人教版九年级下册数学 28.2解直角三角形及其应用 同步习题（Word版 含解析）

28.2解直角三角形及其应用 同步习题
一．选择题
1．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（a，3）且OP与x轴的夹角α的正切值是，则cosα的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．6.29 B．4.71 C．4 D．5.33
4．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（　　）
A．（100+100?sinα ）米 B．（100+100?tanα ）米
C．（100+）米 D．（100+）米
5．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（　　）
A．5 m B．10m C．5m D．8 m
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（　　）
A．6 B．2 C．2 D．9
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（　　）
A． B． C． D．
8．小明为了测量一楼房AB的高度，如图，小明从楼底B出发走了10米到达一坡角（即∠DCM）为30°的斜坡的底部，再走12米到达一观测平台，测得楼顶A的仰角∠ADH为37°．则楼房AB的高度为（　　）（参考数据：cos37°＝0.80，tan37°＝0.75，＝1.7）
A．15 B．21 C．22 D．16
9．如图，某大楼DE的顶部竖有一块广告牌CD，小林在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i＝1：2.4，AB＝26米，AE＝30米．则广告牌CD的高度约为（　　）（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
A．35 B．30 C．24 D．20
10．数学实践活动课中小明同学测量某建筑物CD的高度，如图，已知斜坡AE的坡度为i＝1：2.4，小明在坡底点E处测得建筑物顶端C处的仰角为45°，他沿着斜坡行走13米到达点F处，在F测得建筑物顶端C处的仰角为35°，小明和建筑物的剖面在同一平面内，小明的身高忽略不计．则建筑物的CD高度约为（　　）（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）
A．28.0米 B．28.7米 C．39.7米 D．44.7米
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝20．AC＝16，点D是AC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么cot∠ADE＝　 　．
12．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，sinA＝，AD＝6，BC＝CD，AB＝CD，那么BC＝　 　．
13．如图，在△ABC中，tan∠DFC＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝2，则线段EF的长为　 　．
14．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为　 　千米．
15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为　 　．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段CD的长；
（2）sin∠BAC的值．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．
（1）求sinB的值；
（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．
18．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）
参考答案
一．选择题
1．解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，
由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，
∵S△ABC＝AB?CD＝BC?AE，
∴AE＝＝＝3，
∴CE＝＝＝1，
∴cos∠ACB＝＝＝，
故选：B．
2．解：过点P作PE⊥x轴于E．
∵P（a，3），
∴OE＝a，PE＝3，
∵tan∠POE＝＝，
∴OE＝4，
∴OP＝＝＝5，
∴cosα＝＝．
故选：B．
3．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，
∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，
∵坡面DE的坡度为1，
∴＝1，
∴DM＝EM＝1＝FC，
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，
∵tan∠DAF＝≈0.75，
设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，
在Rt△ABC中，
∵tan∠B＝，
∴tan37°＝≈0.75，
解得x＝≈6.29（米），
故选：A．
4．解：在Rt△ABC中，，
∴BC＝AB?tanα，
在Rt△ABD中，tan45°＝，
∴BD＝AB?tan45°＝AB，
∴CD＝a＝BC+BD＝AB?tanα+AB＝（100+100?tanα ）米，
故选：B．
5．解：∵tan∠CAB＝＝＝，
∴在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
又∵BC＝5m，
∴AB＝2BC＝10m，
故选：B．
6．解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
∴BD＝AB+AD＝7，
由勾股定理得，CD＝＝3，
在Rt△BCD中，BC＝＝2，
故选：B．
7．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
∴tanA＝＝＝．
故选：C．
8．解：作DN⊥BM于N，如图：
则HB＝DN，DH＝BN，
∵∠DCN＝30°，CD＝12米，
∴HB＝DN＝CD＝6米，
CN＝DN＝6米，
∴DH＝BN＝BC+CN＝10+6（米），
在Rt△ADH中，tan∠ADH＝＝tan37°＝0.75，
