人教版数学九年级下册第27章 相似 全章教案

第27章
相似
第一课时　相似图形
1．了解相似图形的概念，能判断两个图形是否相似．
2．经历观察和操作的过程，探索图形的相似，掌握相似图形的性质，会用其性质解决有关问题．
3．在学习和探究的过程中，学会欣赏平面图形的简单美．
理解并掌握相似图形的概念及特征．
理解相似图形的特征，掌握识别相似图形的方法．
一、情景导入
播放一些生活中的图片(如图)，让学生在音乐中欣赏，感受生活中形状相同的图形．欣赏并找出图中哪些图形是相同的．
二、自学互研
阅读教材P24－25内容，思考下列问题：
问题1：P24图27.1－2，它们是相似图形吗？为什么？
在日常生活中你还见过哪些相似图形？
结论：形状相同的图形叫做相似图形．
问题2：你是怎样看待“全等”和“相似”的？
问题3：观察下面的三个图形，思考我们如何得到相似图形呢？
问题4：(教材P25思考)如图是一个女孩儿从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象，这些镜中的形象相似吗？
归纳：两个图形相似，其中一个可以看作由另一个图形__放大或缩小__得到．
师生活动：
①明了学情：观察学生探究情况，关注学生对相似的认识的情况．
②差异指导：在学生讨论、交流过程中，适时对学生存在的疑惑给予点拨．
③生生互助：学生认真观察，自由讨论，然后小组内形成统一意见．
三、典例剖析
例1：下列五个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似．其中结论正确的是__①②⑤__．(填序号)
例2：(补充)：观察下列图形，哪些是相似图形？
解：相似图形有：(1)与(7)；(2)与(10)；(3)与(6)；(4)与(11)．
例3：如图，试将一个等边三角形分割为6个相似的三角形．
师生活动：
①给予学生充分的时间去思考、讨论，争取让学生自己得到解答方法，鼓励学生大胆猜想、发表见解．
②教师指导学生先画出图形进行独立思考，然后小组讨论，最后教师订正讲解．
四、课堂小结
(1)通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑惑？说给老师或同学听听．
(2)教师与同学聆听部分同学的收获，解决部分同学的疑惑．
五、检测反馈
1．将左图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是( A )
　,A)　,B)　,C)　,D)
2．下列判断正确的是( B )
A．不全等的三角形一定不是相似三角形
B．不相似的三角形一定不是全等三角形
C．相似三角形一定不是全等三角形
D．全等三角形不一定是相似三角形
3．下图中的相似图形有__(1)与(3)，(2)与(8)，(4)与(7)，(5)与(9)，(6)与(10)__(填序号)．
六、课后作业
第二课时　相似多边形
1．了解成比例线段定义及相似多边形定义．
2．掌握相似多边形的性质，并能运用其性质进行相关的计算．
3．让学生运用“观察——猜想——思考——验证”的数学思想，体会由特殊到一般的思想方法．
相似多边形的性质．
运用相似多边形性质进行相关计算．
一、情景导入
下列每组中的图形形状相同吗？大小相同吗？每一组图形是全等图形吗？
二、自学互研
阅读教材P26内容，思考并完成下列问题：
问题1：如图，将任意△ABC用一个2倍的放大镜观察得到△A1B1C1，这两个三角形是相似图形吗？
(1)它们的对应角：∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1有什么变化？有什么数量关系？
即：∠A________∠A1，∠B________∠B1，∠C________∠C1；
(2)它们的对应边：AB与A1B1，BC与B1C1，AC与A1C1的数量有什么变化？
＝________，＝________，＝________．(都等于)我们把对应边的比叫做相似比．
于是我们有：＝＝.
归纳：①若两个多边形的角分别__相等__，边__成比例__，则这两个多边形叫做相似多边形；
②对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如＝(即ad＝bc)，我们就说这四条线段成比例．
师生活动：
①明了学情：巡视全班，关注学生对成比例线段，相似多边形性质的理解和掌握情况．
②差异指导：对学生在探究过程中存在的疑惑适时点拨．
③生生互助：学生小组合作、交流、讨论，在小组内达成共识．
三、典例剖析
例1：(教材P26例题)如图所示，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x.
解：∠α＝83°，∠β＝81°，x＝28.
例2：(补充)如图1，D，E分别是△ABC的边BA和CA的延长线上的点，连接DE，∠D＝∠B，＝＝＝.
(1)△ADE与△ABC相似吗？说明你的理由；
(2)如果BD＝8，CE＝12，DE＝4，请你计算△ABC的周长．
解：(1)相似，理由略；(2)27.
