7.4 平行线的性质 课件（共19张PPT ）

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两直线平行

1.同位角相等
2.内错角相等
3.同旁内角互补
问题 平行线的判定方法是什么？
思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?
回顾与思考
7.4 平行线的性质
学习目标
1.理解并掌握平行线的性质公理和定理．（重点）
2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．
（难点）
新知导入
【思考】平行线的判定方法是什么？
两直线平行

1.同位角相等
2.内错角相等
3.同旁内角互补
想一想：反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?
新知讲解
同位角相等，两直线平行反过来你能得到什么？
两直线平行，同位角相等
你能否发现定理的条件是什么?
两条平行直线被第三条直线所截.
结论是什么?
同位角相等.
证明命题,要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.
所以根据题意,可以把这个文字证明题转化为下列形式.
新知讲解
已知:如图所示,直线a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的同位角.求证:∠1=∠2.
如果∠1≠∠2，
AB与CD的位置关
系会怎样呢？
新知讲解
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH//CD.
又因为AB// CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
新知讲解
性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：两直线平行，同位角相等．
表达方式：如图，因为a∥b，(已知)所以∠1＝∠2.(两直线平行，同位角相等)
新知讲解
两条平行直线被第三条直线所截,同位角是相等的,那么内错角、同旁内角之间有什么关系呢?
怎样利用两直线平行，同位角相等证明内错角相等。
新知讲解
已知：如图，直线l1//l2，∠1和∠2是直线l1，l2被
直线l截出的内错角.
求证：∠1= ∠2.
证明：∵l1//l2（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
又∵∠2=∠3 （对顶角相等），
∴∠l=∠2 (等量代换）.
新知讲解
性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．
简称：两直线平行，内错角相等．
表达方式：如图，因为a∥b (已知) ， 所以∠1＝∠2 (两直线平行，内错角相等) .
要点精析：两直线平行是前提，只有在这个前提下才有内错角相等．
新知讲解
怎样利用两直线平行，同位角相等证明内错角相等。
证明：∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
∵∠1+∠4=180°(邻补角的定义),
∴∠2+∠4=180°(等量代换),
（1）已知：如图，直线l1//l2，∠2和∠4是直线l1，l2被直线l截出的同旁内角.
求证：∠2+∠4=180°.
新知讲解
性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简称：两直线平行，同旁内角互补．
表达方式：如图，因为a∥b (已知) ，
所以∠1+∠2=180°(两直线平行，同旁内角互补) .
A
D
C
B
例1：如图所示，已知四边形ABCD 中， AB∥CD， AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何？
解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D
理由：∵AB∥CD （已知 ）
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）
又 ∵ AD∥BC （已知）
∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ）
同理 ∠A=∠C
典例解析
A
D
C
B
例2：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.
证法一：
∵AB∥DC（已知）
∴∠B+∠C=180°
（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠D+∠C=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
A
D
C
B
证法二：
如图，延长BA（构造一组同位角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠1=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
1
例2：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.
A
D
C
B
证法三：
如图，连接BD（构造一组内错角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质）
∴∠2=∠3
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
1
2
3
4
例2：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC.
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
平行线的判定与性质
5.如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，
∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
A
B
C
D
解：因为梯形上、下底互相平行，所以∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.
所以梯形的另外两个角分别是80° 、 65°.
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°
谢谢
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