浙江省桐乡市第一中学2011-2012学年高二上学期期中考试数学（理）试题

桐乡一中2011学年第一学期期中测试高二数学（理）试题卷
命题： __朱进初___
考生注意：1、考试范围：立体几何、空间向量、直线
2、总分分，时间分钟。
一、选择题：（本题共12题，每题3分，共36分）
1．直线的倾斜角是 （ ）
A. B. C. D.
2．若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 （ ）
A.圆锥 B. 棱柱 C.圆柱 D.棱锥
3．若两异面直线互相垂直，且，则 （ ）
A. B. C. D.
4．已知且，则与的位置关系是 （ ）
A. B. C. D.
5．若平行于圆锥底面的平面将圆锥的高平分，则圆锥被分成的两部分的侧面积比是 （ ）
A. 1:1 B. 1:2 C.1:3 D. 1:4
6．已知两直线和两平面，下列命题中正确的是　　　 ( )
A．若，，则 B．若，，则
C.若，，则 D.若，，则
7．一水平放置的平面图形的直观图如图所示，则此平面图形的形状是 （ ）
8．在正方体中，面对角线与所成角为 （ ）
A. B. C. D.
9．在正方体中，为正方形中心，则与平面所
成角的正切值为 （ ）
A． B． C． D．
10．如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．这个几何体的表面积为 （ ）
A.
B.
C.
D.
11．如图正三棱锥中，分别是的中点，,且，则正三棱锥的体积是 ( )
A. B. C. D.
12．用一个边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小
三角形，做成一个蛋巢，半径为1鸡蛋（视为球体）放入 其
中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本题共6题，每题3分，共18分）
13.已知空间两点，则 ▲ 。
14. 已知直线⊥平面，⊥平面，则,的位置关系是　　▲　　．
15. 一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为直角三角形，边长如
右图所示，那么这个几何体的体积为 　　 ▲ 　　。
16. 半径为1的半球的表面积为 ▲ 。
17. 三棱锥中，两对棱，其余各棱均为，则二面角的大小为 ▲ 。
18.点为所在平面外一点，与平面所成的角相等，又，则的形状可以是 ▲ 。
（将以下正确答案的序号填上：①等边三角形；②等腰三角形；③非等腰三角形；④等腰直角三角形。）
三、解答题：（本题共6题，共46分）
19.（本题6分）已知直线。
（Ⅰ）当时，求直线的斜率；
（Ⅱ）若直线的倾斜角为，求范围。
20.（本题7分）已知三棱锥中，，，，且两两垂直，是中点，是重心，现如图建立空间直角坐标系。
（Ⅰ）求点和的坐标；
（Ⅱ）求异面直线和所成角的余弦值。
21.（本题7分）
如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，是的中点，是的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求三棱锥的体积。
22.（本题8分）
如图四棱锥中，，，是的中点，是底面正方形的中心，。
　（Ⅰ）求证：面；
　（Ⅱ）求直线与平面所成的角。
23.（本题8分）
已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，分别是线段的中点。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）判断并说明上是否存在点，使得∥平面。
24.（本题10分）
如图，在直三棱柱中，，分别为的中点，四边形是边长为的正方形。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值。
桐乡一中2011学年第一学期期中测试高二数学（理）
参考答案和评分标准
命题： ___朱进初_______
一、选择题：（本题共10题，每题2分，共20分。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D C A C C D B B A
二、填空题：（本题共6题，每题3分，共18分）
13、 (2,0,-2) 14、 平行
15、 1 16、
17、 18、 ①②④
三、解答题：（本题共6题，共46分）
19.（本题6分）已知直线。
（Ⅰ）当时，求直线的斜率； （Ⅱ）若直线的倾斜角为，求范围。
解：（Ⅰ）当时，； 3分
（Ⅱ）因为，
所以。 3分
20.（本题7分）已知三棱锥中，，，，且两两垂直，是中点，是重心，现如图建立空间直角坐标系。
（Ⅰ）求点和的坐标；
（Ⅱ）求异面直线和所成角的余弦值。
解：（Ⅰ）依题得，
所以。 3分
（Ⅱ） 1分
则 2分
所以异面直线和所成角的余弦值为。 1分
21.（本题7分）
如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，是的中点，是的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求三棱锥的体积。
(Ⅰ)证明：，
又，
而
所以；
又是平行四边形，所以
因此。 4分
(Ⅱ)。 3分
22.（本题8分）
如图四棱锥中，，，是的中点，是底面正方形的中心，。
　（Ⅰ）求证：面；
　（Ⅱ）求直线与平面所成的角。
（Ⅰ）证明：
； 3分
（Ⅱ）解：
所以是与面所成角。 3分
在中，所以，
又，所以EO与平面所成的角为。 2分
23.（本题8分）
已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，分别是线段的中点。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）判断并说明上是否存在点，使得∥平面。
（Ⅰ）∵ 平面，，，，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则． 2分
不妨令∵，
∴，即． 2分
（Ⅱ）设平面的法向量为，
由，得，令，解得：．∴． 2分
设点坐标为，，则，
要使∥平面，只需，即，
得，从而满足的点即为所求． 2分
24.（本题10分）
如图，在直三棱柱中，，分别为的中点，四边形是边长为的正方形。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值。
（Ⅰ）证明： 在直三棱柱 HYPERLINK "http://www." 中，
平面，又平面 HYPERLINK "http://www." ，所以．
因为，为 HYPERLINK "http://www." 中点，所以．又，
所以平面 HYPERLINK "http://www." ．又平面，所以 HYPERLINK "http://www." ．
因为四边形为正方形，，分别为 HYPERLINK "http://www." ，的中点，所以△≌ HYPERLINK "http://www." △，．
所以．所以 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 。
又，所以平面 HYPERLINK "http://www." ． 5分
（Ⅱ）解：如图，以的中点为原点，建立空间直角坐标系．
则．
由（2）知 HYPERLINK "http://www." 平面，所以为平面的一个法向量．
设为平面的一个法向量，
， HYPERLINK "http://www." ．
由可得
令，则 HYPERLINK "http://www." ．所以．
从而．
因为二面角为锐角，所以二面角 HYPERLINK "http://www." 的余弦值为． 5分
正视图
侧视图
俯视图
x/
y/
O/
A
B
C
D
俯视图
正视图
侧视图
3
1
1
1
2
D
A
E
F
C
B
1
3
2
俯视图
正视图
侧视图
A
B
C
D
O
E
S
E
P
D
F
C
B
A
E
D
C
B
A
A1
C1
B1
A
B
C
D
O
E
S
E
P
D
F
C
B
A
E
D
C
B
A
A1
C1
B1