苏科版九年级数学下册 5.5 用二次函数解决问题 同步测试题(word解析版）

5.5
用二次函数解决问题
同步测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，
）
?1.
正方形的边长为，如果边长增加，那么面积增加，则与之间的函数表达式是（
）
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
?
2.
长方形的长为、宽为，它的各边都减少，得到的新长方形的周长为，则与之间的关系式是（
）
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
?3.
如图，抛物线与轴交于，
两点，与轴交于点，，则下列各式成立的是
（????????）
A.
B.
C.
D.
?
4.
一同学掷铅球，时间（秒）与高度（米）之间的关系为．若铅球在第秒与第秒时的高度相等，则在哪一时刻铅球最高（
）
A.第秒
B.第秒
C.第秒
D.第秒
?
5.
从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度（单位：米）与小球运动时间（单位：秒）的函数关系式是．若小球的高度为?米，则小球运动时间为（
）
A.?秒
B.?秒
C.?秒
D.?秒
?6.
一台机器原价万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与的函数关系式为（
）
A.
B.
C.
D.
?
7.
设抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴交于，两点（在的左侧）．若点，的坐标分别为和，给出下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③若点的横坐标最大值为，则点的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是（
）
A.①②④
B.①③④
C.②③
D.②④
?
8.
某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（
）
A.
B.
C.
D.
?9.
某公园草坪的防护栏是由段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（
）
A.
B.
C.
D.
?
10.
如图是王阿姨晚饭后步行的路程（单位：）与时间（单位：）的函数图象，其中曲线段是以为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（
）
A.，王阿姨步行的路程为
B.线段的函数解析式为＝
C.，王阿姨步行速度由慢到快
D.曲线段的函数解析式为＝
二、
填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
，
）
?
11.
抛物线的图象与轴有两个交点，，且经过点，其中．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点（异于点），满足是等腰直角三角形，且．求该抛物线的解析式________．
?
12.
抛物线的顶点为，已知的图象经过点，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．
?
13.
一个长方形的长是宽的倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式是________．
?
14.
某市“安居工程”新建成的经济房都是层高，房子的价格（元）随楼层数（楼）的变化而变化；已知点都在一个二次函数的图象（如图）上，对称轴方程为：，则楼房子的价格为________元．
?15.
已知三角形的一边长为，这条边上的高为的倍少，则三角形的面积与之间的关系为________．
?
16.
有一座抛物线形的拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱桥距离水面．如图所示的直角坐标系中抛物线的表达式为________．
?
17.
汽车刹车距离与速度之间的函数关系是，在一辆车速为的汽车前方处，发现停放一辆故障车，此时刹车________有危险．
?
18.
某商场购进一批单价为元的日用品，经试销发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数，则与之间的关系式是________，销售所获得的利润为（元）与价格（元/件）的关系式是________．
?
19.
经市场调查，某种商品的进价为每件元，专卖商店的每日固定成本为元．当销售价为每件元时，日均销售量为件，单价每降低元，日均销售量增加个．设单价为元时的日均毛利润为元，则关于的函数解析式为________．
?
20.
如图，在平面直角坐标系中，过、两点的抛物线交轴于点，其顶点为点，设的面积为，的面积为．小芳经探究发现：是一个定值．则这个定值为________．
三、
解答题
（本题共计
6
小题
，共计60分
，
）
?
21.
用一块宽度为的长方形铁片弯折成如图所示的梯形流水槽，其中，＝，要使流水的截面面积最大，弯折的长度（的长）应是多少？
?
22.
如图，在长为米，宽为米的长方形地面上，修建两条宽度为米且互相垂直的小路，剩下的部分作为耕地，如果将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是每平米元
求买地砖至少需要多少元？（用含，的式子表示）
当??时，求地砖的费用.
?
23.
如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为的两面墙，另外两边是总长为的铁栅栏．
（1）求梯形的面积与高的表达式；
（2）求的取值范围．
?
24.
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于，两点，其中点的坐标为，点为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点的坐标为，连接.
求该二次函数的表达式及点的坐标；
连接，过点作轴于点，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值；
连接，以，为邻边作平行四边形，直线交轴于点．
①当点落在该二次函数图象上时，求点的坐标；
②在点从点到点运动过程中（点与点不重合），直接写出点在轴上的运动的路径长．
?
25.
已知抛物线，与轴交于点，与轴交于点．
求该抛物线经过的定点的坐标；
若为中所求的某一定点，且，，之间的整数恰有个（不包括，），试求的取值范围．
当时，将与轴重合的直线绕着点逆时针旋转得到直线，过点，分别作的垂线段，距离分别为，，试分别求出当最大和最小时的值．
?