分析：(1)由于题目已经满足对应边成比例，依据概念应该找出对应角相等即可；(2)要求△ABC的周长，需要根据对应边成比例的关系求出AB，BC和AC的长度．
例3：(补充)如图1，一块长20 m、宽10 m的矩形草坪，沿草坪四周外围有1 m宽的环形小路．小路的内外边缘所构成的矩形相似吗？为什么？
变式1：你能沿草坪四周外围设计一条等宽的环形小路，使得小路的内外边缘所构成的矩形相似吗？说明理由．
变式2：如图2，若相似的两条小路的宽均相等，当x与y的比值为多少时，能使小路的内外边缘所构成的矩形相似？说明理由．
四、课堂小结
教师指导学生总结本节课所学的基本内容和存在的疑惑点，建议学生积极发言，教师了解学生的掌握情况及存在的问题．
①本节课所学习的基本知识有哪些？
②学习本节课后，还有哪些疑惑？
五、检测反馈
1．下列各组中的四条线段成比例的是( D )
A．4 cm，2 cm，1 cm，3 cm
B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
C．3 cm，4 cm，5 cm，6 cm
D．1 cm，2 cm，2 cm，4 cm
2．如图所示的每组四边形都相似，则：
(1)如图①，x＝__2.5__，y＝__1.5__，α＝__90°__；
(2)如图②，x＝__22.5__．
3．下列几个命题：①四条边相等的四边形都相似；②四个角都相等的四边形都相似；③三条边相等的三角形都相似；④所有的正方形都相似．其中正确的命题是__③④__(填写序号即可)．
4．如图，已知矩形ABCD与矩形DEFC相似，且AB＝2 cm，BC＝5 cm，求AE的长．
解：设AE＝x，则DE＝AD－AE＝5－x，∵矩形ABCD∽矩形DEFC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴AE＝ cm.
六、课后作业
第三课时　平行线分线段成比例定理
1．理解相似三角形的概念，能正确找出相似三角形的对应边和对应角．
2．理解平行线分线段成比例基本事实的内容，能正确确定比例关系．
3．掌握相似三角形判定定理的“预备定理”．
平行线分线段成比例基本事实及其推论的理解．
平行线分线段成比例基本事实及推论的灵活应用，平行线分线段成比例基本事实的变形．
一、情景导入
如图，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)测量某工具的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，如果测得CD＝10，那么AB＝2×10＝20.你知道这是为什么吗？
二、自学互研
阅读教材P29－30内容，思考并完成下列问题：
问题1：如图1，若l1∥l2∥l3，任意作直线AC，直线A1C1，若＝1，则＝__1__．
,图1)
问题2：如图2，若l1∥l2∥l3∥l4∥l5，AB∶BC∶CD∶DE＝1∶1∶1∶1，则
(1)A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1E1＝__1∶1∶1∶1__；
(2)AB∶BE＝__1∶3__；A1B1∶B1E1＝__1∶3__；
(3)AD∶DE＝__3∶1__；A1D1∶D1E1＝__3∶1__．
问题3：如图3，若l1∥l2∥l3，与有何关系？
问题4：你还能想到其他的证明方法吗？
问题5：如图3，若l1∥l2∥l3，你还能得到哪些相等的比例式？怎么得到的？
归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
问题1：(教材第30页)若将直线l1平移至如图4、图5位置，同理可得＝，同理可得＝.
问题2：如图4，与是否相等？(提示：过点E作AB的平行线)
问题3：如图4，若DE∥BC，则△ADE与△ABC有何关系？
问题4：如图5，若DE∥BC，则△ADE与△ABC有何关系？
归纳：①平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得对应线段成比例；
②平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所截得的三角形与原三角形相似．
师生活动：
①明了学情：观察学生在探究过程中对平行线分线段成比例定理及推论的理解和掌握情况．
②差异指导：对学生在探究过程中产生的疑惑及时点拨．
③生生互助：学生小组合作、交流、讨论，在组内达成共识．
三、典例剖析
例1：如图，在△ABC中，如果DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，试求AC，EC的长．
分析：题目已知的对应位置是上和下，所以可列比例式AD∶BD＝AE∶EC，先求出EC的长，再求AC的长．
例2：如图，?ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交DC于点F，若AD＝6，AB＝5，CE＝3，AF＝4，求FE和DF的长．
分析：解答本题时，可先利用CD∥AB，列出比例式CE∶BC＝EF∶AF.因为AD＝BC＝6，所以3∶6＝EF∶4，解得EF＝2，同理运用AD∥CE，列出AF∶EF＝DF∶CF.由AB＝5，可求得答案．
师生活动：
教师给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到解答方法；鼓励学生大胆猜想，发表见解．
四、课堂小结
1．平行线分线段成比例的基本事实是什么？推论是？易错点是什么？
2．目前我们有什么方法判定两个三角形相似？
3．本课两个重要的结论在探索中主要运用了哪些数学思想方法？
五、检测反馈
1．如图，直线l1∥l2∥l3，两直线AC，DF与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和D，E，F，下列各式中，不一定成立的是( C )
A.＝　　　　B.＝
C.＝ D.＝
,(第1题图))　　　　,(第2题图))
2．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO∶DO＝1∶2，那么下列式子正确的是( B )
A．BO∶BC＝1∶2 B．CD∶AB＝2∶1
C．CO∶BC＝1∶2 D．AD∶DO＝3∶1
