学科
数学
年级/册
五年级（上）
教材版本
人教版
课题名称
数学广角《植树问题》
重教学目标
通过画图发现两端栽树间隔数与植树颗数之间的关系
重重难点分析
重点分析
通过观察、操作及验证并交流活动，使学生初步体会两端都栽的植树问题的规律。
难点分析
通过“化繁为简”，从简单的问题入手，探索解决问题的规律，以建立“植树问题”
模型，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生的模型思想和化归思想。
重难点
教学方法
1.发现并理解两端都栽的植树问题中“间隔数”与“棵数”
之间的规律。
2.理解“植树问题”中“树”与“间隔”所呈现出来的内在规律，并能运用规律解决问题。
教学环节
教学过程
导入
一、创设情境，引入新课（师生互动）
1.理解“间隔”、“间隔数”的含义，利用手去理解“间隔”、“间隔数”的含义
2.找找生活中“间隔”现象，引入课题。
二、充分经历，探究新知
１.师：学校为了美化环境，请同学们去植树，看看有什么要求？（课件出示例１），同学们一起读一读
师：哪位同学说说从题中你获得了什么信息？
（引导学生理解：20m就是路的总长（板书）。一共要栽多少课就是求棵树（板书）。“每隔５米栽一棵”是两棵树之间的距离，也是间隔长。“一边”是指路的一旁。“两端要栽”是指起点到终点都要栽。）“两端要栽”就是我们今天重点探讨的其中一种植树问题。２.猜一猜，想一想
师：根据题目的信息，猜一猜一共要种几棵树？
师：到底要种几棵呢，大家猜得对吗？
知识讲解
（难点突破）
３.教师示范，直观感知
师：同学们，我这儿有一条路的模型，总长是20m,
每隔５米栽一棵就是求20里面有几个5？用什么方法计算？怎样列式？（板书：20÷5=4个）
师：也就是说把这２０米的小路平均分成了几段？（４段）。也就是有几个间隔？（4个）
师：那树应该种在哪里？（点上）哪位同学能上来把树给种下。（生上台操作）板书：4+1=5棵
师：通过刚才的操作，我们发现棵树比间隔数多1，如果把这条小路延长到２５米，能把树种出来吗？３０米呢,35米呢？现在我们进行一个小组合作，利用画线段图的方法，共同完成合学展学2的表格的填写，想一想，两端要栽，总长、间隔数和棵树之间有什么关系？（请一小组出来展示）
４.动手操作，找出规律
学生分组合作，动手画一画，想一想，说一说，共同完成下表：
５.归纳概括，理解规律
师：在表格的数据中，我们发现了两端要栽时，棵树与间隔数之间的关系是间隔数=总长÷间隔长，棵树=间隔数+1
师：为什么两端要栽，棵数比间隔数多１？（教师适时小结，帮助学生进一步直观理解。）
师：请同学们把找到的规律响亮的读出来。
三、运用规律，独立完成例题1。
师：同学们的表现真不错，一下子就找到其中的规律，老师为你们感到高兴，下面请同学们根据我们找到的规律来解决合学展学3，例1的问题，看看谁做的又对又快。
解答例题：学生尝试列式解决问题，教师巡视，有针对性的指导。
全班汇报，师报书，让学生理解：１００÷５＝２０，求的是什么？２０+１＝２１（棵）。
课堂练习
（难点巩固）
延学练习
师：同学们真棒，什么都难不倒你们，让我们来到延学部分的植树问题，继续发挥我们的聪明才智，请解决延学的第一题。
１．同学们在全长300m的小路一旁植树，每隔6m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
师：同学们的解题能力真厉害，请继续做第二题。
２.
