(共24张PPT)
第五章
相交线与平行线
5.2
平行线及其判定
第2课时
用同位角、第三直线判定两直线平行
1
课堂讲解
用同位角判定两直线平行
用第三直线判定两直线平行
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
同学们根据前面所学内容，看下图请找出
哪些角是内错角
哪些角是同位角
哪些角是同旁内角
哪些角是对顶角
它们有什么联系
2
3
4
1
5
7
8
6
1
知识点
用同位角判定两直线平行
思考
我们以前已学过用直尺和三角尺画平行线(如图).
在这一过程中，三
角尺起着什么样的
作用？
请按下图所示方法画两条平行线，然后讨论下面的问题:
(1)上面的画法可以看做是怎
样的图形变换?
(2)把图中的直线l1，l2看成被
尺边AB所截,那么在画图过
程中,什么角始终保持相等?
平移变换
同位角
由此你能发现判定两直线平行的方法吗?
一般地，判断两直线平行有下面的方法:
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单地说，同位角相等，两直线平行.
例1
如图，已知∠1＝∠2，则下列结论正确的是( )
A．AD∥BC B．AB∥CD
C．AD∥EF
D．EF∥BC
导引：要判定哪两条直线平行，就是要确定∠1，∠2
是哪两条直线被第三条直线
截得到的同位角,
即找出∠1，
∠2除公共边所在直线外的另
两边所在直线．
C
总
结
利用同位角相等来判定两直线平行的方法：
首先要找出这对同位角是哪两条直线被第三条直线
所截形成的；再根据“同位角相等，两直线平行”推
导出这两条直线平行．
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同
一条
直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
垂直总与直角联系在一起，进而用判断
两条直
线平行的方法进行判定.
例2
分析：
（来自《教材》）
这两条直线平行.
理由如下：
如图.
∵a⊥b，
∴∠1=90°.
同理∠2=90°.
∴∠1=∠2
.
∵
∠1和∠2
是同位角，
∴b∥c
(同位角相等，两直线平行).
答：
（来自《教材》）
总
结
判断两条直线是否平行，可以找出这两条直
线被第三条直线所截得到的一对同位角，并利用
相关角的条件判断其是否相等，如果相等，那么
这两条直线平行．
练一练
如图，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为________，理由是_______________________．
1
AB∥CD
同位角相等，两直线平行
知1－练
如图，能判定EB∥AC的条件是( )
A．∠C＝∠ABE
B．∠A＝∠EBD
C．∠C＝∠ABC
D．∠C＝∠EBD
2
D
2
知识点
用第三直线判定两直线平行
如图,你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗?
总
结
平行于同一条直线的两直线平行.
如图所示，直线AB、CD是一条河的两岸，并AB∥CD，点E为直线AB、CD外一点．现想过点E作CD的平行线，则只需过点E作岸AB的平行线即可．其理由是什么?
例3
利用平行线的性质，把实际问题转化为数学
问题回答.
解：
分析：
理由是(1)过直线外一点有且只有一条直线与
已知直线平行．(2)如果两条直线都与第三条
直线平行，那么这两条直线也互相平行．
总
结
在同一平面内和一条直线平行的直线也互相
平行．
如图，木工师傅利用直角尺在木板上画出两条线段，则线段AB________CD.
1
∥
练一练
在每一步推理后面的括号内填上理由．
(1)如图①，因为AB∥CD，EF∥CD，
所以AB∥EF(________________________)．
(2)如图②，因为AB∥CD，过点F作EF∥AB
(____________________________________)，
所以EF∥CD(________________________)．
2
平行于同一直线的两条直线平行
过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
平行于同一直线的两条直线平行
三条直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是( )
A．a⊥b
B．a∥b
C．a⊥b或a∥b
D．无法确定
3
B
判定两直线平行的方法：
(1)利用平行线的定义判定；
(2)利用“同位角相等，两直线平行”判定；
(3)利用“第三直线”判定．
1
知识小结
如图，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，
∠1＝∠2，试问CD与EF平行吗？为什么？
解：CD∥EF.理由：因为∠1＝∠2(__________)，
所以AB∥EF(______________________________)．
因为AB⊥BD，CD⊥BD，
所以AB∥CD(_____________________________________).