3．如图，AB∥EF∥DC，DE＝2AE，CF＝2BF，且DC＝5，AB＝8，则EF＝__7__．
,(第3题图))　　　,(第4题图))
4．如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，AB＝6 cm，CD＝12 cm，求EF的长．
EF＝4 cm
六、课后作业
第四课时　相似三角形的判定定理1，2
1．掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理．
2．掌握两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理．
3．渗透数学中普遍存在着相互联系、相互转化，使学生感悟类比的数学方法．
掌握两个判定定理，会运用两个判定定理判定两个三角形相似．
1．探究三角形相似的条件．
2．运用两个三角形相似的判定定理解决问题．
一、情景导入
定义
判定方法
全等
三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
边边边
SSS
边角边
SAS
角边角
ASA
角角边
AAS
斜边与直
角边HL
相似
三角形
三个角分别相等，三条边对应成比例的两个三角形相似
类似“SSS”，你能得出“三边成比例的两个三角形相似”吗？如何证明呢？
二、自学互研
阅读教材P32－33内容，思考并完成下列问题：
问题1：如图1，类似于用SSS判定三角形全等的方法，如果通过三边来判定两个三角形相似，在表述上有何区别？如何表述呢？
,图1)
(在△ABC和△A1B1C1中，如果＝＝，那么△ABC∽△A1B1C1.)
问题2：要证明这个结论，我们就应该在△ABC中，构造一个三角形，满足这个三角形与△ABC相似且与△A1B1C1全等，那么首先考虑这个三角形与△ABC相似，用已学过的方法如何构造呢？(平行)
问题3：假设这条平行线DE∥BC，得到△ADE，可以证明△ADE∽△ABC，依据活动一问题2，接下来就应该满足△ADE≌△A1B1C1，那么你认为直线DE应该在什么位置呢？如何证明呢？(满足AD＝A1B1)
问题4：类似地，如图2，如果类比用SAS判定三角形全等的方法，那么相似三角形的判定方法在表述上有何区别？如何表述呢？参照以上证明方法给予证明．
,图2)
归纳：①三边对应成比例，两个三角形相似．
②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
师生活动：
①明了学情：巡视全班，关注学生对两个定理的推导，理解与掌握情况．
②差异指导：对学生在探究过程中产生的困惑及时点拨．
③生生互助：学生先自主探究，然后小组内交流，相互释疑解惑．
三、典例剖析
例1：(教材P33例1)根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
(1)AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝24 cm；
(2)∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，∠A′＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm.
解：(见教材P33例1)．
例2：已知：如图3，在正方形ABCD中，P是BC边上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，△ADQ与△QCP是否相似？为什么？
图3　　　　　　　图4
分析：容易发现△ADQ与△QCP都是直角三角形，有∠C＝∠D＝90°，下面只需证明夹∠D的两边AD，DQ与夹∠C的两边QC，PC对应成比例即可．
巩固练习：如图4，四边形ABCD、四边形CDEF、四边形EFGH都是正方形．
(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由；
(2)求∠1＋∠2的度数．
解：略．
四、课堂小结
(1)本节课主要学习了哪些新知识？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！
教师强调：1.证明两个三角形相似的方法；2.相似三角形的判定方法与全等三角形的判定方法的联系和区别．
五、检测反馈
1．已知一个三角形的三边之比为3∶4∶5，与它相似的另一个三角形的最短边长为6 cm，则这个三角形的最长边为( B )
A．8 cm　　B．10 cm　　C．12 cm　　D．15 cm
2．如图②的四个三角形中，与图①中的三角形相似的是( C )
3．如图所示，在△ABC和△ADE中，AB∶BC＝AD∶DE，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件，可以是__∠B＝∠D__．
4．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，点D在AC上，且AD＝2，在AB上找一点E，当AE等于多长时，△ADE与△ABC相似？
解：(提示：分两种情况)．
六、课后作业
第五课时　相似三角形的判定定理3
1．掌握“两角分别相等的两个三角形相似”，并能应用其解决有关问题．
2．能够理解直角三角形相似的特殊的判定方法的推导过程及其应用．
3．让学生在观察中学会分析，在操作中学会感知，培养学生的合情推理能力、有条理的表达能力．
掌握相似三角形的判定方法，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似．
相似三角形判定方法的推导及应用．
一、情景导入
脑筋急转弯：用放大镜不能放大的东西是什么？(猜一数学图形)
提出问题：在放大镜下看到的三角形与原三角形相比，边长变化了吗？角度变化了吗？两个图形的形状相同吗？
二、自学互研
阅读教材P35－36内容，思考并完成下列问题：
问题1：如图所示，在△ABC与△A′B′C′中，若∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，试猜想：△ABC与△A′B′C′是否相似？并证明你的结论．
结论：两角分别相等的两个三角形相似，用数学符号表示这个定理：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
