人教版数学九年级上册24.3正多边形和圆复习（Word版 含解析）

24.3正多边形和圆复习
知识点回顾
1、基本概念：只要把一个圆分成
的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的
．
一个正多边形的外接圆的
叫作这个正多边形的中心，外接圆的
叫作这个正多边形的半径；
正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的
；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的
.
正
n边形的一个内角的度数为
，中心角的度数等于
。
圆内接正三角形、正方形、正六边形边长之比：
边心距之比：
。
课上练习
1.
正八边形的中心角是(　　)
A．45°
B．135°
C．360°
D．1080°
2.
下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　　)
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
3．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（
）
A．∶
3
B．∶1
C．∶
D．1∶
4、已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（　　）
A．1
B．
C．2
D．
5、如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则（
）
A．
B．
C．
D．
6、如图，的外切正八边形的边长2，则的半径为（
）
A．2
B．
C．3
D．
7、已知正六边形的半径为r，则它的边长、边心距、面积分别为(　　)
A.r，r，r2
B．r，，2r2
C.r，r，r2
D．r，，r2
8、
(2019?扬州)如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=__________．
9、如图，五边形为的内接正五边形，则________．
三、课后作业
1.
以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则该三角形的面积是
(　　)
A.
B.
C.
D.
2、如图，是正六边形的外接圆，是弧上一点，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
3、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为BC上一点，连接AF，若∠AFC＝126°，则∠BAF的度数为_____．
4、
若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为(　　)
A.
B．2
C.
D．1
5、如图，AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC恰好是⊙O内接正n边形的一边，则n等于________．
6、
如图2，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)
求图①中∠MON的度数；
(2)
图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．
四、中考真题：
1．（2020?凉山州）如图，等边三角形和正方形都内接于，则　　
A．
B．
C．
D．
2．（2020?随州）设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是　　
A．
B．
C．
D．
3．（2019?柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为　　．
答案：
二、课上练习
1.
正八边形的中心角是(　　)
A．45°
B．135°
C．360°
D．1080°
【详解】：A
2.
下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　　)
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
【详解】∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．
故选A.
3．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（
）
A．∶
3
B．∶1
C．∶
D．1∶
【详解】设此圆的半径为R，
则它的内接正方形的边长为R，
它的内接正六边形的边长为R，
内接正方形和内接正六边形的周长比为：4R：6R＝∶
3．
故选：A．
4、已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（　　）
A．1
B．
C．2
D．
【详解】如图，连接OA，作OM⊥AB．
∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴∠AOM=30°，AMAB2=1，∴正六边形的边心距是OM．
故选B．
5、如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则（
）
A．
B．
C．
D．
【详解】解：如图，连接，，
是正五边形，
∠COD=720
∠CPD为∠COD的一半。
故选：．
6、如图，的外切正八边形的边长2，则的半径为（
）
A．2
B．
C．3
D．
【详解】解：如图，连接OA、OH，作OP⊥OH于P，作OQ⊥AH于Q，易知OQ是的半径，
设OA=OH=2x，
∵八边形是正八边形，∴∠AOH==45°，∴∠OAP=45°，∴OP=AP=，
∴PH=，∴，∴，
∴===，∴.
故选：B.
7、已知正六边形的半径为r，则它的边长、边心距、面积分别为(　　)
A.r，r，r2
B．r，，2r2
C.r，r，r2
D．r，，r2
【详解】D
8、
(2019?扬州)如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=__________．
【解析】如图，连接OB，
∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°，
∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°，
∴∠AOB=60°–36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为：15．
9、如图，五边形为的内接正五边形，则________．
解：解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴AB=BC，∠B=∠BAE=，
∴∠ACB=∠BAC=36°，
同理∠EAD=36°，
∴∠CAD=108°-36°-36°=36°，
故答案为：36°．
三、课后作业
1.
以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则该三角形的面积是
(　　)
A.
B.
C.
D.
[解析]
如图①，∵OC＝1，∴OD＝；
如图②，∵OB＝1，∴OE＝；
如图③，∵OA＝1，∴OD＝，
则该三角形的三边长分别为，，.
∵()2＋()2＝()2，∴该三角形是以，为直角边长，为斜边长的直角三角形，
∴该三角形的面积是××＝.
故选D.
2、如图，是正六边形的外接圆，是弧上一点，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【详解】
解：连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=
=60°，
∴∠CPD=
∠COD=30°.
故选A．
3、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为BC上一点，连接AF，若∠AFC＝126°，则∠BAF的度数为_____．
【详解】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠ABC==108°，
∵∠AFC=126°，
∴∠BAF=∠AFC﹣∠ABF=126°﹣108°=18°．
故答案为：18°．
4、
若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为(　　)
A.
B．2
C.
D．1
【答案】A　[解析]
如图所示，连接OA，OE.
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝OE.
在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，∴22＝AE2＋OE2，
∴OE＝.故选A.
5、如图，AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC恰好是⊙O内接正n边形的一边，则n等于________．
[解析]
连接OA，OB，OC，如图．
∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOB＝90°，∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝30°，∴n＝＝12，即BC恰好是⊙O内接正十二边形的一边．
6、
如图2，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)
求图①中∠MON的度数；
(2)
图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．
【答案】
解：(1)方法一：连接OB，OC.
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，
∴∠MON＝∠BOC＝120°.
方法二：连接OA，OB.
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.
∵BM＝CN，∴AM＝BN.
又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，
∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.
(2)90°　72°
(3)∠MON＝°.
四、中考真题：
1．（2020?凉山州）如图，等边三角形和正方形都内接于，则　　
A．
B．
C．
D．
解：连接、、，过作于，如图所示：
则，
正方形和等边三角形都内接于，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
故选：．
2．（2020?随州）设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【详解】：如图，是等边三角形，
的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为，
设，，，
，故正确；
，
，
在中，
，故正确；
，
，
，
，，
，，故错误，正确；
故选：．
3．（2019?柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为　5　．
【详解】：如图所示，连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，
∵OE⊥BC，
∴OE＝BE，
即a＝5．
故答案为：5．