所以CD∥EF(___________________________________)．
2
易错小结
已知
同位角相等，两直线平行
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
平行于同一条直线的两条直线互相平行
本题学生容易混淆判定两直线平行的几种方法，从而导致错误．
易错点：填错理由而致错.(共36张PPT)
第五章
相交线与平行线
5.2
平行线及其判定
第3课时
用内错角、同旁内角判定两直线平行
1
课堂讲解
用内错角相等判定两直线平行
用同旁内角互补判定两直线平行
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
判断两直线平行的方法:
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单地说，同位角相等，两直线平行.
1
知识点
用内错角相等判定两直线平行
两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、
内错角和同旁内角.由同位
角相等，可以判定两条
直
线平行，那么能否利用内
错角来判
定两条直线平
行呢？
总
结
（来自《教材》）
判定方法2
两条直线被第三条直线所截，如果内错
角相等，那么这两条
直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
例1
如图，∠AEF＝∠EFC，则下列结论中正
确
的是( )
A．AD∥BC
B．AB∥CD
C．AD∥EF
D．EF∥BC
导引：∠AEF和∠EFC是直线AB,CD被直线EF所截
得到的内错角，根据“内错角相等，两直线平
行”可知，AB∥CD.
B
总
结
利用内错角相等来判定两直线平行的方法：
(1)看两角是不是两直线被第三条直线截得的角；
(2)看两角是不是由上述直线形成的内错角，若是，
看其是否相等．若相等，则两条直线平行．
例2
如图，已知∠ADE＝60°，DF平分∠ADE，
∠1＝30°，试
说明：DF∥BE.
导引：要想说明DF∥BE，可通过说明∠1＝∠EDF
来实现，由于∠1＝30°，所以只需求出∠EDF
＝30°，而这个结论可通过DF是∠ADE的平分
线来求得．
解：∵DF平分∠ADE(已知)，
∴∠EDF＝
∠ADE(角平分线的定义)．
又∵∠ADE＝60°，
∴∠EDF＝30°.
又∵∠1＝30°(已知)，
∴∠EDF＝∠1，
∴DF∥BE(内错角相等，两直线平行)．
总
结
要判定两直线平行可以通过说明同位角相等
或内错角相等来实现，至于到底选用同位角还是
选用内错角，要看具体的题目，要尽可能与已知
条件联系．
（来自《教材》）
如图，BE是AB的延长线.
(1)由∠CBE=
∠A
可以判定哪两
条直线平行？
根据是什么？
(2)由∠CBE=
∠C可以判定哪两
条直线平行？
根据是什么？
1
(1)由∠CBE＝∠A可以判定AD∥BC.
根据是：同位角相等，两直线平行．
(2)由∠CBE＝∠C可以判定AB∥CD.
根据是：内错角相等，两直线平行．
解：
练一练
如图，已知∠1＝∠2，则图中互相平行的线段是____________．
2
AD与BC
如图，已知∠1＝120°，当∠2＝________时，a∥b，理由是___________________________．
3
120°
内错角相等，则两条直线平行
如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，若要使AB∥CD，则需要添加的条件是( )
A．∠1＝∠2
B．∠2＝∠3
C．∠3＝∠4
D．∠4＝∠5
4
D
如图，若∠1与∠2互补，∠2与∠4互补，则( )
A．l4∥l5
B．l1∥l2
C．l1∥l3
D．l2∥l3
5
C
2
知识点
同旁内角互补判定两直线平行
探究
遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的(或已
解决的)问题.
这一节中，我们是怎样利用“同位角相
等，两直线平行”得到“内错角相
等，两直线平行”
的？你能利用“同位角相等，两直线平行”或“内错
角相等，两直线平行”得到“同旁内角互补，两直线
平行”吗？
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，
那么这两条直线平行．
简称：同旁内角互补，两直线平行．?
表达方式：如图：
∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
∴a∥b(同旁内角互补，两
直线平行)．
例3
如图，直线AE，CD相交于点O，如果∠A＝
110°，∠1＝70°，就可以说明AB∥CD，
这是为什么？
?
导引：由题意可知∠1＝∠AOD＝70°，
又∵∠A＝110°,
∴∠A＋∠AOD＝180°，故
AB∥CD.
解：因为∠1＝∠AOD(对顶角相等)，∠1＝70°，
所以∠AOD＝70°.
又因为∠A＝110°，
所以∠A＋∠AOD＝180°(等式的性质)．
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
总
结
1．本题运用数形结合思想．平行线的判定是由角之间
的数量关系到“形”的判定．要判定两直线平行，可
围绕截线找同位角、内错角或同旁内角，若同位角
相等、内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行．
2．用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补中的一
个方法说明两直线平行时，一般都要通过结合对顶角、
邻补角等知识来说明．
例4
如图，∠1＝65°，∠2＝65°，∠3＝115°，试
说明(1)DE∥BC；
(2)DF∥AB.
