(共21张PPT)
数与形（1）
数学R版 六年级上
教学目标
1.通过数与形的教学，使学生初步学会一种重要的解题方法
与策略。促进学生数学思维的发展。
2.借助相关图形的操作与剪拼等情境，实现数与形之间的转化。
3. 通过数与形的训练，让学生感受到数学之美。
重点难点
通过数与形的教学，使学生初步学会一种重要的解题方法与策略。
计算出结果。
1＋3＝( )
4
1＋3 ＋5＝( )
9
1＋3＋5＋7＝( )
16
1＋3＋5＋7＋9＋…＋21=( )
？
复习导入
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是找规律。
师：今天我们就来一起走进奇妙无穷的数学广角——数与形。
观察一下，下面的图和对应的算式有什么关系？把算式补充完整。
1＋3＝( )
4
1＋3 ＋5＝( )
9
算式左边的加数是大正方形左下角的小正方形和其他“ ”形图中所包含的小正方形个数之和。
探索新知
1=（ ）
1
1=( )2
1+3=( )2
1+3+5=( )2
观察一下，下面的图和对应的算式有什么关系？把算式补充完整。
1
2
3
我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数之和，而且正好是每行或每列小正方形个数的平方。
1=( )2
1+3=( )2
1+3+5=( )2
1
2
3
我发现，从1开始的连续奇数的和正好是这列数个数的平方。
你能利用规律直接写一写吗？
如果遇到困难,可以画图来帮助。
1＋3＋5＋7=( )2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13 =( )2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17
4
7
______________________________=( 9 )2
1. 请根据例1的结论算一算。
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝( )
25
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1=( )
85
巩固提高
解析第1题
可以看成两部分：1＋3＋5＋7＝42
5＋3＋1＝ 32
42＋ 32 ＝25
解析第2题
可以看成两部分：1＋3＋5＋7+9+11+13＝72
11+9+7+5＋3＋1＝ 62
72＋ 62 ＝85
2、 下面每个图中最外圈有多少个小正方形？
照这样画下去，第5个图形最外圈有（ ）个小正方形。
40
3 －1＝ 8
2
5 －3 ＝ 16
2
2
7 －5 ＝ 24
2
2
11 －9 ＝ 40
2
2
3.用小木棒摆正方形。
摆一排20个正方形，需多少根小木棒？( )
( )根
( )根
( )根
( )根
61根
4
7
10
13
4. A、B、C、D、E五位运动员进行乒乓球比
赛，每两个人之间进行一场比赛，一共要
进行多少场比赛？
4+3+2+1=10 (场)
AB、AC、AD、AE
BC、BD、BE
CD、CE
DE
5. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多
边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第八
个图形需要黑色棋子的个数是（ ）。
80
1＋3＝22
1＋3＋5＝32
…
从1开始的连续奇数的和正好是这列数个数的平方。
课堂小结
1.完成练习二十二第5~8题。
布置作业
第一课时 数学广角——数与形
板书设计
1.如何定位教学目标，数与形相映原属奥数内容，使学生初步感受一些基本的数学思想方法是数学广角的主要教学目标之一。但在具体的课堂中如何适度把握教学要求，我虽然在课前已经钻研了教参，也已经上完了课，但这个还是值得我探究的一个问题。
2.如何设计教学活动，使学生在观察思考中建立起解决“数与形相映”问题的方法的同时发展学生的思维也是值得思考的一件事。
教学反思
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数与形（1）
学习目标
1.通过数与形的对照，利用图形形象的特点表示出数的规律。
2.培养学生归纳、推理、探索规律的能力。
学习重点
通过数与形的对照，利用图形形象的特点表示出数的规律，解决问题。
学前准备
教具准备：PPT课件
教学环节
一、设疑激趣。
1.现在来做一个口算题，抢答出结果。
1＋3＝？
1＋3＋5＋7＝？
1＋3＋5＋7＋9＋……＋21＝？
2.导入新课。
老师可以很快地告诉大家第三个小题的结果是121。大家想知道其中的奥秘吗？（板书课题）
学案
学生口算，抢答结果，并说说是如何思考的。
二、探究新知。