问题2：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
结论：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．
师生活动：
①明了学情：关注学生探究两定理的过程，了解学生对定理的理解与掌握情况．
②差异指导：引导部分学生梳理思路．a.两角对应相等；b.斜边和一条直角边成比例．
③生生互助：学生先独立思考，然后对存在的困惑小组合作、讨论、交流，达成共识．
三、典例剖析
例1：如图，△ABC是等边三角形，且∠DAE＝120°，D，B，C，E四点在同一条直线上．
(1)判断图中有哪几对相似三角形；
(2)当∠E＝30°时，△ACE与△ABD有什么关系？为什么？
解析：由△ABC是等边三角形，可得到其外角∠ACE与∠ABD的度数，由此可得∠DAE＝∠ACE＝∠ABD.由这三个角中两个角对应相等，再寻找隐含的另一个公共角，可找出相似的三角形．
学生独立完成．
例2：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的高线，求证：(1)△ABC∽△CBD；(2)CD2＝AD·DB.
证明：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，又∵CD是斜边AB上的高，∴∠CDB＝90°＝∠ACB，∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD；(2)∵Rt△ABC中，CD是斜边AB边上高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD＋∠A＝∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴＝，即CD2＝AD·BD.
师生活动：
①明了学情：关注学生在探究过程中对定理的理解与运用．
②差异指导：对学生感到有困惑的地方及时点拨．
③生生互助：先独立思考，再小组讨论交流，最后独立完成．
四、课堂小结
1．到现在，我们学习了哪些判定三角形相似的方法？(师生总结)
2．判定直角三角形相似时，应该采用什么方法呢？
3．通过本节课的学习，你能自主探究两个等腰三角形相似的特殊的判定方法吗？
五、检测反馈
1．如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC∽△ADE的是( C )
A．∠B＝∠D　　　　　　B．∠C＝∠AED
C．AB∶AD＝DE∶BC D．AB∶AD＝AC∶AE
,(第1题图))　　　,(第2题图))
2．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是( B )
A．△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DAC
C．△ABD∽△ACD D．以上都不对
3．如图在△ABC中，D为AB边上一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为__∠ADE＝∠C(答案不唯一)__．
4．已知：∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝，当＝时，△ABC∽△ADB，∴＝，AD＝3.当＝时，△ABC∽△DAB，∴＝，AD＝3，∴当AD的长为3或3时，图中的两个直角三角形相似．
六、课后作业
第六课时　相似三角形的性质
1．理解并掌握相似三角形及相似多边形的对应高、中线、角平分线的性质．
2．理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长与面积的性质．
3．能够运用相似三角形及相似多边形的性质解决相关问题．
理解并掌握相似三角形的性质．
探究相似三角形的性质．
一、情景导入
某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题：马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的20米缩短成12米．则被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
二、自学互研
阅读教材P37－38内容，思考并完成下列问题：
问题1：如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
问题2：如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′边上的中线，AE，A′E′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AB∶A′B′＝k，那么AD与A′D′，AE与A′E′之间有怎样的关系？
结论：相似三角形对应角的平分线、对应中线的比都等于相似比．
问题3：如图，△ABC∽△A′B′C′，＝k，AD，A′D′分别为BC，B′C′边上的高线．
(1)这两个相似三角形周长的比为多少？
(2)这两个相似三角形面积的比为多少？
结论：相似三角形周长的比等于相似比，面积的比是相似比的平方．
师生活动：
①明了学情：关注学生在探究过程中对相似三角形性质的理解与掌握情况．
②差异指导：对学生存在的困惑，及时引导或点拨．
③生生互助：先让学生独立思考，积极探索，然后小组内交流，形成共识．
三、典例剖析
例1：如图所示，在△ABC中，BC＝18，高AD＝16，它的内接矩形的两邻边EF∶FM＝5∶9，长边FM在BC边上，求矩形EFMN的面积．
解：S矩形EFMN＝.
解析：因为EF∶FM＝5∶9，所以可设EF＝5x，FM＝9x，根据相似三角形的性质，可求出矩形的两邻边长．
例2：(补充)如图，在△ABC中，BA＝BC＝20 cm，AC＝30 cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4 cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3 cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
(1)当x为何值时，PQ∥BC?