∴AH＝0.75DH＝0.75×（10+6）＝15.15米，
∴AB＝AH+HB＝15.15+6≈21（米），
即楼房AB的高度约为21米．
故选：B．
9．解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，如图：
则BG＝AH+AE，GE＝BH，
在Rt△ABF中，i＝tan∠BAH＝1：2.4＝，
∴AH＝2.4BH，
∴AB＝＝2.6BH＝26，
∴BH＝10，AH＝24，
∴BG＝AH+AE＝24+30＝54，
在Rt△BGC中，∠CBG＝45°，
∴CG＝BG＝54．
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，
∴∠ADE＝90°＝53°＝37°，
∵tan∠ADE＝＝tan37°≈0.75，
∴DE＝AE＝40．
∴CD＝CG+GE﹣DE＝54+10﹣40＝24（米）；
即广告牌CD的高度约为24米；
故选：C．
10．解：过点F作FG⊥BD于G，FH⊥CD于H，如图所示：
则∠CFH＝35°，四边形DGFH是矩形，
∴HF＝DG，DH＝FG，
∵斜坡AE的坡度为i＝1：2.4，
∴设FG＝x米，则EG＝2.4x米，
在Rt△FGE中，由勾股定理得：EF2＝FG2+EG2，
即：132＝x2+（2.4x）2，
解得：x＝5，
∴FG＝5，EG＝12，
∵∠CED＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，
设CD＝y米，则CH＝（y﹣5）米，HF＝（y+12）米，
Rt△CHF中，tan∠CFH＝，
即tan35°＝，则y﹣5＝tan35°×（y+12），即y﹣5＝0.7×（y+12），
解得：y≈44.7，
即建筑物的CD高度约为44.7米；
故选：D．
二．填空题
11．解：∵∠ADE＝90°﹣∠A，∠B＝90°﹣∠A，
∴∠ADE＝∠B，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，AC＝16，
∴BC＝＝＝12，
∴cot∠ADE＝＝＝，
故答案为．
12．解：作BE⊥AD于E，连接BD，如图所示：
设BC＝CD＝x，则AB＝x，
∵sinA＝＝，
∴BE＝AB＝x，
∴AE＝＝＝x，
∵BC＝CD，∠C＝90°，
∴BD＝BC＝x，
∴BD＝AB，
∵BE⊥AD，
∴AE＝DE＝AD＝3，
∴x＝3，
解得：x＝，
即BC＝，
故答案为：．
13．解：∵∠ACB＝45°，AD⊥BC，AC＝2，
∴AD＝CD＝×2＝2，
∵tan∠DFC＝2＝，
∴DF＝AF＝AD＝，
∴FC＝＝5，
∵CE⊥AB，∠DFC＝∠AFE，
∴cos∠DFC＝＝cos∠AFE＝，
∴＝，
∴EF＝1，
故答案为：1．
14．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，
∴∠PCA＝90°，∠PAC＝30°，
∵AP＝12千米，
∴PC＝6千米，AC＝6千米，
∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，
∴∠PBC＝60°，
∴BC＝＝＝2千米，
∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），
故答案为：4千米．
15．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．
由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan30°＝，
即＝，
∴AE＝30，
∵AB＝57，
∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，
∵四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE＝57﹣30．
在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，
∴∠CDF＝∠DCF＝45°．
∴DF＝CF＝57﹣30，
∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．
答：教学楼BC高约（30﹣27）米．
故答案为：（30﹣27）米．
三．解答题
16．解：（1）∵AD是BC边上的高，
∴∠D＝90°，
在Rt△ABD中，
∵sinB＝．
∴＝，
又∵AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD＝＝9，
又∵BC＝4，
∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；
答：线段CD的长为5；
（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵S△ABC＝BC?AD＝AB?CE
∴×4×12＝×15×CE，
∴CE＝，
在Rt△AEC中，
∴sin∠BAC＝＝＝，
答：sin∠BAC的值为．
17．解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，
∴BD＝DC＝BC＝9，
∴AB＝＝＝3，
∴sinB＝＝＝；
（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∴＝＝＝，
∴EF＝AD＝×6＝4，BF＝BD＝×9＝6，
∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，
在Rt△DEF中，DE＝＝＝5．
18．解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，
设PC＝x，
在Rt△PBC中，
∵∠PBC＝30°，
∴BC＝PC＝x，
∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，
在Rt△PAC中，
∵∠PAC＝22°，
∴tan∠PAC＝，即＝，
解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，
∵16＜16，
∴有危险．
如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，
在Rt△PBD中，
∵sin∠PBD＝＝＝，
∴∠PBD＝45°，
∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，
即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．