根据图形，完成下列推理：
(1)∵∠1＝65°，∠2＝65°，
∴∠1＝∠2.
∴_____∥_____(
)．
(2)∵AB，DE相交，∴∠1＝∠4(
)．
∴∠4＝65°，又∵∠3＝115°，
∴∠3＋∠4＝180°，
∴_____∥____(
)．
同旁内角互补，两直线平行
DE
BC
同位角相等，两直线平行
对顶角相等
DF
AB
∠1与∠2是直线DE，BC被直线AB所截得到的同
位角，所以DE∥BC，理由是“同位角相等，两直
线平行”．∠1与∠4是两条直线AB与DE相交得到
的对顶角，所以∠1＝∠4，理由是“对顶角相等”，
∠3与∠4是直线DF，AB被直线DE所截得到的同
旁内角，所以DF∥AB，理由是“同旁内角互补，
两直线平行”．
导引：
总
结
(1)由两角相等或互补关系，判定两条直线平行，其
关键是找出两个角是哪两条直线被哪一条直线所
截而成的角．
(2)是选用两角相等，还是选用互补关系说明两直线
平行，应根据实际图形，灵活运用其中一种方法
说明即可．
判定两直线平行的方法：
方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两
条直线就是平行线．
方法二：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这
两条直线也互相平行．
方法三：同位角相等，两直线平行．
方法四：内错角相等，两直线平行．
方法五：同旁内角互补，两直线平行．
方法六：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直
线平行．
例5
如图，直线MN和直线AB，CD，EF分别交于点
G，H，P，∠1＝∠2，
∠2＋∠3＝180°，试问：
AB与EF平行吗？为什么？
导引：要说明AB∥EF，我们无法找出这两条直线被
MN所截的角相等或互补的条件，因此可考虑这
两条直线是否同时与第三条直线CD平行；即只
需说明AB∥CD，EF∥CD即可．
平行．
因为∠1＝∠2，∠1＝∠BGH，
所以∠2＝∠BGH(等量代换)，
所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
所以∠2＋∠3＝180°，∠3＝∠HPF，
所以∠2＋∠HPF
＝180°(等量代换)．
所以CD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
所以AB∥EF(如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行)．
解：
总
结
在判定两条直线互相平行的问题中，如果不能
直接根据平行线的判定方法得出结论，可根据题目
中的已知条件与哪些判定方法的条件相同或相关联，
运用转化思想(用第三条直线作中介)将问题进行转
化(同平行于第三条直线或同垂直于第三条直线)，
使之满足平行线的判定方法．
在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的.如图，
已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个
角，就可以判断两
条直轨是否平行？为什么？
1
再度量题图中的∠3或∠4或
∠5，就可以判断两条直轨
是否平行．理由是：如果再度量∠3或∠4或∠5，就可以分别根据同旁内角是否互补，同位角是否相等，内错角是否相等来判断两条直轨是否平行.
解：
练一练
如图，这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分.
其中的横格线互相平行
吗？你有多少种判别方法？
2
其中的横格线互相平行．有4种判别方法：
①同位角相等，两直线平行．
②内错角相等，两直线平行．
③同旁内角互补，两直线平行．
④在同一平面内，如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
解：
【中考·赤峰】如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，则( )
A．AB∥BC
B．BC∥CD
C．AB∥DC
D．AB与CD相交
3
C
【中考·山西】如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是( )
A．∠1＝∠3
B．∠2＋∠4＝180°
C．∠1＝∠4
D．∠3＝∠4
4
D
(中考·长春)如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
5
A
如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定BC∥AD的是( )
A．∠1＝∠2
B．∠DAB＋∠D＝180°
C．∠3＝∠4
D．∠B＝∠DCE
6
C
1.由“内错角相等”判定两直线平行：内错角相等，
两直线平行.
2.由“同旁内角”判定两直线平行：同旁内角互补，
两直线平行.
1
知识小结
如图，下列推理正确的有( )
①因为∠1＝∠4，所以BC∥AD；
②因为∠2＝∠3，所以AB∥CD；
③因为∠BCD＋∠ADC＝180°，所以AD∥BC；
④因为∠1＋∠2＋∠C＝180°，所以BC∥AD.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2
易错小结
A
在分不清截线和被截线的情况下，容易误认为①②④也是正确的．
易错点：不能准确识别截线和被截线，从而误判两
直线平行.