(2)如果△ABC与以点A，P，Q为顶点的三角形相似，试求出它们的面积比．
解：(1)x＝；(2)或.
分析：我们不难用x表示AP和AQ的长度，(1)要使PQ∥BC，可以有：＝，即可求出x的值；(2)要满足△ABC与以点A，P，Q为顶点的三角形相似，条件可以是＝或＝，求出x后，即可求出相似比，问题便可求解．
四、课堂小结
请你总结和归纳相似三角形的性质：
(1)从边看：相似三角形有什么性质？
(2)从角看：相似三角形有什么性质？
(3)从对应线段(对应中线、对应角平分线、对应高)看：相似三角形有什么性质？
(4)从周长和面积看：相似三角形有什么性质？
五、检测反馈
1．若△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积之比为( C )
A．1∶2　　　B．2∶1　　　C．1∶4　　　D．4∶1
2．已知△ABC与△DEF相似，且＝，则△ABC与△DEF对应边上高的比为( D )
A．4∶1 B．1∶4 C．16∶1 D．2∶1
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，则△ADE与△ABC的周长之比为____．
4．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，若△ABC的边BC上的高为6，面积为12，求△DEF的面积及边EF上的高．
六、课后作业
第七课时　相似三角形应用举例(1)
1．会用相似三角形的判定和性质解决实际问题，学会从实际问题中建立数学模型．
2．通过把实际问题转化为有关相似三角形的模型，进一步体会数学建模的思想方法．
运用相似三角形的判定和性质解决实际问题．
在实际问题中建立数学模型．
一、情景导入
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代七大奇观之一”．塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的数学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧”．这在当时的条件下是个大难题，因为很难爬到塔顶．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
二、自学互研
阅读教材P39内容，思考并完成下列问题：
问题1：利用太阳光的影子测量旗杆的高度实质是利用结论：__同一时刻物体的高度与影长成比例__．
问题2：在P39例4中，怎样测出OA的长？
小刚用下面的方法来测量学校大楼AB的高度，如图所示，在水平地面放置一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA为21 m，当他与镜子的距离CE为2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知他的眼睛距地面高度DC为1.6 m，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB是多少米．(注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角)
解：根据反射角等于入射角，则有∠DEF＝∠BEF，而FE⊥AC，∴∠DEC＝∠BEA.又∵∠DCE＝∠BAE＝90°，∴△DEC∽△BEA.∴＝.又∵DC＝1.6，EC＝2.5，EA＝21，∴＝.
∴AB＝13.44(m)．即建筑物AB的高度为13.44 m.
师生活动：
①明了学情：关注学生对从实际问题中建立数学模型的掌握情况．
②差异指导：对于学生在探究中存在的疑惑适时给予点拨、引导．
③生生互助：小组合作、交流、讨论，形成共识．
三、典例剖析
例1：为测量某树的高度，某时刻测得它的影长为9 m，同时测得直立于地面高2 m的竹竿的影长为1.5 m，求树高．
教师导引：构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例来求．
解：画出示意图如图所示，AB表示树，BC表示树影，A′B′表示竹竿，B′C′表示竹竿的影子．由于同一时刻，太阳光线是平行的，所以AC∥A′C′，易证△ABC∽△A′B′C′，所以＝，代入后得AB＝12 m.
答：树高12 m.
例2：如图所示，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB＝h，灯柱的高OP＝O′P′＝l，两灯柱之间的距离OO′＝m.
(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他影子AC的长；
(2)若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和(DA＋AC)是否是定值？若为定值，请说明理由；若不是，请叙述你的探究方法．
解：(1)由已知得AB∥OP，∴△ABC∽△OPC.∴＝.∵OP＝l，AB＝h，OA＝a，∴＝.∴AC＝；
(2)∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC.∴＝＝，即＝，即＝.∴AC＝·OA.同理可得：DA＝·O′A.∴DA＋AC＝·O′A＋OA＝(O′A＋OA)＝·OO′＝.
四、课堂小结
这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
在学生回答的基础上，教师点评：①太阳光下利用影长测物高的原理是：同一时刻的太阳光下，物高与影长成正比；②把实际问题中要测的量转化为相似三角形中的边来求解．
五、检测反馈
1．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6 m的张良同学沿着旗杆在地面上的影子AB由点A向点B走去，当他走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2 m，BC＝8 m，测旗杆的高度是( C )
A．6.4 m　 　B．7 m　 　C．8 m　 　D．9 m
,(第1题图))　　,(第2题图))
2．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4 m的位置上，则球拍击球的高度h为( B )
A．1.6 m B．1.5 m C．2.4 m D．1.2 m
3．阳光下，高为6 m的旗杆在地面上的影长为4 m，在同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为36 m，则这座建筑物的高度为__54__m.
