2020-2021学年江苏泰州高三上数学第二次月考试卷 Word版含解析

2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷
一、选择题
?
1. 已知单位向量a→，b→满足a→⊥b→，则a→?(a→?b→)=(? ? ? ? )




A.0 B.12 C.1 D.2
?
2. 已知平面向量a→=(1，?3)，b→=(?2，0)，则|a→+2b→|=(? ? ? ? )




A.32 B.3 C.22 D.5
?
3. 若函数fx=3a?1x+4a，x<1?ax，x≥1? 是R上的减函数，则a的取值范围为(? ? ? ? )


A.[18,13) B.(0,13)
C.[18,+∞) D.(?∞,18]∪[13,+∞)
?
4. 已知正方形ABCD的边长为3，DE→=2EC→，则AE→?BD→=( )




A.3 B.?3 C.6 D.?6
?
5. 设a=sin5π12，b=cos5π12?，c=tan5π12，则(? ? ? ? )




A.a?
6. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若|BC→|=2，|AB→+AC→|=|AB→?AC→|，则|AM→|=(? ? ? ? )




A.12 B.1 C.2 D.4
?
7. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinAcosA=2bcb2+c2?a2，则角A的大小为(? ? ? ? )




A.π4 B.π6 C.5π12 D.π3
?
8. 如图所示，为了测量 A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15?、北偏东45?方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60?方向，则A，B两处岛屿间的距离为(? ? ? ? )





A.206海里 B.406海里 C.201+3海里 D.40海里
二、多选题
?
9. 已知正方形ABCD的边长为2，向量a→，b→满足AB→=2a→，AD→=2a→+b→，则(? ? ? ? )


A.|b→|=22 B.a→⊥b→
C.a→?b→=2 D.4a→+b→⊥b→
?
10. ?已知向量a→=(2,1)，b→=(1,?1)，c→=(m?2,?n)，其中m，n均为正数，若a→?b→//c→，下列说法正确的是(? ? ? ? )
A.a→与b→的夹角为钝角
B.向量a→在b→方向上的投影为55
C.2m+n=4
D.mn的最大值为2
?
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(? ? ? ? )


A.a2=b2+c2?2bccosA B.asinB=bsinA
C.a=bcosC+ccosB D.acosB+bcosA=sinC
?
12. 将函数y=2sin(2x+π6)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(? ? ? ? )


A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期是π2
C.f(x)的图象关于直线x=π12对称 D.f(x)的图象关于点(?π4,0)对称
三、填空题
?
13. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=13，b=3sinB，则a=________.
?
14. 已知向量a→，b→的夹角为π4，且a→=1，0，|b→|=2，则|2a→+b→|=________.
?
15. 若函数fx=3sin2x+θ+cos2x+θθ>0是偶函数，则θ的最小值是________.
?
16. 若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足CM→=13CB→+12CA→，则MA→?MB→=________．
四、解答题
?
17. 已知锐角α与钝角β，sinα=255，sinβ=210.
(1)求cosα?β的值；

(2)求2α?β的值．
?
18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+asinB=0．
(1)求角A的大小；

(2)已知b+c=2+2，△ABC的面积为1，求边a．
?
19. 设△ABC的面积为S，且2S+3AB→?AC→=0.
(1)求角A的大小；

(2)若|BC→|=3，且角B不是最小角，求S的取值范围．
?
20. 如图，已知矩形ABCD，AB=2，AD=3，点P为矩形内一点，且|AP→|=1，设∠BAP=α．

