7.1 为什么要证明 课件（共40张PPT）

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观察与思考
两图中的中间圆大小一样吗？
这两个色块颜色有什么不同？旋转再看看
线段AB和CD长度完全相等,虽然它们看起来相差很大!
是静还是动？
平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线!
你觉得观察得到的结论正确吗？
7.1 为什么要证明
学习目标
1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理．（重点）
2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．（难点）
新知导入
同学们,请你们用学过的数学知识解决下面的问题。
从A地到B地有五条道路,时间紧急,张先生要从B地赶往A地乘车,此时张先生应该选择哪条路?
张先生应该走第③条路.
你的依据是什么?
两点之间,线段最短.
你还记得我们是如何得到“两点之间,线段最短”这个结论的吗?
新知导入
我们曾经通过观察、实验、归纳等活动得到了很多正确的结论.
但是通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?
如何才能得到正确的结论呢?
新知导入
图(1)中的两条线段a,b长度相等吗?
观察的结果是线段a比较长;
经过测量,线段a,b长度相等.
新知导入
图(2)中的四边形是正方形吗?
请你先观察,再设法检验你观察到的结论.
观察的结果是四边形的四条边是曲线;
经过直尺验证,四边形是正方形.
新知讲解
如图,把地球看成球形,假设用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来,铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.
解:设赤道的周长为C米,则铁丝的长为(C+1)米,那么铁丝与地球赤道间的间隙为R-r,
0.16 m=16 cm.
新知讲解
通过计算我们可以看出,判断一个结论是否正确,依靠直觉是不可靠的.要想得到正确的结论,必须经过计算来证实.
请大家解决下面问题.
代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.
讲授新课
判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、
实验还不够；
必须经过一步一步、 有根有据的推理.
请举例说明，你用到过的推理.
一、数学的结论必须经过严格的论证
a
b
考考你的眼力
线段a与线段b哪个
比较长？
a
b
c
d
谁与线段d在
一条直线上？
a
b
a
b
c
d
检验你的结论
a=b
做一做
如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道
之间的间隙为 ：
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头.
费 马
对于所有自然数n， 的值都是质数.
当n=0，1，2，3，4时，
= 3，5，17，257，65 537
都是质数
欧 拉
当n=5时，
= 4 294 967 297=
641×6 700 417
举出反例是检验错误数学结论的有效方法.
大数学家也有失误
归纳总结
这个故事告诉我们：
1. 学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.
2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.
3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.
【类型一】 实验验证
例1：先观察再验证．
(1)图①中实线是直的还是弯曲的？
(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？
(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？
二、检验数学结论的常用方法
解：观察可能得出的结论是：
(1)实线是弯曲的；
(2)a更长一些；
(3)AB与DC不平行．
而我们用科学的方法验证后发现：
(1)实线是直的；
(2)a与b一样长；
(3)AB平行于CD.
方法归纳
有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论．
【类型二】 推理证明
例2：当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值都
等于1吗？
解：当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；
当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；
当n＝3时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；
当n＝4时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；
当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝52＝25≠1.
所以当n为正整数时，(n2－5n＋5)2不一定等于1.
【方法总结】验证特例是判断一个结论错误的最好方法．
【类型三】 举出反例
例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；
(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；
(3)由(1)、(2)你发现了什么？
(4)你能肯定上述的发现吗？
分析：图中∠AOB、∠COD均与∠BOC互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB与∠COD的度数．通过计算发现∠AOB＝∠COD，于是可以归纳∠AOB＝∠COD.
例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；
解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°.
∵∠BOC＝30°，
∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.
解：(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.
例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；
解：(4)∵∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，
∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.
∴∠AOB＝∠COD.
【方法总结】检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论．
例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(4)你能肯定上述的发现吗？
课堂练习
1.小刚和小明在手工制作课上,用同种小铁丝制作的楼梯模型如图所示.那么他们用的材料长度(　　)
A.一样多 B.小刚的多 C.小明的多 D.无法判断
A
课堂练习
2.骑自行车的速度是每小时15千米,骑摩托车的速度是每小时40千米,则下列结论中你能肯定的是 (　　)
A.从A地到B地,骑摩托车的人一定比骑自行车的人先到达
B.从A地到B地,骑自行车的人一定比骑摩托车的人先到达
C.从A地到B地,骑自行车的人和骑摩托车的人不可能同时到达
D.从A地到B地,骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达
D
课堂练习
3.下列说法正确的是 (　 　)
A.通过观察完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是科学家的事,与我们没有多大的关系
C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数
D.有10个苹果,将它们放进9个筐中,则至少有一个筐中的苹果数不少于2个
D
课堂练习
4.为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示,按照下面的规律,摆第n个图需要火柴棒的根数为　　　　.
6n+2
拓展提高
5.数学家迪布凡尔在1590年曾注意到,在形如6n-1和6n+1的数对5,7;11,13;17,19;23,25;29,31;35,37;41,43;…中,当“n”在取前几个自然数时,都至少有一个质数,由此他提出猜想:“对于任何自然数n(n≠0),6n-1和6n+1这两个数中至少有一个质数.”你认为这个猜想正确吗?
验证一下:n=8时,结论成立吗?n=9呢?n=10呢?n=20呢?
这说明了什么?
拓展提高
解:不正确.
当n=8,9,10时结论都成立,当n=20时结论不成立.
说明观察、归纳和猜想是重要的,但仅凭此得出的结论不一定可信,还必须经过严格的推理证明.
课堂总结
为什么要证明
数学结论必须经过严格的论证
实验验证
举出反例
推理证明
论证方法
谢谢
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