26.
如图，在中，＝，＝，＝，点从点开始沿边向点以秒的速度移动，同时点从点开始沿边向点以秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．
（1），两点出发几秒后，可使的面积为．
（2）设，两点同时出发移动的时间为秒，的面积为，请写出与的函数关系式，并求出面积的最大值．
参考答案
一、
选择题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
）
1.
【答案】
D
【解答】
∵
新正方形的边长为，原正方形的边长为，
∴
新正方形的面积为，原正方形的面积为，
∴
＝＝，
2.
【答案】
A
【解答】
∵
长方形的长为、宽为，它的各边都减少，得到的新长方形的周长为，
∴
与之间的关系式是：＝＝．
3.
【答案】
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【解答】
解：由题意可知：，
即，
解得，
函数的对称轴，
故在时，铅球的高度最高，
故选．
5.
【答案】
B
【解答】
解：由题意知，
小球的高度与小球运动时间的函数关系式是：
．
令，
即：
解得．
故选．
6.
【答案】
A
【解答】
解：二年后的价格是为：，
则函数解析式是：．
故选．
7.
【答案】
D
【解答】
解：∵
点，的坐标分别为和，
∴
线段与轴的交点坐标为，
又∵
抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，
∴
，（顶点在轴上时取“”），故①错误；
∵
抛物线的顶点在线段上运动，
∴
当时，随的增大而增大，
因此，当时，随的增大而增大，故②正确；
若点的横坐标最大值为，则此时对称轴为直线，
根据二次函数的对称性，点的横坐标最小值为，故③错误；
根据顶点坐标公式，，
令，则，设方程的两根为，，
则，
根据顶点坐标公式，，
∴
，
∴
，
∵
四边形为平行四边形，
∴
，
∴
，
解得，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故选．
8.
【答案】
A
【解答】
解：设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，由题意得：
，
．
故选：．
9.
【答案】
C
【解答】
解：建立如图所示的直角坐标系，则点坐标为、点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，
设抛物线解析式为，把代入得，
所以抛物线解析式为，
当时，，
当时，，
所以，，
所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度，
所以段护栏需要不锈钢支柱的总长度．
故选．
10.
【答案】
C
【解答】
、，王阿姨步行的路程为＝，故没错；
、设线段的函数解析式为＝，
把，代入得，
解得：，
∴
线段的函数解析式为＝，故没错；
、在点的速度为，在点的速度为，故错误；
、当＝时，由图象可得＝，将＝代入＝得＝，故没错．
二、
填空题
（本题共计
10
小题
，每题
3
分
，共计30分
）
11.
【答案】
【解答】
解：如图，由抛物线经过，，，
其中，
可知抛物线开口向上，与轴两交点在正半轴，
∵
点，是等腰直角三角形，∴
，，
设直线解析式为，
将、两点坐标代入，得，解得，
直线解析式为，
∵
，两三角形同底，的高为，
∴
的高为，即点纵坐标为，把代入中，得，
即，
把、、三点坐标代入中，得
，
解得，
所以，抛物线解析式为，
故答案为：．
12.
【答案】
【解答】
解：∵
的顶点为，
∴
，代入中，得，解得，
，，
，?这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为：
．故答案为：．
13.
【答案】
【解答】
解：∵
一个长方形的长是宽的倍，宽为，
∴
长为，
∴
长方形的面积，即．
故答案为．
14.
【答案】
【解答】
解：由图象可知是抛物线的顶点，
∵
是对称轴，
∴
点关于直线的对称点是．
∴
楼房子的价格为元．
故答案为：．
15.
【答案】
【解答】
解：∵
三角形的一边长为，这条边上的高为的倍少，
∴
这条边上的高为：，
根据题意得出：．
故答案为：．
16.
【答案】
【解答】
解：设该抛物线的解析式是，
由图象知，点在函数图象上，代入得：
，
，
∴
该抛物线的解析式是．
故答案为：．
17.
【答案】
会
【解答】
解：把代入得：
汽车刹车距离，因此会有危险．
故答案为：会．
18.
【答案】
,
【解答】
解：∵
每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数，可设，
把，代入，得：
解得，．
∴
．
19.
【答案】
【解答】
解：单价为元时，日销量是个；每件的利润是：元；
则利润，即．
故答案为：．
20.
【答案】
【解答】
解：设二次函数的解析式是，即．
令，解得：，则．
∴
；
∵
是抛物线的顶点．
∴
的横坐标是：，把代入二次函数解析式得：，则的坐标是．
设直线的解析式是．
根据题意得：
解得：
则直线的解析式是：．
在中，令，解得：．
则．
∴
．
∴
．
故答案是：．
三、
解答题
（本题共计
6
小题
，每题
10
分
，共计60分
）
21.