(1)当α=π3时，求证：PC→⊥PD→；

(2)求PC→+PD→?AP→的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏泰州高三上数学月考试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
由两向量垂直等价于其数量积为0即可求解.
【解答】
解：∵ a→=b→=1且a→⊥b→，
∴ a→?(a→?b→)=a→2?a→?b→=1.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
向量模长的计算
向量的加法及其几何意义
【解析】
根据题意，由向量a→、b→的坐标可得a→+2b→=(?3,??3)，由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量a→=(1,??3)，b→=(?2,?0)，
则a→+2b→=(?3,??3)，
则|a→+2b→|=32.
故选A.
3.
【答案】
A
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
函数的单调性及单调区间
【解析】
根据函数单调性对定义分段进行求解即可.
【解答】
解：已知函数fx=3a?1x+4a,?x<1?ax,?x≥1是R上的减函数，
则3a?1<0，?a<0，
解得0又∵ (3a?1)×1+4a≥?a×1，
解得a≥18.
则a的取值范围为18≤a<13.
故选A.
4.
【答案】
A
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的运算
【解析】
直接根据向量的三角形法则把所求问题转化即可求解结论．
【解答】
解：如图，
因为正方形ABCD的边长为3，DE→=2EC→，
所以AE→?BD→=(AD→+DE→)?(AD→?AB→)
=(AD→+23AB→)?(AD→?AB→)
=AD→2?13AD→?AB→?23AB→2
=32?23×32
=3．
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
三角函数线
【解析】
根据三角函数线比较大小即可；
【解答】
解：设5π12的终边与单位圆相交于点P，
根据三角函数线的定义可知a=MP=sin5π12，
b=OM=cos5π12，
c=AT=tan5π12，
显然AT>MP>OM，
∴ b故选D．
6.
【答案】
B
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量的三角形法则
【解析】
由题意利用两个向量加减法及其几何意义，求出要求式子的值．
【解答】
解：∵ 点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，
若|BC→|=2，|AB→+AC→|=|AB→?AC→|，
设AB→+AC→=AD→，
则AB→?AC→=CB→，
则|AD→|=|CB→|.
∴ 平行四边形ABCD的对角线AD=BC，
则|AM→|=12|AD→|=12|BC→|=1.
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
【解析】
本题考查解三角形的知识．
【解答】
解：因为cosA=b2+c2?a22bc，
所以b2+c2?a2=2bccosA，
所以sinAcosA=2bc2bccosA=22cosA，
即sinA=22．
又△ABC为锐角三角形，
所以A=π4．
故选A．
8.
【答案】
A
【考点】
解三角形的实际应用
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接AB，如图，
由题意可知，CD=40海里，∠ADC=105?，∠BDC=45?，
∠BCD=90?，∠ACD=30?，
∴ ∠CAD=45?，∠ADB=60?.
∵ 在△ACD中，由正弦定理，得ADsin30?=40sin45?，
∴ AD=202海里.
∵ 在Rt△BCD中，∠BDC=45?，∠BCD=90?，
∴ BD=2CD=402海里．
在△ABD中，由余弦定理，
得AB=AD2+BD2?2AD?BDcos∠ADB
=800+3200?2×202×402×cos60?
=206(海里)．
故选A.
二、多选题
9.
【答案】
A,D
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的坐标运算
向量的模
【解析】
以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,根据向量的坐标运算解得a→=1,0,b→=?2,2,
再由向量模的坐标运算,向量垂直,逐一判断即可.
【解答】
解：以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
∴ A0，0，B2，0，D0，2，
∴ AB→=2，0，AD→=0，2，
∵ AB→=2a→，AD→=2a→+b→，
∴ a→=1，0，b→=?2，2，
则b→=22，故选项A正确；
a→?b→=?2≠0，
故选项B、C错误；
4a→+b→=2，2,
∴ 4a→+b→?b→=0,
∴ 4a→+b→⊥b→，故选项D正确.
故选AD.
10.
【答案】
C,D
【考点】
向量的投影
基本不等式在最值问题中的应用
平面向量数量积的运算
【解析】
无
【解答】
解：a→?b→=2×1+1×?1=1>0，
故a→，b→的夹角为锐角，A错误；
向量a→在b→方向上的投影为：
a→?b→|b→|=2×1+1×?112+?12=22，B错误；
a→?b→=(1,2)，