在一条全长2km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？
师：现在帮莫老师解决一个问题，有信心吗？
3.罗老师的家在6楼，她每爬一层楼需要10秒，从1楼爬到6楼要爬多少层？共需要走多少秒？
小结
这节课老师很开心，因为大家能牢牢掌握所学知识，来说说，你有什么收获？你还有什么想知道的吗？
植树问题（两端要栽）
间隔数＝总长÷间隔长
棵树=间隔数+1学科
数学
年级/册
五年级上册
教材版本
人教版
课题名称
第七章数学广角《植树问题》
教学目标
通过画图发现两端栽树间隔数与植树棵树之间的关系。
重难点分析
重点分析
“植树问题”原本属于经典的奥数问题，思维有一定的复杂性，间隔与棵数之间的规律（棵数=间隔数+1、间隔数=全长）对于刚接触植树问题的学生来说，则更有一定的难度了。
难点分析
学生的认知起点与知识结构逻辑起点存在差异，学生能找到简单的植树问题的规律“棵数=间隔数+1”却无法运用这个规律解决求路长的问题。
教学方法
1、通过采用手指引出间隔，让学生理解间隔。
2、通过画图模拟实际栽树，线段图、验证等探究活动，探索并发现两端都栽的情况下间隔数与棵数的规律，运用规律解决实际问题。
教学环节
教学过程
导入
一导入新课。
1、猜谜语引入，认识间隔。知道手指数比间隔多1。(课件显示)
两棵小树十个杈，
不长叶子不开花。
能写会算还会画，
天天干活不说话。(手）
2、举例说出生活中的“间隔”到处可见。(课件出示)
3、引入课题
同学们刚才我们了解的5棵小树、6棵小树间、7棵小树间分别有几个间隔等;数学中统称为植树问题。(板书)
4、环保教育，导入新课
出示照片、引发的思考（课件出示照片）
每年3月12日是植树节，植树造林、保护环境，人人有责。现在，学校为了进一步进行校园环境美化，要在校园内种上一些树，我们一起来看看设计的具体要求吧!(课件显示)
知识讲解
（难点突破）
二、探索规律，解决问题
1、大胆猜测，引发冲突。
(1)读一读，说一说。（出示例题1）
同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵(两端要栽)。一共需要多少棵树苗?
从这份要求上，你能获得哪些信息?
每隔5米是什么意思?两棵树之间的距离我们叫做间距。(板书)
两端要栽是什么意思?一边是什么意思?
(2)学生尝试独立解决。
(生交流自己的想法，教师适时板书)
师质疑，现在出现了多种答案，到底哪种答案是正确的呢?咱们可不可以画图模拟实际种一种?从图上一棵一棵种到100米，数一数，是不是就能知道谁的答案是正确的了?
2
、简单验证,发现规律。
①画图实际种一种。
演示:我们用这条线段表示这条小路。“两端要种”，我们从小路的这头开始，先在头上种一棵，然后隔5米再种一棵，再隔5米再种一棵，再隔5米再种一棵，照这样一棵一棵地种下去……
复杂问题简单化:一棵一棵地种到100米确实太麻烦了。其实，像这种比较复杂的问题，在数学上还有一种更好的研究方法，就是:遇到比较复杂的问题先想简单的，从简单的问题人手来研究。比如:100米的路太长了，我们可以先在短距离的路上种一种，看一看。
②画一画，简单验证，发现规律。(完成题卡。)
师:先种10米，还是每隔5米种一棵，间隔数是几?种了多少棵?(师演示，共同完成。)
其他由小组合作完成。
总长(米)
间距(米)
间隔数
棵数
10
5
2
3
15
5
3
4
20
5
4
5
25
30
从表格中，你能发现间隔数与棵数有什么关系吗?能用一个式子表示他们之间的关系吗?
学生代表汇报交流小组验证结果。
(生说，师板书:两端要种:棵数=间隔数+1)
应用这个规律，学生再次解决例1.
教师小结。
棵数=间隔数+1
课堂练习
（难点巩固）
四、巩固练习
1、5路公共汽车行驶路程12千米，相邻两站之间的路程是1千米，一共有多少个站？
(1)学生独立解答
(2)集体反馈
师:看来，应用植树问题的规律，不仅仅能解决植树的问题，生活中很多类似的现象也能用植树问题的规律来解决。
2、运用规律
老师有问题要考你们了，知道的同学马上起立回答我，比比谁的反应快?在两端都栽的情况下，有8个间隔共要种几棵树?有10个间隔共要种几棵树?如果已种了6棵树有几个间隔?如果已种了10棵树有几个间隔?
小结
通过今天的学习，你有哪些收获?
