(共37张PPT)
第五章
相交线与平行线
5.1
相交线
第2课时
垂线
1
课堂讲解
垂直的定义
垂线的画法
垂线的性质
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
如图所示是北京天安门
广场庄严隆重的升国旗仪式，
是亿万中国人民特别关注的
活动.众所周知，1949年10
月1日，毛泽东主席在天安
门城楼上用洪亮的声音向全
世界宣告中华人民共和国诞
生，亲手升起了第一面五星
红旗.
天安门广场的升国旗仪式一招一式欣赏性极强，
人们概括有“五绝”.一绝：升旗；二绝：护旗；三绝：
敬礼；四绝：礼毕；五绝：收旗.其中的每招每式都有
极其严格的要求.每一次，当擎旗手以优美的动作，在
国歌奏响第一个音符时，将国旗展开抛出，到国歌的
最后一个音符终止，都是2分07秒，国旗也准时到达30
米高的旗杆顶端，做到了分秒不差.可是，你看着旗杆
与地面，会想到旗杆与地面有怎样的位置关系呢？
1
知识点
垂直的定义
当转动一木条的位置时，什么也随着发生了变化？
a
b
在同一平面内，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直.
垂足
垂
线
垂
线
定义：在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，
如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直；
记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”；其中
一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O
叫做垂足．如图.
导引：
要判断OE，OF是什么位置关
系，其实质是说明OE，OF是
否垂直，即要看∠EOF是否为
90°；要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝
∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题
转化为说明∠AOE＝∠COF(已知)了．
例1
如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射
线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下：
因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°.
又因为∠AOE＝∠COF，
所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，
即∠AOC＝∠EOF＝90°.
所以OE与OF互相垂直(垂直定义)．
总
结
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要
依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四
个角中有一个角是直角即可．
导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角，
且∠BOD与∠BOE互余，即可
求出∠AOC的度数；根据OD平
分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋∠BOF即可求出
∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得
∠AOF的度数．
例2
如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，
OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF.如果∠BOE＝
50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数．
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定义)．
因为∠BOE＝50°，
所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝
90°－50°＝40°.
因为OD平分∠BOF，
所以∠BOF＝2∠BOD＝80°.
所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°，
∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.
1
当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？
（来自《教材》）
当两条直线相交，所成的四个角都相等时，这两条直线互相垂直．理由：设所成的四个角中有一个角的度数为m°，则其余三个角的度数分别为180°－m°，m°，180°－m°，由题意知，m°＝180°－m°，得m°＝90°，所以180°－m°＝90°，所以这两条直线互相垂直．
解：
练一练
如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝145°，则∠3的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
2
C
【中考·德宏州】如图，三条直线相交于点O，
若CO⊥AB，∠1＝56°，则∠2等于( )
A．30°
B．34°
C．45°
D．56°
3
B
如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，则∠DOB的大小为( )
A．36°
B．54°
C．55°
D．44°
4
B
如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
5
C
已知在同一平面内：
①两条直线相交成直角；
②两条直线互相垂直；
③一条直线是另一条直线的垂线．
那么下列因果关系：①→②③；②→①③；③→①②中，正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
6
D
2
知识点
垂线的画法
用三角尺画垂线的方法：
一贴，用三角尺的一条直角边贴住已知直线；
二靠，用三角尺的另一条直角边靠住已知点；
三画，画出垂线．
如果作线段互相垂直或作射线的垂
线，实际上是作线段所在的直线互相垂直，或作射线
所在的直线的垂线，因为射线和线段都是直线的一部
分．在垂线的画法中，有时需延长线段，垂足在延长
线上，并记上直角符号“﹁”．
注意：画垂线也可用以下两种方法：
(1)利用量角器画；(2)用折叠法画．
例3
如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请
你按照下列要求画图：
(1)过M点画直线AB的垂线m；
(2)过M点画直线BC的垂线n；
(3)过M点画直线AC的垂线p.
导引：观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画
已知直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知
直线的垂线，所以按照“一靠、二过、三画”
的方法画图即可．
解：画出的直线m，n，p如上页图.
总
结
过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知
点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角
是90°.
1
画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.
如图，请你过点P画
出射线AB或线段AB的垂线.
