7.5.1 三角形内角和定理 课件（共36张PPT）

导入新课
我的形状最小，那我的内角和最小.
我的形状最大，那我的内角和最大.
不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?
折叠
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
锐角三角形
测量
480
720
600
600＋480＋720＝1800
（学生运用学科工具—量角器测量演示）
剪拼
A
B
C
2
1
（小组合作，讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程）
7.5 三角形内角和定理
第1课时 三角形内角和定理
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内
角和等于180°.（重点）
2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
新知导入
回顾我们小学做过的实验,你是怎样操作的?
将三角形纸片的三个角剪下,随意将它们拼凑在一起.
由试验可知三角形的内角和正好为一个平角.
但观察与试验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?
这节课我们一起探究一下三角形内角和定理的证明.
新知讲解
我们知道，三角形内角和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？
（1）如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？
（2）根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴进行交流.
新知讲解
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
新知讲解
分析：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，这样就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
新知讲解
证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，
则 ∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.
∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.
新知讲解
我们通过推理的过程,得证了命题:三角形的内角和等于180°是真命题,这时称它为定理,即三角形内角和定理.
1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
2.定理证明的思路：因为180°的角有：
(1)平角；(2)邻补角的和；
(3)平行线间一对同旁内角的和，因此证三角形的内角和为180°就是要把三角形的三个内角转化为上述的三种角，而创造平行线是转化的桥梁．
新知讲解
证法1:过点A作DE∥BC.
∵DE∥BC,
∴∠1=∠B,∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义),
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).
【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?
新知讲解
证法2:过点A作AD∥BC.
∵AD∥BC,∴∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),
∠DAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∵∠DAC=∠1+∠2,
∴∠1+∠2+∠C=180°(等量代换),
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).
【问题】你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗?
新知讲解
综上所述,添加辅助线的目的是什么?你是怎样理解辅助线的?
(1)辅助线通常画成虚线;
(2)辅助线要正确、规范地写出作法,并标明字母,便于书写证明过程;
(3)辅助线能把题目中可利用的隐藏条件显露出来,化难为易.
总结四句话:小小辅助线,作时画虚线,写清其来源,隐藏条件见.
知识要点
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
二、三角形的内角和定理的运用
【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
基本图形
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
总结归纳
4
例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
【变式题】在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．
解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．
比例关系可考虑用方程思想求角度.
解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形 .
练一练：
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .
102°
直角
60°
50°
70°
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°,
∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，
∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
=180°-60°-30° =90°,
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.
解：如图，
由题意得BE∥AD,∠BAD=40°，
∠CAD=15°，∠EBC=80°，
∴∠EBA=∠BAD=40°，
∠BAC=40°+15°=55°,
∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC
=180°-55°-40°=85°．
D
E
课堂练习
1.下列叙述正确的是 (　 　)
A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和
B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角
C.三角形中至少有两个锐角
D.三角形中至少有一个锐角
C
课堂练习
2.若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4,则这个三角形是
(　　 )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
3.如图所示,在ΔABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是ΔABC的角平分线,则∠CAD的度数为 (　 　)
A.40° B.45°
C.50° D.55°
C
A
课堂练习
4.如图所示,已知∠ABC和∠ACB的平分线BD,CE相交于点O,
∠A=60°,求∠BOC的度数.
解:在ΔABC中,∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠ABC+∠ACB的一半等于60°.
∴在ΔBOC中,∠BOC=120°.
拓展提高
5.在ΔABC中,∠ABC=∠C,BD⊥AC,∠ABD=30°,则∠C的度数是多少?
解:①当ΔABC为锐角三角形时,
如图(1)所示,在ΔABD中,
∵BD⊥AC(已知),∴∠ADB=90°(垂直的定义).
又∵∠ABD=30°(已知),
∴∠A=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-30°=60°.
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定理),
∴∠ABC+∠C=120°.
又∵∠ABC=∠C(已知),∴∠C=60°.
拓展提高
②当ΔABC是钝角三角形时,
如图(2)所示,在直角三角形ABD中,
∵∠ABD=30°(已知),
∴∠BAD=60°,∴∠BAC=120°,
又∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°(三角形内角和定理),
∴∠ABC+∠C=60°.
又∵∠ABC=∠C(已知),∴∠C=30°.
综上,∠C的度数应为60°或30°.
5.在ΔABC中,∠ABC=∠C,BD⊥AC,∠ABD=30°,则∠C的度数是多少?
直击中考
6.（2019?铁岭）如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．80°
B
直击中考
7.（2019?赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A=35°，∠D=15°，则∠ACB的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．85°
B
课堂总结
三角形的
内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180 °
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php