植树问题（两端都栽）
路长÷间隔长=间隔数
间隔数+1=棵数
积极参加植树造林，保护树木，爱护花草。学科
数学
年级/册
五年级上册
教材版本
人教版
课题名称
第7单元数学广角《植树问题》
教学目标
通过画图发现两端栽树间隔数与植树棵树之间的关系
重难点分析
重点分析
植树问题是一种比较抽象、易错的问题。本节课通过现实生活中的一些常见的实际问题，抽取其中的数学模型，是数学与生活的转化。植树问题不光是解决植树中遇到的问题，还可以拓展为路灯、队列等不同形式。
难点分析
这部分的内容对于学生来说不容易理解和掌握。整个教学过程涉及到已有的知识线段与本节课的巧妙结合。要让学生把生活经验与数学模型有机结合。要让学生把语言能力和动手能力有机结合。
教学方法
通过观察，寻找生活中的间隔
通过画图的方法，是学生发现间隔数和棵树之间的关系。
通过推理的方法，能把植树问题中总结的规律准确的能够用在解决实际问题中来。
教学环节
教学过程
导入
1.教学“间隔”的含义
我们都有一双灵巧的手，它不但能写字，画画，吃饭，还藏着有趣的数学问题，今天，我们一起去探讨它。请和我一样举起你的右手，五指伸直，并拢，然后慢慢张开。张开的五个手指头中有几个空隙。数学中我们把这个空隙叫做间隔。（板书：间隔）带领学生用完整的话说一说。四个手指之间有几个间隔，三个呢？两个呢？我们把有几个间隔叫做间隔数。也就是间隔的个数叫间隔数。(板书：间隔的个数叫间隔数)
2.想一想，手指头和间隔数之间有着怎样的关系呢？
引导学生说出：手指数比间隔数多1
3.举例生活中的间隔
生活中这样的“间隔”随处可见，你能举例说说吗？学生说一说
我们一起欣赏生活中的间隔。出示课件
我们再来体验一下，请坐姿最漂亮的一列学生起立。问：他们之间有多少的间隔？也就是说间隔数是几？现在，我们把他们几个当做一棵棵小树，他们之间的距离用数学语言来说叫间距。（板书：间距）
引入课题
这节课我们就一起来研究棵树与间隔数之间的问题，统称为植树问题。（板书：植树问题）
知识讲解
（难点突破）
4.出示例1
请一位同学读题，集体读题。题目中你读到了哪些信息？
（1）100米是总长（板书：总长）
每隔五米栽一棵是什么？间距
两端要栽是什么意思？
一边是什么意思？还可以用一侧，一旁来替换。
5.那么，我们能不能简单画个图来表示这些信息？
题目都理解了，请大家动手试一试，帮老师解决这个问题。
这些答案是否正确呢？我们用画线段的方法验证一下，投影出示
我们用这条线段表示小路，两端都栽，然后每隔5米栽一棵，再隔5米栽一棵，再隔······就这样一直种到一百米？有什么想法？是啊，很麻烦。
为什么觉得很麻烦？（100米里有20个5米，太多了）
对生活中或学习中遇到复杂问题可以简单化，比如：我们可以选取100米的中心一小段研究。那么取多少米合适，有什么要求？引导学生说出5的倍数合适
6.画一画、填一填，简单验证，发现规律
拿出你们的学习卡，自己动手画一画、填一填、想一想
师巡视，小组检查，集体反馈。
得出结论：两端都栽，棵数比间隔数多1
课堂练习
（难点巩固）
7.有了这个结论，我们一起去诊断一下刚才做的这道题吧！
让学生再读题，找出关键词语，然后诊断对错。
及时巩固，强化规律（课件出示）
填空①8棵树之间有（
）个间隔。
20个间隔可以种（
）棵树。
⑴杨老师家在4楼，从1楼到4楼要爬(
)层楼.
⑵河边的护栏有10根铁链，需要(
)根柱子.