（来自《教材》）
如图所示．
解：
练一练
过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足
在( )
A．这条线段上
B．这条线段的端点处
C．这条线段的延长线上
D．以上都有可能
2
D
3
知识点
垂线的性质
探究
如图.
(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?
(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
归
纳
经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直
线的一条垂线，并且只
能画出一条垂线.即
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直.
（来自《教材》）
在平面内，不是在空间内，这是需要注意的条件:
其中，一点可以是直线上一点也可以是直线外一点；
“有且只有”中的“有”是指能画出一条已知直线的
垂线，即存在性，“只有”是指只能画一条，即唯
一性．
例4〈厦门〉如图，已知直线AB，CB，l在同一平面内，
若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合
题意的图形可以是( )
C
导引：根据题意可知，过点B有AB，CB都与直线l垂直，
由垂线的性质可知，在同一平面内，过一点有且
只有一条直线与已知直线垂直，所以A、B、C三
点在一条直线上．
总
结
利用直线的性质解答题目，要注意直线性质满足的条件：
1.
在平面内；
2.
过一点，点的位置可以在直线上也可以在直线外；
3.
相交所成的角必须是直角，以上三条缺一不可.
在同一平面内，下列语句正确的是( )
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．和一条直线垂直的直线有两条
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．若两直线相交，则它们一定垂直
1
C
练一练
如图，如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合(即O，M，N三点共线)，其理由是( )
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只
有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已
知直线垂直
D．两点之间，线段最短
2
C
以下几个方面由学生自己总结:
①
垂线的定义及垂直的符号表示;
②
垂线的有关性质;
③
过一点作已知直线的垂线的方法.
1
知识小结
(1)在图①中，过AB外一点M作AB的垂线；
(2)在图②中，过点A，B分别作OB，OA的垂线．
2
易错小结
解：
(1)如图①所示．
(2)如图②所示．
本题易错之处在于误认为垂足一定落在线段或射线上．
易错点：误认为垂足一定要在线段或射线上而导致
错误.(共34张PPT)
第5章
相交线与平行线
5.1
相交线
第3课时
垂线段
1
课堂讲解
垂线段的定义
垂线段的性质
点到直线的距离
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
如图所示,
村庄A要从河流
l
引水入庄,
需修筑一
水渠,
如何修水渠最短呢？
1
知识点
垂线段的定义
如图所示，点P是直线l外的一点，PO与直线l垂
直，点O为垂足，我们把线段PO叫做点P到直线l的
垂线段.
总
结
过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点
与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线
段.
如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下面的结论中，正确的个数为(
)
①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AB；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到BC的距离．
A．2
B．3
C．4
D．5
例1
A
根据垂直定义，可知①正确，②错误；点C到AB
的垂线段应是线段AC，故③错误；点到直线的距
离是线段的长度而不是线段，故④⑥错误；⑤符
合定义，正确．
分析：
总
结
解答概念、性质辨析题，首先要熟记概念和性
质，然后根据垂线的定义与性质、垂线段与点到直线
距离的概念作出正确的判断即可．所以记忆与理解相
结合是学好数学的前提.
下列说法正确的是( )
A．垂线段就是垂直于已知直线的线段
B．垂线段就是垂直于已知直线并且与已知直
线相交的线段
C．垂线段是一条竖起来的线段
D．过直线外一点向该直线作垂线，这一点到
垂足之间的线段叫垂线段
1
D
练一练
2
知识点
垂线段的性质
思考
如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，
如何挖渠能使渠道最短？
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
垂线段最短
P
A
B
C
m
D
简单说成：垂线段最短．
归
纳
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引
到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：
方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为点E，F，沿CE，DF铺设管道；
方案二：连接CD交AB于点P，
沿PC，PD铺设管道．
这两种铺设管道的方案哪一种
更节省材料？为什么？
(忽略河流的宽度)
例2
要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度最
短．方案一中CE，DF是垂线段，而方案二中PC，
PD不是垂线段，所以CE＜PC，DF＜PD，所以
CE＋DF＜PC＋PD，所以方案一更节省材料．
解：
导引：
按方案一铺设管道更节省材料，理由如下：
因为CE⊥AB，DF⊥AB，CD不垂直于AB，
根据“垂线段最短”可知，CE＜PC，DF＜DP，
所以CE＋DF＜PC＋DP.