【答案】
要使流水的截面面积最大，弯折的长度（的长）应是米
【解答】
设梯形的面积为，梯形的腰长＝＝米．
∴
＝．
如图，作于，于，
∴
＝＝＝＝
∵
四边形是梯形，
∴
，＝＝．
∴
＝，
∴
四边形是矩形，＝
∴
＝＝．＝＝．
∴
＝＝．
在中，由勾股定理，得
．
∴
，
故当时，取得最大值，最大值为．
22.
【答案】
解：依题意得：
（平方米），
所以买地砖至少需要(
元.
当
时，
由得：
（元），
∴
当
时，地砖的费用是元．
【解答】
解：依题意得：
?（平方米），
所以买地砖至少需要(?元.
当?时，
由得：?（元），
∴
当??时，地砖的费用是元．
23.
【答案】
解：（1）如图，连接，过点作于，则四边形为矩形，，，
则，
在直角中，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
梯形面积；
（2）∵
，
∴
．
【解答】
解：（1）如图，连接，过点作于，则四边形为矩形，，，
则，
在直角中，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
梯形面积；
（2）∵
，
∴
．
24.
【答案】
解：把代入得，
解得
∴
该二次函数的表达为.
当时，，
解得，
∴
点的坐标为；
设，
由，
分两种情况：
当时，，
∴
.
即，
解得，或(舍去）.
当时，，
∴
，
即，
解得或（舍去）
综上所述，的值为或.
①∵
四边形为平行四边形，
∴
，.
∵
点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，
∴
点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点.
∵
点，
∴
点.
∵
点落在二次函数的图象上
∴
，
解得，，
∴
点的坐标为；
②点在轴上的运动的路经长.
【解答】
解：把代入得，
解得
∴
该二次函数的表达为.
当时，，
解得，
∴
点的坐标为；
设，
由，
分两种情况：
当时，，
∴
.
即，
解得，或(舍去）.
当时，，
∴
，
即，
解得或（舍去）
综上所述，的值为或.
①∵
四边形为平行四边形，
∴
，.
∵
点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，
∴
点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点.
∵
点，
∴
点.
∵
点落在二次函数的图象上
∴
，
解得，，
∴
点的坐标为；
②点在轴上的运动的路经长.
25.
【答案】
解：∵
，
∴
，
∵
该函数的图象经过定点，
∴
，
∴
或，
∵
时，，时，，
∴
定点的坐标为或．
根据题意可知，抛物线的对称轴为，
易知，
?，之间的整数恰有个（不包括
，
?或，
解得
或.
∵
，
∴
，或.
①当时，①如图中，于，于，连接交于．
当时，的值最小，易证明，
∴
.
∵
，，
∴
.
设直线的解析式为，
把，代入得到
解得
当直线与平行时，的值最小.
∵
直线的解析式为，
∴
直线的解析式为，
∴
.
②如图中，作?于，则四边形是矩形，
∵
，
∴
.
在中，易知，
∴
当时，的值最大.
∵
直线的解析式为，
∴
可以假设直线的解析式为，把代入得到.
综上所述，当最小时，满足条件的的值为或．
当最大时，的值为，
当点坐标为时，同法可求：
当最小时，的值为或，
当最大时，的值为.
【解答】
解：∵
，
∴
，
∵
该函数的图象经过定点，
∴
，
∴
或，
∵
时，，时，，
∴
定点的坐标为或．
根据题意可知，抛物线的对称轴为，
易知，
?，之间的整数恰有个（不包括?，
?或，
解得?或.
∵
，
∴
，或.
①当时，①如图中，于，于，连接交于．
当时，的值最小，易证明，
∴
.
∵
，，
∴
.
设直线的解析式为，
把，代入得到
解得
当直线与平行时，的值最小.
∵
直线的解析式为，
∴
直线的解析式为，
∴
.
②如图中，作?于，则四边形是矩形，
∵
，
∴
.
在中，易知，
∴
当时，的值最大.
∵
直线的解析式为，
∴
可以假设直线的解析式为，把代入得到.
综上所述，当最小时，满足条件的的值为或．
当最大时，的值为，
当点坐标为时，同法可求：
当最小时，的值为或，
当最大时，的值为.
26.
【答案】
（1）经过或秒后，的面积等于．
（2）在移动过程中，的最大面积是
【解答】
（1）设经过秒后，的面积等于
解得：
答：经过或秒后，的面积等于
（2）依题意，得
…在移动过程中，的最大面积是