1.教学例1。
（1）引导学生观察、发现算式左边的加数与对应图形中小正方形的关系。
（2）引导学生观察、发现算式结果与对应图形中小正方形的关系。
（3）引导学生应用规律直接得出结果。
2.引导学生总结数形结合的方法解决问题的好处。
学案
1.小组合作，学习例1。
（1）观察、讨论、总结：
算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数之和。
（2）发现、总结规律：
版式结果正好是每行（每列）正方形个数的平方。
（3）应用规律填完，也可以画图帮助理解。
1＋3＋5＋7＝（4）2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝（7）2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝(9)2
2.自主总结：形象、化繁为简。
拓展提高。
1.独立完成第108页“做一做”的第1题。
2.引导完成教材109页第1题。
3.引导完成教材110页第3题。
学案
1.独立完成，集体订正。
2.教师指导完成。
（1）第5个图形最外圈有40个小正方形。
（2）道理：如果图形的序数用n表示，那么第n个图形最外圈的小正方形的个数为（1＋2n）2－（2n－1）2＝8n（个）
3.独立完成，全班订正。
三角形个数：1、4、9、16。
周长：3、6、9、12。
关系：大三角形包含的小三角形的个数等于大三角形的周长除以3所得高的平方。
达标检测
管理图表示算式的意义。
用小木棒摆正方形。
（ ）根 （ ）根 （ ）根 （ ）根
（ ）个正方形 （ ）个正方形 （ ）个正方形 （ ）个正方形
3.A、B、C、D、E五位运动员进行乒乓球比赛，每两个人之间进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？先画图，再计算。
4.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第八个图形需要黑色棋子的
个数是（ ）
课堂总结。
1.通过本节课的学习，你有什么收获？
2.布置作业第109页第2题。
六、教学板书
七、教学反思
本节课教学时从数与形的不同角度，让学生观察、发现数学规律。而在探索规律的过程中，培养了学生的思维能力以及与人交流、沟通、互动、互助的学习品质。
达标检测参考答案
1.管理图表示算式的意义。
2.用小木棒摆正方形。
3.A、B、C、D、E五位运动员进行乒乓球比赛，每两个人之间进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？先画图，再计算。
4.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第八个图形需要黑色棋子的
个数是（80）
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数与形
数学R版 六年级上
新课先知
1
2
3
4
7
预习检测
9
81
8
7
113
110
每日口算
25
49
64
36
9
16
2
3
4
5
基础练习
192
21
46
5n+1
25
8
56
57
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广21世纪数痘
27世纪载育
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21世纪教言
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1
c
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2
8
教材第107页例1
运用数形结合发现规律
找一找填一填，找规律：
)2
1+3=(
)2
1+3+5=(
↓
每列或每行都有
每列或每行都有
:有1个小正方形
2个小正方形
3个小正方形
如果遇到困
试一试根据右图来填空：
难，可以画
图来帮助。
1+3+5+7=(
)2
1+3+5+7+9+11+13=(
)2
13
11
≤92
9
7
5
3
1
3242526272
教材第107页例2
运用数形结合计算
试一试
32
继续加下去，最后的结果越来越接近(
1.计算。
1+3+5+7+9+11+13+15+17=（
)2=(
1+3+5+7+9+11+13+15+13+11+9+7+5+3+1=（
)2+()2=(
2.如图，第1幅图有2颗小星星，第2幅图有6颗小星星，第3幅图有12颗小星
星…第10幅图有(
)颗小星星。
女$女
52=
72=
82=
62=
32=
42=
1+3=（
)2
1+3+5=(
)2
1+3+5+7=（
)21+3+5+7+9=(
