7.5.2 三角形的外角 课件（共33张PPT）

导入新课
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
48 °
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，
它们的和是180 °.
2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,
则∠ACB= ，∠ACD= .
A
B
C
D
50 °
130°
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
问题：发现懒洋洋独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒洋洋，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，
所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
7.5 三角形内角和定理
第2课时 三角形的外角
学习目标
1.了解并掌握三角形的外角的定义．（重点）
2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算．（难点）
新知导入
1.三角形有几个内角? 内角和是多少？
2.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
48 °
三角形有三个内角 三角形的内角和等于180°
新知讲解
如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角．
什么是外角？
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角.
新知讲解
三角形还有其他外角吗?
你能在图中画出ΔABC的其他外角吗?与同伴交流一下.
A
B
C
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
新知讲解
我们知道∠1是ΔABC的一个外角,猜一猜∠1与ΔABC的内角之间有什么等量关系,理由是什么?在小组内交流.
我们发现∠1+∠4=180°,依据是平角的定义.
我们发现∠1=∠2+∠3. 理由是:
∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理),
∠1+∠4=180°(平角的定义),∴∠1=∠2+∠3.
以上内容你们能得出什么结论?
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
新知讲解
你能确定∠1与∠4的大小关系吗?
因为当∠4是锐角时,∠1>∠4;
当∠4是直角时,∠1=∠4;
当∠4是钝角时,∠1<∠4.
所以∠1与∠4的大小关系不能确定.
新知讲解
那么∠1与∠2,∠3的大小关系呢?
∠1>∠2,∠1>∠3.
理由是什么?
由前面我们知道∠1=∠2+∠3,所以∠1>∠2,∠1>∠3.
由此你能得到什么结论?
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
新知讲解
在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.
像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.
推论可以当做定理使用.
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角
∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
二、三角形的外角的性质
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
如图 ，试比较∠2 、∠1的大小；
如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
?
?
图?
图?
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
性质1：三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和.
性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
A
B
C
D
三角形外角的性质：
∠B+∠C=∠CAD
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
归纳总结
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
例1 如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
A
C
D
B
E
例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.
证法一: ∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知),
∴∠C= ∠EAC(等式的性质).
∵AD平分 ∠EAC(已知).
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAC=∠C(等量代换).
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
典例解析
证法二: 推理可得:
∠DAC=∠C (已证),
∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理).
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换).
∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.
A
C
D
B
E
例2 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC，∠B= ∠C.
求证: ∠BPC＞∠A.
证明: 如图，延长BP，交AC于点D.
∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义),
∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角
大于和它不相邻的任何一个内角).
∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义),
∴ ∠PDC>∠A
(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).
∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性质）
A
B
C
P
D
还有其他证明方法吗？
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
C
2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
F
E
D
C
B
A
B
练一练
例3 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC
的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28°，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
例4 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
E
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
课堂练习
1.下面四个图形中,能判断∠1>∠2的是 (　 　)　　　　　
D
课堂练习
2. 如图所示,已知直线AB∥CD,∠C=125°,∠A=45°,则∠E的度数为
(　 　)
A.70° B.80°
C.90° D.100°
B
课堂练习
3.如图所示,点B是ΔADC的边AD的延长线上一点,DE∥AC,若∠C=50°,∠BDE=60°,则∠CDB的度数等于 (　 　)
A.70° B.100°
C.110° D.120°
C
课堂练习
4.如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是 (　 　)
A.∠A>∠1>∠2
B.∠2>∠1>∠A
C.∠A>∠2>∠1
D.∠2>∠A>∠1
B
拓展提高
5.如图所示,在ΔABC中,∠ABC的平分线和∠ACD的平分线相交于点E.
(1)如果∠A=60°,∠ABC=50°,求∠E的大小;
(2)根据(1)的结论,试猜测一般情况下,∠E和∠A的大小关系,并说明理由.
课堂总结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
2.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php