：z=1：8：20
设x=k，y=8k，z=20k，代入③得：
k+8k+20k=58
解得：k=2
所以原方程组的解为：
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
三元一次方程组的解法
课堂总结