)2
1.我会填。
(1)如下图，第20行第2个数是(
)
1
21
3
4
5
6
7
8
9
10
●●●●●●
(2)观察下面用小棒摆成的正六边形，摆4
个六边形需要(
)根小棒，摆9个
六边形需要(
)根小棒，摆n个这
样的六边形需要(
)根小棒。
(3)如果按此规律继续画下去，第八个图形
中含有(
)个红色正方形。中小学教育资源及组卷应用平台
8 数学广角——数与形
【教学内容】
教材第107页例1和例2及第108页做一做和练习二十二第1~4题。
【教学目标】
1.通过数与形的教学，使学生初步学会一种重要的解题方法与策略。促进学生数学思维的发展。
2.借助相关图形的操作与剪拼等情境，实现数与形之间的转化。
3. 通过数与形的训练，让学生感受到数学之美。
【重点难点】
通过数与形的教学，使学生初步学会一种重要的解题方法与策略。
【教学过程】
【情景导入】
课件出示：
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是找规律。
师：今天我们就来一起走进奇妙无穷的数学广角——数与形。
板书：数与形
【新课讲授】
1.教学例1。
出示课件：
（1）提问：观察一下，上面的图和下边的算式有什么关系？把算式补充完整。
1=()
1+3=（）
1+3+5=（）
生：左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他"L"形图形所包含的小正方形个数之和。
图一：1
图二：1+3
图三：1+3+5
生：右边正好是每行或每列小正方形个数的平方。
1=(1)
1+3=（2）
1+3+5=（3）
（2）尝试练习。
你能利用规律直接写一写吗？如果有困难，可以画图。
1+3+5+7=（）
1+3+5+7+9+11+13=（）
=9
(3)学生汇报交流。
1+3+5+7=（4）
1+3+5+7+9+11+13=（7）
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9
2.教学例2。
课件出示：
（1）尝试计算。
（2）提问：你能发现什么规律？
生：从第二个数开始，每个数是前一个数的12。
生：我一个一个加下去看看，答案好像有些规律。加下去，等号右边的分数越来越接近1。
（3）画图理解。
用一个圆或者一条线段表示“1”。
分析：从图上可以看出这些分数不断加下去，总和就是1。
教师总结：有些计算问题或者大题通过画图，解决起来更直观。图形与数学之间能相互转化，能使计算更直观，更简单。
3.巩固练习。
（1）完成教材第108页“做一做”。
第1题。
1+3+5+7+5+3+1=42+32=16+9=25
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=7+6=85
第2题。分析：第1个图形有1个红色，第二个图形有2个红色，第三个图形有3个红色……所以第6个图形有6个红色，第10个图形有10个红色。
蓝色的个数等于总数-红色个数。第一个图形共有蓝色：3×3-1个，第2个图形共有蓝色：3×4-2（个），第3个图形共有蓝色：3×5-3（个）……第6个图形共有蓝色：3×8-6＝18（个），第10个图形共有蓝色：3×12-10=26（个）。
（2）完成教材练习二十二第1~4题。
第1题。
提示：第5个图形外圈有（2×5+1）2-（2×5-1）2=40个小正方形，由题意可知第一个图形：
3-1=（1×2+1）-1，
第二个图形：
5-3=（2×2+1）-（2×2-1），
第三个图形：
7-5=（2×3+1）-（2×3-1），
第n个图形：（2n+1）-（2n-1）。
第2题。第10个数是1+2+3+4+…+10=（1+10）×10÷2=55。
第3题。提示：
三角形的个数：
1 1+2+1=4 1+2+3+2+1=9 1+2+3+4+3+2+1=16
周长：
1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12
若大三角形最下面一层三角形的个数为n,则大三角形的周长=3（）。
【课堂小结】
同学们，请你们探讨这节课我们有哪些收获？
【布置作业】
1.完成练习二十二第5~8题。
【板书设计】
数学广角——数与形
图形与数学之间能相互转化，解决问题更直观，更简单。
【教学反思】
1.如何定位教学目标，数与形相映原属奥数内容，使学生初步感受一些基本的数学思想方法是数学广角的主要教学目标之一。但在具体的课堂中如何适度把握教学要求，我虽然在课前已经钻研了教参，也已经上完了课，但这个还是值得我探究的一个问题。
2.如何设计教学活动，使学生在观察思考中建立起解决“数与形相映”问题的方法的同时发展学生的思维也是值得思考的一件事。
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