所以沿CE，DF铺设管道更节省材料．
总
结
本题主要利用“垂线段最短”来解决实际问题，
解这类求最短距离问题时，要注意“垂线段最短”与
“两点之间，线段最短”的区别，辨明这两条性质的应
用条件：点到直线的距离，两点间的距离；正确运用
解题方法．
例3
如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解
决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水
池．
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位
置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？
并说明根据．
解：(1)如图，连接AD，BC，交于点H，则H点为蓄水池
的位置，它到四个村庄距离之和最小．
(2)如图，过点H作HG⊥EF，垂足为G，则沿HG开
渠最短．根据：连接直线外一点与直线上各点的
所有线段中，垂线段最短．
总
结
本题考查了垂线段的性质在实际生活中的运用．
体现了建模思想的运用．
如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在( )
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
1
A
练一练
如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6
cm，BC＝4
cm，
则BD的长度的取值范围是( )
A．大于4
cm
B．小于6
cm
C．大于4
cm或小于
6
cm
D．大于
4
cm且小于
6
cm
D
3
如图，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P
可以在直线BC上自由移动，则AP的长不可能是
( )
A．2.5
B．3
C．4
D．5
A
3
知识点
点到直线的距离
从直线外一点到这条直线所画垂直线段的长度叫做这点到直线的距离.
例4
如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥
AB，垂足为D.若AC＝4
cm，BC＝3
cm，AB＝
5
cm，则点A到直线BC的距离为______cm，点
B到直线AC的距离为______cm，点C到直线AB
的距离为______cm.
4
3
2.4
导引：根据点到直线的距离的定义可知，点A到直线BC
的距离是线段AC的长，点B到直线AC的距离是线
段BC的长，点C到直线AB的距离是线段CD的长．
因为三角形ABC的面积S＝
所以AC·BC＝AB·CD，进而可得CD＝2.4
cm.
总
结
正确理解点到直线的距离及两点间的距离是解决
此类问题的关键．解决此类问题应注意：(1)点到直线
的距离是点到直线的垂线段的长度，而不是垂线，也
不是垂线段；(2)距离表示线段的长度，是一个数量，
与线段不能等同；(3)用垂线段的长度表示点到直线的
距离，其实质是点与垂足两点间的距离，体现了数形
结合思想．
1
（来自《教材》）
如图，三角形ABC中，∠C=90°.
(1)分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离
是哪些线段的长；
(3)三条边AB，AC，BC中哪条边最长？为什么？
A
练一练
（来自《教材》）
(1)点A到直线BC的距离是线段AC的长．点B到直
线AC的距离是线段BC的长．
(2)AB边最长．因为连接点B与AC上各点的所有线
段中，垂线段最短，已知BC⊥AC，所以
BC
连接点A与BC上各点的所有线段中，
垂线段最短，已知AC⊥BC，所以AC综上所述，三条边AB，AC，BC中，AB边最长．
解：
下列说法中，正确的有( )
①过两点有且只有一条直线；
②连接两点的线段叫做两点的距离；
③两点之间，垂线最短；
④若AB＝BC，则点B是线段AC的中点．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2
A
练一练
【中考·北京】如图所示，点P到直线l的距离是( )
A．线段PA的长度
B．线段PB的长度
C．线段PC的长度
D．线段PD的长度
3
B
【中考·淄博】如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( )
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
4
D
【中考·常州】已知三角形ABC中，BC＝6，AC＝3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是( )
A．2
B．4
C．5
D．7
5
A
垂线段是一条与已知直线垂直的线段.
垂线段所
在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线
与已知直线垂直．
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线
段的长度，叫做点到直线的距离．
1
知识小结
点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4
cm，PB＝5
cm，PC＝2
cm，则点P到直线m的距离( )
A．等于4
cm
B．等于2
cm
C．小于2
cm
D．不大于2
cm
2
易错小结
D
易错点：对垂线段的性质理解不透彻而致错.
错解：
B
诊断：
点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度．虽然垂线段最短，但是并没有说明PC是垂线段，所以垂线段的长度可能小于2
cm，也可能等于2
cm.