人教版九年级数学：24.1.2 垂径定理 教学设计

24.1.2
垂直于弦的直径（第一课时）
教学目标
【知识与能力目标】
1、探索并证明垂径定理及其逆定理．
2、能够运用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及作图问题．
【过程与方法】
经历探索垂径定理及其逆定理的过程，发展推理能力．
【情感态度与价值观】
历探索垂径定理及其逆定理的过程，让学生领会数学的严谨性，并体验发现的乐趣．
教学重难点
【教学重点】
垂径定理及其逆定理的应用
【教学难点】
对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.
课前准备
多媒体课件、教具等．
教学过程：
一、引入
1、同学们，今天你们是通过什么方式来到学校的？
自行车、公交车、私家车的轮子都是什么形状的？对，圆形，你对圆有多少了解呢？今天老师就和大家一起来研讨一下圆的有关性质。（板书：垂径定理）
2、老师给每位同学都准备了一个圆，你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？
二、新授课
1、圆的对称性
说一说：
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是用什么方法得到这个结论的？
2、垂径定理
问题：如图,AB是⊙O的一条弦,
直径CD⊥AB,
垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?
为什么？
3、归纳垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE,
=,
=.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
垂径定理的几个基本图形：
4、垂径定理推论：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？,
（2）与相等吗？与相等吗？为什么？
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
三、例题讲解:
例1
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为5cm,OE=4cm,
则AB=
cm.
例2
如图，
AB是⊙
O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若CD=6，BE=1，求⊙
O的半径.
例3：1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所
对的弦长)为37.4
m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2
m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).
小练习：练一练：如图a、b,一弓形弦长为4cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
归纳总结：
涉及垂径定理时辅助线的添加方法：
在圆中有关弦长a,半径r,
弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
弓形中重要数量关系
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
四、当堂练习
1、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为
.
2、⊙O的直径AB=20cm,
∠BAC=30°则弦AC=
3、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为
.
五、小结：
这节课你学到了什么？你有什么感受？
六、作业布置：
1、完成学案上作业。