课题:22.3实际问题与二次函数
(3)
201
年
月
一、学习目标
1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题
2.通过探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，亲自体会到学习数学知识的价值，提高学习兴趣。
二、教材导学
问题1：
已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式.
问题2：已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式.
问题3：一抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水面下降1米，水面宽度增加多少？
分析问题
（1）如何设抛物线表示的二次函数？
（2）水面下降1米的含义是什么？
（3）如何求宽度增加多少？
三、引领学习
知识点1：待定系数法求二次函数解析式与“拱桥”问题的联系
问题：一抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水面下降1米，水面宽度增加多少？
解法1：以抛物线顶点为坐标原点建立平面直角坐标系
解法2：以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
解法3：以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
归纳：本问题最重要的环节就是平面直角坐标系的建立.不同的平面直角坐标系的建立，需要设不同形式的解析式，因此，待定系数法在应用时需注意不同的问题.
知识点2：“拱桥”问题与二次函数上点坐标的关系
问题：如图所示，某市一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是16m，宽是6m，抛物线可以用表示．
（1）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m，车载大型设备的顶站与路面的距离均为7m，它能否完全通过这个隧道？请说明理由．
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆运货汽车沿隧道中线右侧行驶能否完全通过这个隧道？说明理由．
（3）为完全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？
归纳：函数图像上的相应点的横、纵坐标的求解，是解决“拱桥问题”的第二个关键，需要求出后进行下一步计算.
课题:22.3实际问题与二次函数
(3)答案
二、教材导学
问题1.
y＝a
(x＋2)2＋1 －2＝a
(1＋2)2＋1 a＝－ ∴y＝－
(x＋2)2＋1
问题2.
设
y＝ax2＋bx＋c，则：，解得 ∴y＝x2－2x＋1
三、引领学习
知识点1
解法一:为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系
可设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2。
由题意知抛物线经过点，
可得
，．
这条抛物线表示的二次函数为
又知水面下降1米时，水面的纵坐标为，则对应的横坐标是和
所以水面增加的宽度是米．
解法二:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,2)
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即:抛物线过点(2,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
水面宽度为
m
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2
∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
这时水面的宽度为:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了:
m
知识点2
（1）抛物线的表达式为．
时，，所以汽车能完全通过．
（2）当时，，所以仍能安全通过．
（3）限高为较适宜．（答案不唯一，符合情理即可）
∴点的坐标为（2，2）．
∵点在直线上，故设点的坐标为，
∵在抛物线上，
∴，
．
∴或为所求．课题:22.3实际问题与二次函数
(1)
一、学习目标
1.通过对“矩形面积”和“销售利润”的学习和探究，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.
2.
通过“二次函数的最大值”知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学知识的价值，提高学习兴趣.
二、教材导学
问题1：写出下列函数的对称轴及顶点坐标，当x取何值时，下列函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？
（1）
（2）
问题2：现有60米的篱笆要围成一个矩形场地，（1）若矩形的长为10米，它的面积是多
少？（2）若矩形的长分别为15米、20米、30米时，它的面积分别是多少？
问题3：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件.
市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想每周获得6090元的利润，该商品定价应为多少元？
分析：没调价之前商场一周的利润为
,设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为
，每周的销售量可表示为
，一周的利润可表示为
，要想获得6090元利润可列方程
.
若设商品定价为x元那么每件商品的利润可表示为
，每周的销售量可表示为
，一周的利润可表示为
，要想获得6090元利润可列方程
.
三、引领学习
知识点1：利用二次函数的知识解决“矩形面积”问题
问题：用60米的篱笆要围成一个矩形场地，矩形的面积S随矩形一边长L的变化而变化，当L是多少时，场地的面积S最大？
分析：写出S与L的函数关系式，再求出使S最大的L的值。矩形场地的周长是60米，一边长为L
，则另一边长为（30-L）米，由于L＞0，且30－L＞O，所以O＜L＜30。
围成的矩形面积S与L的函数关系式是：S=L(30-L)=
(0＜
L＜30)
通过函数的图象可以看出抛物线的顶点是函数的图象的最高点，也就是说，当L取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
因此，当L=时，S有最大值
也就是说当L是15米时，场地的面积S最大，S=225平方米.