由a→?b→//c→，得2m+n=4，C正确；
由基本不等式得4=2m+n≥22mn，即mn≤2，
当且仅当2m=n=2时取等号，
因此mn的最大值为2，D正确．
故选CD．
11.
【答案】
A,B,C
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
利用正弦定理、余弦定理直接求解．
【解答】
解：由在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，知：
在A中，由余弦定理得：a2=b2+c2?2bccosA，故正确；
在B中，由正弦定理得：asinA=bsinB，∴ asinB=bsinA，故正确；
在C中，∵ a=bcosC+ccosB，
∴ 由余弦定理得：a=b×a2+b2?c22ab+c×a2+c2?b22ac，
整理，得2a2=2a2，故正确；
在D中，由余弦定理得：
acosB+bcosA=a×a2+c2?b22ac+b×b2+c2?a22bc
=a2+c2?b22c+b2+c2?a22c
=c≠sinC，故错误．
故选ABC.
12.
【答案】
A,D
【考点】
余弦函数的周期性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的对称性
余弦函数的奇偶性
【解析】
首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数性质的应用求出结果．
【解答】
解：由题可得f(x)=2sin[2(x+π6)+π6]=2sin(2x+π2)=2cos2x，
A，因为f(?x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，A正确；
B，由于最小正周期是2πω=2π2=π，B错误；
C，由于f(π12)=3，则直线x=π12不是函数f(x)图象的对称轴，C错误；
D，由于f(?π4)=0，则点(?π4，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，D正确．
故选AD.
三、填空题
13.
【答案】
33
【考点】
正弦定理
【解析】
根据正弦定理asinA=bsinB的式子，将题中数据直接代入，即可解出a长，得到本题答案．
【解答】
解：∵ 在△ABC中，sinA=13，b=3sinB，
∴ 根据正弦定理asinA=bsinB，
得a13=3sinBsinB，
解得a=33.
故答案为：33.
14.
【答案】
10
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
? ?
【解答】
解：因为向量a→，b→的夹角为π4，且a→=1,0，|b→|=2，
所以|a→|=1?，
a→?b→=|a→|?|b→|?cosπ4=1×2×22=1，
则|2a→+b→|=4a→2+4a→?b→+b→2=4+4+2=10.
故答案为：10.
15.
【答案】
π3
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦函数的奇偶性
【解析】
化简函数fx=2sin2x+θ+π6?，再根据函数为偶函数求出θ即可．
【解答】
解：fx=3sin2x+θ+cos2x+θ
=2[32sin2x+θ+12cos2x+θ]
=2sin2x+θ+π6，
∵ fx为偶函数，
∴ θ+π6=π2+kπ，k∈Z，
∴ θ=π3+kπ，k∈Z，
又∵ θ>0，
∴ θmin=π3．
故答案为：π3．
16.
【答案】
?29
【考点】
平面向量数量积
向量的减法及其几何意义
【解析】
根据三角形法则分别将MA→，MB→用CA→，CB→表示出来，根据向量的数量积运算法则计算出结果即可．
【解答】
解：∵ CM→=13CB→+12CA→，
∴ MA→=CA→?CM→=12CA→?13CB→，
MB→=CB→?CM→=23CB→?12CA→，
∴ MA→?MB→=?14CA→2+12CA→?CB→?29CB→2，
又∵ △ABC为边长为1的等边三角形，
∴ MA→?MB→=?14+14?29=?29.
故答案为：?29.
四、解答题
17.
【答案】
解：(1)已知锐角α与钝角β，sinα=255，sinβ=210，
∴ cosα=55，cosβ=?7210，
∴ cos(α?β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=55×(?7210)+255×(210)
=?1010．
(2)由(1)可知sinα=255，cosα=55，
∴ π2<2α<π，π2<β<π，
∴ ?π2<2α?β<π2，
∴ sin2α=2sinαcosα=2×255×55=45，
∴ cos2α=?35，
∴ sin(2α?β)=sin2αcosβ?cos2αsinβ
=45×(?7210)?(?35)×210
=?22.
∴ 2α?β=?π4．
【考点】
二倍角的正弦公式
两角和与差的正弦公式
两角和与差的余弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)已知锐角α与钝角β，sinα=255，sinβ=210，
∴ cosα=55，cosβ=?7210，
∴ cos(α?β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=55×(?7210)+255×(210)
=?1010．
(2)由(1)可知sinα=255，cosα=55，
∴ π2<2α<π，π2<β<π，
∴ ?π2<2α?β<π2，
∴ sin2α=2sinαcosα=2×255×55=45，
