北师大版八年级上册数学7.5 三角形的内角和定理（2） 课件（27张）

第七章 平行线的证明
5、三角形内角和定理（2）
学习目标：
1、会判断和作出三角形外角；
2、通过猜想、同桌交流，能描述有关三角形外角的两个定理及推理过程；
3、通过小组合作，会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题
活动一： 三角形的外角
三角形内角的一条边 与另一条边的
反向延长线组成的角叫做这个三角形的外角。
如图所示，
∠1就是△ABC的外角
活动一： 三角形的外角
请你尝试做出 的其它外角，你能
做出几个？
△ABC
想一想:
1、每一个三角形有几个外角？
2、每一个顶点处相对应的外角有几个？
3、这些外角中有几个外角相等？
针对练习1
如图1，△ADC的外角是（ ）
A.∠ABC B.∠ACD C.∠BDC D.∠BCD
C
∠ADC呢??
活动二 ： 三角形外角与内角关系
如图:∠1是△ABC的一个外角，
∠1与图中其他各角有何关系？
∠1+∠4=180°
∠1=∠2+∠3
∠1>∠2,∠1>∠3
活动二 ： 三角形外角与内角关系
∠1+∠4=180°
三角形的一个外角与和
它相邻的内角的互补。
（平角的定义）
?
∠1= ∠2+∠3
已知：∠1是△ABC的一个外角
求证： ∠1= ∠2+∠3
活动二 ： 三角形外角与内角关系
∠2+ ∠3+ ∠4=180°
（三角形内角和定理）
∴ ∠1= ∠2+ ∠3（同角的补角相等）
要求：同桌商量一下，看看你们能想到哪些方
法？奖励2积分
证明：∵ ∠1+∠4=180°（平角定义）
∠1= ∠2+∠3
活动二 ： 三角形外角与内角关系
三角形的一个外角等于和
它不相邻的两个内角的和。
几何语言
∵ ∠1是△ABC的外角
∴ ∠1= ∠2+ ∠3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.
求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
D
A
B
C
1
2
3
∠1>∠2,∠1>∠3
活动二 ： 三角形外角与内角关系
证明:
∵ ∠1 =∠2+ ∠3（三角形的一个外角等于
和它不相邻的两内角和）
∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
几何语言 ∵ ∠1是△ABC的外角
∴ ∠1> ∠2，∠1>∠3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
像这样,由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论
推论可以当作定理使用.
定理2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
A
B
C
D
1
2
3
三角形内角和定理的推论
定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论1 :
推论2:
△ABC中，∠1=∠2+∠3
△ABC中，∠1＞∠2，∠1＞∠3
这个结论以后可以直接运用.
活动三 ： 三角形内角和定理推论
1.如图:△ABC中，D是BC延长线上一点
1）则∠ ＞∠ ，
∠ ＞∠ ；
2）若∠A=35°,
∠DCA=80°，
则 ∠ACB= °
∠B= °
ACD
A
ACD
B
100
45
针对练习2
35°
80°
2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
针对练习2
C
已知：如图，在△ABC中,
AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.
求证：AD∥BC.
A
C
D
B
E
认真阅读例题，想一想例题是运用了什么定理得到了证明？
活动四： 三角形外角定理运用
已知:如图，在△ABC中,
AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.
求证：AD∥BC.
∴∠DAC=∠C(等量代换)
∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
A
C
D
B
E
·
·
还有其它方法吗？
活动四： 三角形外角定理运用
证明：∵∠EAC=∠B+∠C
(三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和)
∠B=∠C (已知)
∴∠C= ∠EAC(等式性质)
∵ AD平分∠EAC(已知)
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义)
请在例题的基础上通过增加或者适当修改，换个方法试试。
∴∠DAC=∠C(等量代换)
∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
A
C
D
B
E
·
·
活动四： 三角形外角定理运用
你用的是什么方法？
证明：∵∠EAC=∠B+∠C
(三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和)
∠B=∠C (已知)
∴∠C= ∠EAC(等式性质)
∴∠B= ∠EAC(等式性质)
∵ AD平分∠EAC(已知)
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义)
∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义)
∴∠DAE=∠B(等量代换)
(同位角相等,两直线平行).
已知：如图P是△ABC内一点，连接PB、PC。
求证：∠BPC ＞ ∠A
活动四： 三角形外角定理运用
小组互相讨论，说一说其推理过程
看看哪组最快，方法最多？
（奖励小组3积分）
要求：有几种方法就由几个人来
完成叙述
证明：延长BP交AC于点D
D
1
2
已知：如图P是△ABC内一点，连接PB、PC。
求证：∠BPC ＞ ∠A
∵ ∠1 是△PDC的一个外角
∴ ∠1 ＞ ∠2
∵ ∠2是△ABD的一个外角
∴ ∠2 ＞ ∠A
∴ ∠1 ＞ ∠A
即∠BPC ＞ ∠A
？？
（外角定义）
（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
已知：如图P是△ABC内一点，连接PB、PC。
求证：∠BPC ＞ ∠A
活动四： 三角形外角定理运用
E
延长CP交AB与点E
∵ ∠1是△ABP的一个外角
∴ ∠1 ＞ ∠3
∵ ∠2是△ACP的一个外角
∴ ∠2 ＞ ∠4
∴ ∠ 1+ ∠2 ＞ ∠3+ ∠4
即 ∠BPC ＞ ∠BAC
E
证明：连接AP并延长交BC于点E.
1
2
3
4
已知：如图P是△ABC内一点，连接PB、PC。
求证：∠BPC ＞ ∠A
已知：如图P是△ABC内一点，连接PB、PC。求证：∠BPC ＞ ∠A
活动四： 三角形外角定理运用
（2）根据本节课的学习，你能猜想一个关
于角之间等量关系的结论吗？并说明理由
小组互相讨论，说一说其推理过程
看看哪组最快，方法最多？
（奖励小组3积分）
∠BPC =∠A + ∠ABC+∠ACP
活动四： 三角形外角定理运用
根据本节课的学习，你能猜想一个关于角之间
的等量关系的结论吗？并说明理由
E
O
1
4
2
3
下列哪几种说法正确？
（1）∠B<∠ACD
（2） ∠B+∠ACB=180°—∠A
（3） ∠B+∠ACB<180°
（4） ∠HEC>∠B
B
E
A
H
C
D
针对练习2
课堂小结
用自己的话描述一下本节课的收获
今天你学到了哪些知识？
学到了哪些思想方法
你还有什么收获……
当堂检测
1、求下列各图中∠1的度数。
30°
60°
1

35°
120°
1
45°
50°
1
90°
85°
95°
2.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_ ____.
30或75°
3.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.
D
C
B
A
120°
4 已知：在△ABC中, ∠1是
它的一个外角, E为边AC上
一点,延长BC到D,连接DE.
求证: ∠1>∠2.
C
A
B
F
1
3
4
5
E
D
2
已知：∠1是△ABC的一个外角
求证： ∠1= ∠2+∠3
E
证明：过点B做BE∥AC
∴∠ABE= ∠2
（两直线平行，内错角相等）
∠EBD= ∠3 （两直线平行，
同位角相等）
∵ ∠ABD= ∠ABE+ ∠EBD
∴ ∠ABD= ∠2+ ∠3（等量代换）
活动二： 三角形外角与内角关系