课后练习
打开课本107，做一做第一题
小结
植树问题
间隔的个数叫间隔数
总长÷间距=间隔数
棵数=间隔数+1
两端都栽
间隔数=棵数-1学科
数学
年级/册
五年级上册
教材版本
人教版
课题名称
第七单元数学广角《植树问题整理与复习》
教学目标
整理植树问题2种类型（4种情况）的数学模型和解题方法，提升解决生活问题的能力。
重难点分析
重点分析
知识点本身内容复杂：直线型植树问题有3种情况和封闭型植树问题有环形以及多边形植树的情况，结合具体生活问题辨别属于哪一种情况并运用相关模型解决问题，思维过程比较复杂，学生容易出错。
难点分析
学生抽象逻辑思维较弱，理解困难，学生能记忆两种类型、多种情况的数学模型，却在解决具体的生活问题中难以属于哪一种情况，很难准确选择数学模型进行解答。
教学方法
通过分类整理，直观演示辨别属于哪种植树问题情况的技巧，提高学生分析问题的能力。
通过举例，归纳各种植树问题常见的生活现象，帮助学生准确辨别并运用数学模型解决问题。
教学环节
教学过程
导入
复习概念
1.复习植树问题的相关概念以及它们之间的关系。（全长、间距、间隔数、棵数）
2.指名学生说一说
3.教师数形结合讲解。
知识梳理
（难点突破）
4.整理植树问题类型
（1）植树问题有几种类型，分别是什么？
两种类型，一种是直线型植树，就是在一条直线上植树；另一种是封闭型植树，也就是在一条首尾相接的封闭曲线上植树。
（2）复习直线型植树问题。
①直线型植树的3种情况具体是什么？你能说一说吗？
两端都种，只种一端，两端都不种。
②画线段图回忆两端都种的植树情况和数量关系。
2棵树1个间隔，3棵树2个间隔，4棵树3个间隔。棵数都比间隔数多1，用数量关系式表示为棵数=间隔数+1。
请同学们记一记。
③观察线段图复习只种一端的情况。
请说一说规律是什么？（棵数=间隔数）
④借助画线段图复习两端都不种的情况。（棵数=间隔数-1）
⑤请读一读这三道数量关系式。如果记不清楚了，可以像老师这样画线段图来分析，相信能很快想起来。
⑥生活中类似植树问题的现象，还需要具体情况具体分析，搞清楚谁相当于树、谁相当于间隔，题目属于哪种情况的植树问题。
例如在敲钟现象中，敲的次数可以看作是树，每敲两次之间间隔的时间看做间隔，它属于两端都种的情况；在锯木头现象中锯的次数可以看作是树，木头的段数可以看作是间隔，属于两端都不种的情况；又如走楼梯中我们可以把每一层看作是树，楼层与楼层之间的楼梯看作是间隔，它属于两端都种的情况。
在生活中类似的现象还有很多，你能举个例子吗？
（3）学以致用。
①判断题，请拿起笔练一练。
第一题答案是错，锯木头问题，锯的次数比段数少1，锯完这根木头需要48分钟。
②解决问题。请列式解答。
解题时注意方法，先找一找关键信息：题目属于两端都不栽的情况，在路的两旁种树，请套入相关数量关系式列式。
（4）复习封闭型植树问题。
①先看视频，你能发现什么？
我们发现：把封闭图形画曲为直后，封闭型植树问题和直线型植树问题中只种一端的情况是一样的，棵数=间隔数。
②想一想，我们还学过在哪些封闭图形周围种树？
还学过在三角形、正方形、正五边形和正六边形等等的周围植树。
③如果只知道每边种的棵树，怎样求出总棵树呢？
以三角形为例，请观察这一条边，123,3棵；这一条也种了123,3棵，你发现了吗？顶点上的树重复计算了，所以还要减去顶点上重复计算的3棵，因此就是9-3=6棵。
同样道理在正方形图中可以用每边3棵乘4边再减顶点上的4棵树来计算总棵数，正五边形和正六边形的方法全都一样，所以当只知道封闭图形每边种的棵树时，就用每边棵数乘边数减去顶点数来计算，请记住这道关系式。
?
④考考你，请提笔做一做。
⑤教师讲解：先找关键信息：圆形滑冰场，可以判定属于封闭型植树问题。大家套入数量关系式列式，我们一起看看答案。你做对了吗？
归纳方法
布置练习
（难点巩固）
小结解决植树问题的方法：一找、二判、三套。一找，找到关键信息；二判，判断属于哪一种植树类型；三套，套入数量关系式解答。
指导使用课堂学习卡，强化巩固练习7道。
回顾
小结
回顾这节课我们复习了植树问题的概念、类型：其中直线型植树有两端都种、只种一端、两端都不种这3种情况，它们的规律大家一定要记牢；封闭型植树和只种一端的情况是一样的，棵数=间隔数。解决植树问题的方法能帮助大家更快速的解决问题。
全班朗读、记忆。