∴ cos2α=?35，
∴ sin(2α?β)=sin2αcosβ?cos2αsinβ
=45×(?7210)?(?35)×210
=?22.
∴ 2α?β=?π4．
18.
【答案】
解：(1)∵ bcosA+asinB=0，
∴ 由正弦定理得sinBcosA+sinAsinB=0，
∵ 0∴ sinB≠0，
∴ cosA+sinA=0，
∵ A≠π2，
∴ tanA=?1，
又0∴ A=3π4.
(2)∵ A=3π4，S△ABC=1，
∴ 12bcsinA=1,
即bc=22，
又b+c=2+2,
由余弦定理得：
a2=b2+c2?2bccosA
=b2+c2+2bc
=(b+c)2?(2?2)bc=10，
故a=10.
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
(1)利用余弦定理以及正弦定理，转化求解即可．
(2)方法1：通过三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可．
方法2：利用三角形的面积以及知b+c=2+2，求出b，c，然后利用余弦定理求解a即可．
【解答】
解：(1)∵ bcosA+asinB=0，
∴ 由正弦定理得sinBcosA+sinAsinB=0，
∵ 0∴ sinB≠0，
∴ cosA+sinA=0，
∵ A≠π2，
∴ tanA=?1，
又0∴ A=3π4.
(2)∵ A=3π4，S△ABC=1，
∴ 12bcsinA=1,
即bc=22，
又b+c=2+2,
由余弦定理得：
a2=b2+c2?2bccosA
=b2+c2+2bc
=(b+c)2?(2?2)bc=10，
故a=10.
19.
【答案】
解：(1)设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由2S+3AB→?AC→=0，
得2×12bcsinA+3bccosA=0，
即有sinA+3cosA=0，
所以tanA=?3，
又A∈(0,?π)，
所以A=2π3．
(2)因为|BC→|=3，
所以a=3，
由正弦定理，得3sin2π3=bsinB=csinC，
所以b=2sinB，c=2sinC，
从而S=12bcsinA=3sinBsinC=3sinBsin(π3?B)
=3sinB(32cosB?12sinB)=3(34sin2B?1?cos2B4)
=32sin(2B+π6)?34,
又B∈(π6,?π3)，2B+π6∈(π2,?5π6)，
所以S∈(0,?34).
【考点】
解三角形
余弦定理的应用
正弦定理
【解析】
（1）化简可得sinA+3cosA=0，从而有tanA=?3，即可求角A的大小；
（2）由已知和正弦定理得b=2sinB，c=2sinC，故S=32sin(2B+π6)?34，又2B+π6∈(π2,?5π6)即可求得S∈(0,?34)．
【解答】
解：(1)设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由2S+3AB→?AC→=0，
得2×12bcsinA+3bccosA=0，
即有sinA+3cosA=0，
所以tanA=?3，
又A∈(0,?π)，
所以A=2π3．
(2)因为|BC→|=3，
所以a=3，
由正弦定理，得3sin2π3=bsinB=csinC，
所以b=2sinB，c=2sinC，
从而S=12bcsinA=3sinBsinC=3sinBsin(π3?B)
=3sinB(32cosB?12sinB)=3(34sin2B?1?cos2B4)
=32sin(2B+π6)?34,
又B∈(π6,?π3)，2B+π6∈(π2,?5π6)，
所以S∈(0,?34).
20.
【答案】
(1)证明：如图，以A为坐标原点建立直角坐标系，
则A0,0，B2,0，C2,3，D0,3，
由题知Pcosπ3，sinπ3，即P12，32，
∴ PC→=32，32，PD→=?12，32，
∴ ?PC→?PD→=32,32×?12,32
=32×?12+322=0，
∴ PC→⊥PD→.
(2)解：设Pcosα,sinα，
则PC→=(2?cosα,3?sinα)，PD→=(?cosα,3?sinα)，AP→=cosα,sinα，
可得PC→+PD→=2?2cosα,23?2sinα，
则(PC→+PD→)?AP→=2cosα?2cos2α+23sinα?2sin2α
=432sinα+12cosα?2
=4sinα+π6?2，
当α+π6=π2时，即α=π3时，
(PC→+PD→)?AP→取得最大值4?2=2．
【考点】
三角函数的最值
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的运算
平面向量数量积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：如图，以A为坐标原点建立直角坐标系，
则A0,0，B2,0，C2,3，D0,3，
由题知Pcosπ3，sinπ3，即P12，32，
∴ PC→=32，32，PD→=?12，32，
∴ ?PC→?PD→=32,32×?12,32
=32×?12+322=0，
∴ PC→⊥PD→.
(2)解：设Pcosα,sinα，
则PC→=(2?cosα,3?sinα)，PD→=(?cosα,3?sinα)，AP→=cosα,sinα，
可得PC→+PD→=2?2cosα,23?2sinα，
则(PC→+PD→)?AP→=2cosα?2cos2α+23sinα?2sin2α
=432sinα+12cosα?2
=4sinα+π6?2，
当α+π6=π2时，即α=π3时，
(PC→+PD→)?AP→取得最大值4?2=2．