4．一束平行的太阳光从教室窗户射入的平面示意图如图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN＝2 m，若窗户的下沿到教室地面的距离BC＝1 m，则窗户的上沿到教室地面的距离AC为__3__m.
六、课后作业
第八课时　相似三角形应用举例(2)
1．学会用相似三角形的判定和性质定理解决实际问题．
2．理解视点、视线、仰角、盲区的概念．
3．通过把实际问题转化为有关相似三角形的模型，进一步体会数学建模的思想方法．
运用相似三角形的判定和性质定理解决实际问题．
在实际问题中建立数学模型．(如何把实际问题抽象为数学问题)．
一、情景导入
1．在“捉迷藏”的游戏中，你认为躲藏者藏在何处才不容易被寻找者发现？
2．王华和李丽到人民剧院观看张学友领衔主演的音乐剧《雪狼湖》．
(1)坐在二层的王华能看到坐在一层的李丽吗？为什么？
(2)李丽坐在什么位置时，王华才能看到她？
二、自学互研
阅读教材P40内容，思考并完成下列问题：
问题1：把手臂水平向前伸直，手持直尺CD竖直，瞄准直尺的两端C，D，不断调整站立的位置，使眼睛O正好看到黑板的边沿AB底部B和顶部A.点O为视点，视线OA与水平视线OE的夹角∠AOE是观察者的__仰角__；视线OB与水平视线OE的夹角∠BOE是观察者的__俯角__；观察者看不到的区域(四边形ABCD内部)是__盲区__．
问题2：如图所示，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3 m，沿BD方向行走到G点，DG＝5 m，这时小明的影长GH＝5 m．如果小明的身高为1.7 m，求路灯杆AB的高度．
解：5.95 m.
问题3：为了测量校园内一棵大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律 ，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底(B)8.4 m的E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子上看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.4 m，观察者自身高度CD＝1.6 m，则树(AB)的高度为__5.6__m.
师生活动：
①明了学情：关注学生在探究中能否将实际问题抽象成数学问题，建立数学模型．
②差异指导：对学生存在的疑惑适时点拨．
③生生互助：小组合作、交流、讨论，达成共识．
三、典例剖析
例1：(教材第40页例6——盲区问题)
解：假设观察者从左向右走到如图位置E(视点F)处，视点F与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上．由题意可知AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD，∴△AFH∽△CFK，∴＝，即＝＝.解得FH＝8(m)．由此可知，如果观察者继续前进，即她与左边的树的距离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，右边的树顶端C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．
例2：如图，BD＝8 m，BC＝6 m，DE＝16 m，求河宽AB.
分析：利用△ABC∽△ADE求河宽．
解：由题意知△ABC∽△ADE，∴＝，∴＝，∴AB＝4.8 m.
四、课堂小结
这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
在学生回答的基础上，教师点评：
1．测量高度和距离的方法：(1)利用标杆和视角；(2)利用镜子的反射(反射角＝入射角)．
2．解决方案：构造三角形相似．
五、检测反馈
1．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标的尺寸，蜡烛AB在暗盒中所成像CD的高度是__1__cm__．
,(第1题图))　　,(第2题图))
2．如图，测得BD＝90 m，CB＝120 m，CE＝20 m，则AB＝__60__m.
3．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10 m，在这岸离开岸边16 m处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有1棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，求这段河的河宽是多少m?
解：设河宽为d m，∵∠BAC＝∠EAD，∠EDA＝∠BCA，∴△ABC∽△AED，∴＝.∵BC＝50 m，DE＝20 m，AD＝16 m，∴＝，解得d＝24.
答：这段河的河宽是24 m.
六、课后作业
第九课时　位似图形及作图
1．理解位似图形、位似中心的概念．
2．能够利用图形的位似将一个图形放大或缩小．
3．使学生经历对位似图形的观察、画图、分析、交流、体验、探索得出数学结论的过程．
位似图形、位似中心的概念；能够根据位似图形的特征，将一个图形放大或缩小．
利用图形的位似变化将一个图形放大或缩小．
一、情景导入
问题1：观察下列几组图形，每一组图形有什么特点？
问题2：在图片①上取一点A，它与另一张图片(如图片②)上相应的点B之间的连线是否经过点O？在图片上换其他的点试一试，还有类似的规律吗？
二、自学互研
阅读教材P47－48内容，思考并解答下列问题：
问题1：位似图形的特征：
1．位似图形必定是__相似图形__．
2．位似图形的__对应点连线__必相交于同一点，对应边__互相平行__．
3．位似图形的对应边的比称为__相似比__，对应顶点连线相交的那个点称为__位似中心__．
问题2：如图，指出各组图形中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
(图中两个四边形都是矩形)
解：(1)、(2)、(3)中的两个图形都是位似图形，其中位似中心分别为A，A，P，而(4)中两个正方形就不是位似图形．
问题3：如图，等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′是位似图形，请你度量OA和OA′的长度，然后猜想与的关系，并证明．
学生讨论并进行证明，教师指导并演示过程：因为等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′是位似图形，所以AB∥A′B′，所以△ABO∽△A′B′O，则＝，同理证得：＝＝＝.
