5.3. 平行线的判定和性质的综合应用（共34张ppt）

(共34张PPT)
第五章
相交线与平行线
5.3
平行线的性质
第3课时
平行线的判定和性
质的综合应用
1
课堂讲解
平行线性质的应用
平行线判定的应用
平行线的性质和判定的综合应用
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
课后作业
复
习
回
顾
平行线的三个性质：
两直线平行，同位角相等．
两直线平行，内错角相等．
两直线平行，同旁内角互补．
1
知识点
平行线的性质的应用
下图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，
梯
形的另外两个角
分别是多少度？
例1
因为梯形上、下两底AB与DC互相平行，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与
∠D互补，
∠B与∠C互.补
于是
∠D
=
180°-∠A=180°-100°=80°，
∠C
=
180°-∠B=180°-115°=65°
.
所以梯形的另外两个角分别是80°，65°.
解：
例2
如图，将一张长方形的纸片沿EF折叠后，点D，
C分别落在D′，C′位置上，ED′与BC的交点为
点G，若∠EFG＝50°，求∠EGB的度数．
导引：本题根据长方形的对边是平行的，利用平行线
的性质：两直线平行，内错角相等，先求
∠DEF＝50°，再根据折叠前后的对应角相等
求得∠D′EF＝50°，然后根据平角的定义得
∠AEG＝80°，最后根据两直线平行，同旁内
角互补求得∠EGB＝100°.
解：∵四边形ABCD是长方形(已知)，
∴∠A＝∠B＝90°(长方形的定义)．
∴∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠DEF＝∠EFG(两直线平行，内错角相等)．
∵∠EFG＝50°(已知)，
∴∠DEF＝50°(等量代换)．
∵∠DEF＝∠D′EF(折叠的性质)，
∴∠D′EF＝50°(等量代换)．
∴∠AEG＝180°－∠DEF－∠D′EF＝80°(平角的定义)．
又∵AD∥BC，
∴∠AEG＋∠EGB＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠EGB＝180°－∠AEG＝180°－80°＝100°.
总
结
解决折叠问题的关键是找到折叠前后相等的角，
然后熟练利用平行线的性质来求角的度数．
1
如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF＝140°，则∠A等于(　　)
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
B
练一练
2
【中考·遵义】如图，在平行线a，b之间放置一块直角三角板，三角板的顶点A，B分别在直线a，b上，则∠1＋∠2的值为（　　）
A．90°
B．85°
C．80°
D．60°
A
3
【中考·山西】如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.
若∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）
A．20°
B．30°
C．35°
D．55°
A
4
【中考·湖州】如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是__________度．
90
5
一个人从A地出发向北偏东60°方向走了一段距离到B地，再从B地出发，向南偏西15°方
向走了一段距离到达C地，则∠ABC的度数是______________．
45°
2
知识点
平行线的判定的应用
例3
如图所示，∠B＝∠D，∠CEF＝∠A.
试问CD与EF平行吗？为什么？
导引：1.要说明CD∥EF，我们无法找出相等的同位
角、内错角，也无法说明其同旁内角互补，
因此需找第三条直线与它们平行(即AB∥CD，
AB∥EF)，这都能由已知∠B＝∠D，
∠CEF＝∠A说明．
2.由已知∠B＝∠D，∠CEF＝∠A很容易就能
得出AB∥CD及EF∥AB，再由如果两条直线
都和第三条直线平行，那么这两条直线也互
相平行就可得到CD∥EF.
解：CD∥EF，理由：
∵∠B＝∠D，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
∵∠CEF＝∠A，
∴EF∥AB(同位角相等，两直线平行)．
∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)．
总
结
找寻说明平行的方法：
1.
分析法：由结论往前推，要说明这个结论成立需要什么样
的条件，一直递推到已知条件为止；(如导引1)
2.
综合法：由已知条件一步一步往后推理，看这个已知条件
能推出什么结论,
一直推导出要说明的结论为止;
(如导引2)
3.
两头凑：当遇到复杂问题的时候，我们常常将分析法和综
合法同时进行，即由两头向中间推，寻找到中间的结合点．
例4
光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，
这种现象叫做光的折射现象．同样，光线从水
中射入空气中时，也会发生折射现象，一束光
线从空气射入水中再从水中射入空气中时，光
线的传播方向如图，其中，直线a，b都表示空
气与水的分界面．已知∠1＝
∠4，∠2＝∠3，请你判断光
线c与d是否平行？为什么？
导引：设光线在水中的部分为e，e与直线a所成的钝
角为∠5，e与直线b所成的钝角为∠6，只要
能说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6，则根据“内错
角相等，两直线平行”即可判定c∥d.
解：c∥d.理由如下：
如图，设光线在水中的部分为e.
∵∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，
∠2＝∠3，
∴∠5＝∠6(等角的补角相等)．
又∵∠1＝∠4，
∴∠1＋∠5＝∠4＋∠6.
∴c∥d(内错角相等，两直线平行)．
总
结
判断光线c与d是否平行，应首先解决两个关键问
题，一是把实物图抽象为“三线八角”的基本图形；
二是把直线c，d看作被直线e所截的两条直线．如此，
问题转化为说明∠1＋∠5＝∠4＋∠6.
1
如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系是________．
平行
练一练
2
【中考·枣庄】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
A
3
知识点
平行线的性质与判定的综合应用
平行线的性质与判定之间既有联系又有区别，一定不
可混淆二者的条件和结论，要把它们严格区别开来．
分类
条件
结论
平行线的判定
同位角相等
两直线平行
内错角相等
同旁内角互补
平行线的性质
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
例5
如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，
则∠P与∠Q
一定相等吗？说说你的理由．
导引：如果∠P和∠Q相等，那么PB∥
CQ，∴要判断∠P与∠Q是否相
等，只需判断PB和CQ是否平行．
要说明PB∥CQ，可以通过说明
∠PBC＝∠BCQ来实现，由于∠1＝∠2，因此
只需说明∠ABC＝∠BCD即可．
解：∠P＝∠Q.
理由如下：∵∠ABC与∠ECB互补(已知)，
∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)，
即∠PBC＝∠BCQ.
∴PB∥CQ(内错角相等，两直线平行)．
∴∠P＝∠Q(两直线平行，内错角相等)．
总
结
一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条
件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果
题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未
指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性
的数学问题．
1
如图，在三角形ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，则图中与∠FDB相等的角（不包含∠FDB）的个数为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
B
练一练
2
【中考·宿迁】如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝85°，则∠4
的度数是（　　）
A．80°
B．85°
C．95°
D．100°
B
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
平行线的判定与平行线的性质的关系：
1
知识小结
如图，已知∠ABC，请你再画一个∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC边于点P.探究：∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？并说明理由．
2
易错小结
解：
画图如图①②③④所示．∠ABC与∠DEF相等或互补，
理由如下：
如图①，∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DPC.
∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DPC.
∴∠ABC＝∠DEF.
如图②，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.
∵BC∥EF，∴∠EPC＝∠DEF.∴∠ABC＝∠DEF.
如图③，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BPE.∵BC∥EF，
∴∠DEF＋∠BPE＝180°.∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
本题易错之处在于学生往往只考虑到其中两种情况，而漏掉另外两种情况．
易错点：画图考虑不周导致漏解.
如图④，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠EPC.
∵BC∥EF，∴∠EPC＋∠DEF＝180°.
∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
综上可知，∠ABC与∠DEF相等或互补．