归纳：一般的，因为抛物线的顶点是最低（高）点，所以当时，二次函数有最小（大）值，＞0时，有最小值，＜0时，有最大值.
知识点2：利用二次函数的知识解决“销售利润”问题
问题：某商店出售一种进价40元的服装，现每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：
（1）如调整价格，每降价1元，每星期可多买出20件，该如何定价，才能使获利最大？
(2)
如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，该如何定价，才能使获利最大？
设每件涨价x元，销售利润为y元
(3)如调整价格?，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
课题:22.3实际问题与二次函数
(1)答案
二、教材导学
问题1：（1）x=1,顶点坐标（1，-13），当x=1时，y有最小值为-13
（2）x=-1,顶点坐标（-1,3），当x=-1时，y有最大值为3
问题2:（1）200m2
(2)675m2,600m2,0m2
问题3:6000元，
（20+x）元，（300-10x）件，（-10x2+100x+6000）元,
-10x2+100x+6000=6090,
(x-40)元,
(900-10x)件,
(-10x2+1300x-36000)
元,
-10x2+1300x-36000=6090
三、引领学习
知识点2：（1）设每件降价x元，销售利润为y元
则y=(60-x-40)(300+20x)
=
(0≤x≤20)
当x=2.5时，y的最大值6125
（2）y=(60+x-40)(300-10x)
=
(0≤x≤30)
当x=5时，y的最大值6250
（3）所以两种调价方式，每件定为65元时，获利最大，最大利润为6250元课题:22.3实际问题与二次函数
(2)
201
年
月
一、学习目标
1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题.
2.通过探索“面积问题中”的最值的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，亲自体会到学习数学知识的价值，提高学习兴趣.
二、教材导学
问题1.某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
问题2.计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道.如图，现有一张半径为45mm的磁盘.
（1）磁盘最内的磁道半径为rmm，其上每0.015的弧长为1个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？
（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？
（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？
分析问题
（1）磁盘存储量与那几个量有关?（每条磁道的存储量和磁道条数）
（2）从中找寻函数关系，解决实际问题.
（3）考虑自变量范围，r可以无限增大吗？
问题3.
如图，某养鸡专业户准备利用一面墙（墙的长度大于50米），用长50米的篱笆围成一个鸡的活动场地矩形ABCD，其中AB边上有一个宽2米的门（PQ＝2米）且门不需要篱笆.请你帮助设计一下，当矩形的长AB是多少米时，此矩形面积最大？最大面
积是多少平方米？
三、引领学习
知识点1：利用二次函数求“图形面积”问题中墙不限长的最值
如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的长度不限），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为m，面积为m．
（1）求与的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，的长是多少？
（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
知识点2：利用二次函数求“图形面积”问题中墙限长的最值
如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为m，面积为m．
（1）求与的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m2的花圃，的长是多少？
（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
归纳：
在此类面积问题中，墙的长度一般是限定自变量取值范围的，即确定是否可以取到此二次函数的最大值，因此，要特别注意墙的长度这一限制条件.
此类问题中的隔断部分也属于材料的一部分，注意列式时要考虑在内.
此类问题如果设置门，则所围部分的实际周长，比材料多门的宽度.
课题:22.3实际问题与二次函数
(2)答案
二、教材导学
问题1.(1)
（130-100）×80=2400（元）
（2）设应将售价定为元，则销售利润
.
当时，有最大值2500.
∴应将售价定为125元,最大销售利润是2500元.
问题3.设AB长x米，则AD长(50+2-x)=(26-x)米
设面积为S，则S=x(26
-x)=-x2+26x
∵a=-<0
∴S有最大值……1分
当x=-=26时
S最大=26(26-13)=338
引领学习
知识点1:（1）∵，
∴m．
∴．
（2）当时，，即．
解得．
∴要围成面积为45m2的花圃，的长是3m或5m．
（3）能围成面积比45m2更大的花圃．
∵，
∴当时，取最大值48．
知识点2:（1）∵，
∴m．
∴．
∵，
∴．
∴与的函数关系式是．
（2）当时，，即．
解得．
而当时，不满足，故舍去，只取．
∴要围成面积为45m2的花圃，的长是5m．
（3）不能围成面积比45m2更大的花圃．
∵，
∴当时，取最大值48．
∵，
∴当时，随的增大而减小．
∴不能围成面积比45m2更大的花辅．
