人教版数学九年级上册 24.3正多边形和圆同步测试试题（一） (word版 含解析)

正多边形和圆同步测试试题（一）
一．选择题
1．下面说法正确的个数有（　　）
①若m＞n，则ma2＞nb2；
②由三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
③有两个角互余的三角形一定是直角三角形；
④各边都相等的多边形是正多边形；
⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．
A．1
个
B．2
个
C．3
个
D．4
个
2．下列说法，错误的是（　　）
A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法
B．一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根
C．一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限
D．正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍
3．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（　　）
A．45°
B．36°
C．35°
D．30°
4．如图，用若n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（　　）
A．5
B．6
C．8
D．10
5．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（　　）
A．60°
B．36°
C．76°
D．72°
6．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（　　）
A．2
B．4﹣
C．
D．
﹣
7．如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：
①弧DF的度数为90°；
②AE＝DF；
③S正八边形ABCDEFGH＝AEDF．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
8．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．2
9．如图，正五边形ABCDE与正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，若连接BM，则∠MBC的度数是（　　）
A．12°
B．15°
C．30°
D．48°
10．如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题
11．正六边形的边长为2，则边心距为　
　．
12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是1，则正方形的边长是　
　．
13．中心角为36°的正多边形边数为　
　．
14．如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（点P不与点D、E重合），则∠CPD的度数为　
　．
15．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转　
　°，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为4，则所得正八边形的面积为　
　．
三．解答题
16．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
17．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．
18．如图，实线部分是由正方形，正五边形和正六边形叠放在一起形成的，其中正方形和正六边形的边长相同，求图中∠MON的度数．
19．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：①若m＞n，则ma2＞nb2，当a＝0时错误；故不符合题意；
②由不在同一直线上的三条线段首尾
顺次相接所组成的图形叫做三角形，故不符合题意；
③有两个角互余的三角形一定是直角三角形，故符合题意；
④各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故不符合题意．
⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
2．【解答】解：A、为了解一种灯泡的使用寿命，此调查具有破坏性，宜采用抽查的方法；故此选项符合题意；
B、一元二次方程3x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根；故此选项不符合题意；
C、一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限；故此选项不符合题意；
D、正六边形每个内角的度数是外角度数的2倍；故此选项不符合题意；
故选：A．
3．【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B．
4．【解答】解：∵正五边形的每个内角为：＝108°，
∴组成的正多边形的每个内角为：360°﹣2×108°﹣24°＝120°，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴组成的正多边形为正n边形，
则＝120°，
解得：n＝6，
故选：B．
5．【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，
故选：D．
6．【解答】解：连接AC交EF于M，连接OF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝AD＝4，
∴OA＝OC＝2，
∵△AEF是等边三角形，
∴AM⊥EF，∠OFM＝30°，
∴OM＝OF＝，
∴CM＝，
∴∠ACD＝45°，∠CMG＝90°，
∴∠CGM＝45°，
∴△CGH是等腰直角三角形，
∴GH＝2CM＝2．
故选：A．
7．【解答】解：设圆心为O，连接OD，OF，
∵∠DOE＝∠EOF＝＝45°，
∴∠DOF＝90°，
∴弧DF的度数为90°，
∴①正确；
∵∠DOF＝90°，OD＝OF，
∴2OD2＝DF2，
∴OD＝，
∵AE＝2OD，
∴AE＝DF，
∴②正确；
∵S四边形ODEF＝DFOE，
∴S正八边形ABCDEFGH＝4S四边形ODEF＝2DFOE，
∵OE＝AE，
∴S正八边形ABCDEFGH＝AEDF，
∴③正确；
故选：D．
8．【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，
设⊙O的半径是r，
则OF＝r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF＝60°÷2＝30°，
∵OA＝OF，
∴∠OFA＝∠OAF＝30°，
∴∠COF＝30°+30°＝60°，
∴FI＝rsin60°＝r，
∴EF＝r×2＝r，
∵AO＝2OI，
∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，
∴＝＝，
∴GH＝BD＝r，
∴＝＝．
故选：C．
9．【解答】解：连接OA、OC．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°，
∴∠AOC＝72°×2＝144°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM＝＝120°，
∴∠COM＝∠AOC﹣∠AOM＝144°﹣120°＝24°，
∴∠MBC＝∠COM＝×24°＝12°．
故选：A．
10．【解答】解：AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，
据此可以确定共有2个点C，位置如图，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：如图所示：
连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
则∠OCA＝90°，AC＝BC＝AB＝1，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝30°，
∴OC＝AC＝；
故答案为：．
12．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB＝1，∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，BC＝＝．
∴正方形的边长是，
故答案为：．
13．【解答】解：由题意可得：
∵360°÷36°＝10，
∴它的边数是10．
故答案为10．
14．【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故答案为：36°．
15．【解答】解：如图2所示：
将一个正三角形绕其中心最少旋转60°，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．
在图2中，由题意得：PM＝MN＝NQ，AM＝AP＝BN＝BQ，
则MN＝PM＝AM，
∵AM+MN+BN＝AB＝4，
∴AM+AM+AM＝4，
解得：AM＝4﹣2，
则所得正八边形的面积为4×4﹣4××（4﹣2）2＝32﹣32；
故答案为：（），32﹣32．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
17．【解答】解：（1）证明：连接CD，
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠E＝∠ACD，
∠E＝∠B．
∴∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图，
连接OD、CE，
若∠E＝45°，
则∠AOD＝90°，
∵AC＝4，
∴OA＝OD＝2，
∴AD＝2．
∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．
18．【解答】解：由正方形、正五边形和正六边形的性质得，∠AOM＝108°，∠OBC＝120°，∠NBC＝90°，
∴∠AOB＝×120°＝60°，∠MOB＝108°﹣60°＝48°，
∴∠OBN＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∴∠NOB＝×（180°﹣150°）＝15°，
∴∠MON＝33°．
19．【解答】（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，
在△ABP和△DEQ中，，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP＝EQ，
同理可证PE＝QB，
∴四边形PEQB为平行四边形．
（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，
当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：
则∠EAF＝∠AEF＝30°，
∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，
∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．
当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：
同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，
∴AE＝＝6，
∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；
∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36