总结位似的性质：位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
师生活动：
①明了学情：关注学生对位似的概念和性质的理解与掌握．
②差异指导：对于学生探究过程中存在的困惑之处适时点拨．
③生生互助：学生先自主探究，对不解之处小组交流、讨论，相互解疑释惑．
三、典例剖析
例1：(教材第47页)把四边形ABCD缩小到原来的.
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2.
作法一：(1)在四边形ABCD外任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得＝＝＝＝；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就得到所要画的四边形A′B′C′D′，如下图．
作法二：(1)在四边形ABCD外任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′，使得＝＝＝＝；
(4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，即可得到所要画的四边形A′B′C′D′，如下图．
作法三：(1)在四边形ABCD内任取一点O；
(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得＝＝＝＝；
(4)顺次连接A′B，B′C′，C′D′，D′A′，即可得到所要画的四边形A′B′C′D′，如下图．
四、课堂小结
请同学们回顾以下问题：
(1)什么是位似图形、位似中心？位似中心的意义是什么？
(2)作位似图形的步骤是什么？应注意什么问题？
教师强调 ：位似图形和位似中心的关系分为三种：两侧、一侧、内部．
五、检测反馈
1．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是( A )
A．②③　　B．①②　　C．③④　　D．②③④
2．已知△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( D )
A．3 B．6 C．9 D．12
3．已知△ABC和△A′B′C′关于点O位似，位似比为4∶9，若AO＝3 cm，则A′O＝____．
4．如图，以O为位似中心，画出将△ABC放大为原来的两倍的图形．
解：如图所示：
六、课后作业
第十课时　平面直角坐标系中的位似
1．掌握平面直角坐标系下的位似图形的点的坐标变化特点．
2．能够利用这个坐标变化规律画出平面直角坐标系下的位似图形．
3．经历对平面直角坐标系下的位似图形的点的坐标变化规律的探究和应用过程，进一步提高学生分析、解决问题的能力．
用图形中的点的坐标变化来表示图形的位似变换．
对平面直角坐标系下位似图形的点的坐标变化规律的归纳．
一、情景导入
如图，在直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(2，3)．按要求完成下面问题：
(1)将点O，A，B的横、纵坐标都乘以2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似图形和相似比；
(2)如果将点O，A，B的横、纵坐标都乘以－2呢？
二、自学互研
阅读教材P48－49内容，完成下列问题：
问题1：如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．
①作出符合要求的图形，观察对应点之间有何变化，你有什么发现？
②把线段AB缩小，A，B两点对应的点的坐标为A′(__2__，__1__)，B′(__2__，__0__)，它们与A，B两点的坐标有何规律？
③把线段AB缩小，A，B两点对应的点的坐标为A″(__－2__，__－1__)，B″(__－2__，__0__)，它们与A，B两点的坐标又有何规律？
问题2：如图，△AOC三个顶点坐标分别为A(4，4)，O(0，0)，C(5，0)，以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大．
①作出符合要求的图形，观察对应点之间有何变化，你有什么发现？
②将△AOC放大，A，C两点对应的点的坐标为A′(__8__，__8__)，C′(__10__，__0__)，它们与A，C两点的坐标有何规律？
③将△AOC放大，A，C两点对应的点的坐标为A″(__－8__，__－8__)，C″(__－10__，__0__)，它们与A，C两点的坐标又有何规律？
结论：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky)．
师生活动：
①明了学情：关注学生对位似变化规律的理解与掌握．
②差异指导：对学生在探究中产生的疑惑及时给予引导和点拨．
③生生互助：先自主探究，后小组交流合作，对直角坐标系中位似规律达成共识．
三、典例剖析
例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(2，1)，D(4，3)，E(6，5)，F(4，7)．
按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2∶1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：
(1)点A1的坐标为__(－2，0)__；点B1的坐标为__(－6，0)__；点C1的坐标为__(－4，－2)__．
(2)请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形(非正方形)，写出符合要求的变换过程．
师生活动：
学生独立思考，尝试用多种方法进行解答，教师注意对例题的讲解与点评．
四、课堂小结
请同学们回顾以下问题：
(1)本课时学习的主要内容是什么？
(2)四种图形变换中存在什么区别和联系？
教师强调：利用坐标变化将一个图形放大或缩小时，注意位似图形对应点的坐标变化有两种情形．
五、检测反馈
1．已知线段AB两端点A(4，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，点A的对应点为C，则端点C的坐标为( A )
A．(2，3)　　B．(2，1)　　C．(4，3)　　D．(4，1)
2．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′，点A′，B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为( D )
