北师大版数学九年级下册 2.5 二次函数与一元二次方程 课件（共27张ppt）

2.5 二次函数与一元二次方程
北师大版九年级数学下册
砀山县晨光中学九年级数学组
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式是什么？
它的根有哪些情况？
b2－4ac
2.解下列一元二次方程：
（1）x2+3x=0 （2）x2－4x+4=0 （3）x2-2x+3=0.
（1）x1=0, x2=-3.
（2）x1=x2=2.
（3）没有实数根.
复习回顾
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体 会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
自主学习：
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么：
(1)h和t的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
解：（1）由题意知 h0=0, v0=40，所以h=－5t2+40t.
（2）解法一：观察图像，小球经过8秒后落地.
解法二：由（1）得到h和t的关系式是：h=-5t2+40t，
因此令h=0，即-5t2+40t=0解得t=0s（舍去）或t=8s.
所以小球经过8秒后落地.
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个实数根?用判别式验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
合作探究
二次函数y=x2+2x的图象
与x轴有几个交点？
与x轴有2个交点：
（-2，0）和（0，0）
一元二次方程x2+2x=0
有几个根？
解：x(x+2)=0
x=0或x+2=0
∴ x1=-2，x2=0
方程的根是-2和0
二次函数y=x2-2x+1
的图象与x轴有几个交点？
与x轴有1个交点：
（1，0）
一元二次方程x2-2x+1=0
有几个根？
解： (x-1)2=0
∴ x1=x2=1
方程的根是1
二次函数y=x2-2x+2
的图象与x轴有几个交点？
与x轴没有交点
一元二次方程x2-2x+2=0
有几个根？
没有实数根
解：∵△=(-2)2-4×1×2
=-4﹤0
∴ 原方程无实根
归纳总结：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
有两个交点
有一个交点
没有交点
有两个相等
的实数根
没有实数根
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
有两个不相等
的实数根
3 抛物线y=x2-4x+4与轴有___个交点，坐标是________ 。
1 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数
y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是______________ 。
2 抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）
A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明
（-2，0）和（3，0）
c
一
（2，0）
学以致用
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?
知识升华
∴抛出去后第2秒和第6秒时，
离地面60米
解得：t1=2 t2=6
h=－5t2+40t.
C
A
当堂检测
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点情况是( )
A.无交点 B.只有一个交点
C.有两个交点 D.不能确定
C
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 .
x
y
0
5
x1=0，x2=5
4.根据下列表格的对应值:

判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )
A.3C.3.24x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
C
5 、不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。
解：把y=0代入y=x2-3x-4=0得：
x2-3x-4=0
解得x1=-1，x2=4
∴抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是：
(-1，0)和(4，0)
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
有两个交点
有一个交点
没有交点
有两个相等
的实数根
没有实数根
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
有两个不相等
的实数根
谈谈本节课你有哪些收获？
1.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实
数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿个交
点.
2.已知抛物线 y=x2–8x+c的顶点在 x轴上,则c=＿＿.
3.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2，x2= ,
那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿和
___________.
1
1
16
（ ，0）
（-2，0）
课外作业
4.（崇左·中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=
-1，x2=3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的说法是（ ）
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
O
x
y
1
3
－1
答案:D
5.（河北·中考）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A， B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2）
C．（3，3） D．（4，3）
O
x
y
A
x?=?2
B
答案:D
6.（汕头·中考）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图
所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的
交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式.
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
【解析】（1）由题意得
解得
故所求解析式为
解得
∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围
是－1＜x＜3．
（2）令
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),
7．（株洲·中考）二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是_______．
答案:4
8、已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，求k的取值范围.
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0；
②有交点，所以应为△≥0．
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9.（咸宁·中考）已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0），(-3m,0)(m≠0).
（1）证明:4c=3b2.
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
由（1）得
∴二次函数的最小值为-4.
【解析】（1）依题意，m,-3m是一元二次方程
的两根．根据一元二次方程根与系数的
关系，得 ,
∴
，
，
（2）依题意，
，
，
，
失败往往是黎明前的黑暗，继之而出现的就是成功的朝霞.
——霍奇斯