A. B．(m，n)
C. D.
3．在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)，B(－2，－2)，以原点O为位似中心，把△ABO放大为原来的2倍，则点A的对应点A′的坐标是__(－8，4)或(8，－4)__．
4．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(1，0)，则点E的坐标为__(，)．__
六、课后作业
第二十七章总结与提升
1．理解并掌握本章知识，能用相关知识解决具体问题．
2．在运用相似知识解决实际问题的过程中，进一步增强学生的推理论证能力．
运用相似知识来解决具体问题．
灵活运用相似知识解决实际问题．
一、情景导入
本章知识结构图：
二、自学互研
阅读教材“回顾与思考”，完成下列问题：
问题1：在描述两个三角形相似时，有时用符号表示，如△ABC∽△DEF，有时用文字描述，如△ABC与△DEF相似，它们有区别吗？如果有区别，请指出来．
问题2：如图，在△ABC与△ACD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，且AB＝4，AC＝5，若图中的两个三角形相似，则DC的长为__或__．
问题3：在△ABC中，点D，E分别为AB，AC边上的点．且AB＝8，AC＝6，AD＝4，若△ABC与△ADE相似，试求线段AE的长．
解：显然∠A＝∠A，故△ABC与△ADE相似有两种可能，即△ABC∽△ADE和△ABC∽△AED.当△ABC∽△ADE时，有＝，∴AE＝＝＝3；当△ABC∽△AED时，有＝，∴AE＝＝＝，所以AE的长为3或.
师生活动：
①明了学情：关注学生对本章知识的理解掌握和运用情况．
②差异指导：根据学情，对有困难的学生给予指导．
③生生互助：学生先复习课本，然后小组合作交流，突破难点．
三、典例剖析
例1：如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F.
(1)求证：∠DCP＝∠DAP；
(2)若AB＝2，DP∶PB＝1∶2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．
解析：(1)根据菱形的性质证明△CDP≌△ADP，即可得出∠DCP＝∠DAP；
(2)利用Rt△PAB求出PB，由DP∶PB＝1∶2求出DP，则BD＝PB＋DP.
解：(1)∵四边形ABCD为菱形，∴CD＝AD，∠CDP＝∠ADP，DP＝DP，∴△CDP≌△ADP，∴∠DCP＝∠DAP.
(2)∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥BA，CD＝BA，∴△CPD∽△FPB，又∵DP∶PB＝1∶2，∴＝＝＝，∴CD＝BF，CP＝PF，又∵CD＝AB，∴A为BF的中点．又∵PA⊥BF，∴PB＝PF.由(1)可知PA＝CP，又∵PC＝PF，∴PA＝PB.在Rt△PAB中，PB2＝22＋，解得PB＝，则DP＝，∴BD＝PB＋DP＝2.
例2：如图，AD是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点D，AB，AC分别与⊙O相交于点E，F.求证：AE·AB＝AF·AC.
分析：连接EF，DE.∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，即∠AEF＋∠DEF＝90°.∵BC是⊙O的切线，∴∠ADC＝90°，即∠CAD＋∠C＝90°.∵∠DEF＝∠CAD，∴∠AEF＝∠C.又∵∠EAF＝∠CAB，∴△AFE∽△ABC，∴＝，即AE·AB＝AF·AC.
师生活动：
先让学生自主或小组合作探究，教师巡视，对有困难的学生予以指导．
四、课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获，还存在哪些疑虑？同学间相互交流．
五、检测反馈
1．如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB，若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝( B )
A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6
,(第1题图))　　,(第2题图))
2．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子(如图)．现测得OA＝20 cm，OA′＝50 cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是__2∶5__．
3．如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立一根高3 m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立一根高3 m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF＝1.5 m，量得CE＝2 m，EC1＝6 m，C1E1＝3 m.
(1)△FDM∽__△FBG__，△F1D1N∽__△F1BG__；
(2)求电线杆AB的高度．
解：设电线杆AB的高度为x m，AC＝y m.
∵DM∥BG，∴△FDM∽△FBG，
∴＝，即＝.①
同理＝，
即＝.②
由①②解得
经检验是上述方程的解，
∴电线杆AB的高度为15 m．∴
4．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
解：(1)∵在?ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°.∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；
(2)∵CD＝AB＝4，AE⊥BC，∴AE⊥AD，∵AD＝3，AE＝3，∴DE＝＝＝6.∵△ADF∽△DEC，∴＝，∴＝，解得AF＝2.
答：AF的长为2.
六、课后作业