浙江省桐乡市第一中学2011-2012学年高二上学期期中考试数学（文）试题

桐乡一中2011学年第一学期期中测试高二（文）数学
试题卷
命题： __高丽君___
考生注意：1、考试范围：立体几何、直线
2、总分100分，时间120分钟。
一、选择题：（本题共12题，每题3分，共36分）
1．直线的倾斜角是
（A） （B） （C） （D）
2．右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是
（A）圆锥 （B）棱柱 （C）圆柱 （D）棱锥
3．已知一个球的表面积为，则其体积为
（A） （B） （C） （D）
4．已知且，则与的位置关系是
（A） （B） （C） （D）
5．若平行于圆锥底面的平面将圆锥的高平分，则圆锥被分成的两部分的侧面积的比是
（A）1:1 （B）1:2 　（C）1:3 （D）1:4
6．已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系
（A）一定异面 （B）一定相交 （C）不可能平行 （D）不可能相交
7．一水平放置的平面图形的直观图如图所示，则此平面图形的形状是
8．在正方体中，面对角线与所成角为
（A） （B） （C） （D）
9．已知两直线和两平面，则下列命题中正确的是
（A）若，，则 （B）若，，则
（C）若，，则 　　（D）若，，则
10．如图是一个几何体的三视图（单位：cm）．
则这个几何体的体积为
（A）6 cm2　　　　　（B）3 cm2
（C）2 cm2 　　　　 （D）1 cm2
11．在正方体中，为正方形中心，则与平面ABCD所成角的正切值为
（A） （B） （C）1 （D）
12．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个对角线最长的新长方体，则该最长对角线的长度是（ ）
（A）cm （B）cm （C）cm （D）cm
二、填空题：（本题共6题，每题3分，共18分）
13．已知点A（1，1）、B（0，2），则直线AB的斜率为　 ▲　　．
14．已知△ABC，直线⊥AB，⊥AC，则与BC所成的角的度数为　 ▲　　．
15．等边三角形的边长为2，绕着它的高旋转一周所得几何体的表面积是　　▲　　　.
16．已知球的半径为2，它被一个与球心距离为1的平面所截，则截面的面积是　▲　.
17．三棱锥中，两对棱，其余各棱长均为，则二面角的大小为 ▲ .
18. Rt△ABC的斜边在平面内，直角顶点C是外一点，AC、BC与所成角分别为30°和45°，则平面ABC与所成锐角为　 ▲　　．
三、解答题：（本题共6题，共46分）
19.（本题6分）已知直线。
（Ⅰ）当时，求直线的斜率；
（Ⅱ）若直线的倾斜角为，求范围。
20．（本题满分6分）如图，四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，E、F分别为AB、AC的中点，．求证： EF⊥平面ACD．
21．（本题8分）如图，ABCD－A1B1C1D1是棱长为的正方体．
（Ⅰ）求异面直线BD1与AA1所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求三棱锥A1－BCD的体积．
22．（本题满分8分）已知三棱锥P－ABC的底面△ABC是正三角形，三条侧棱都相等。下图是它的正视图和俯视图，其中正视图是高为1的等腰三角形，俯视图是边长为1的正三角形。
　（Ⅰ）试在右侧方框中画出它的侧视图；
　（Ⅱ）求此三棱锥的表面积．
23.（本题8分）如图四棱锥S－ABCD中，，，是的中点，是底面正方形的中心，．
　（Ⅰ）求证：面；
　（Ⅱ）求直线与平面所成的角．
24.（本题10分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，D、E分别为BC、BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形。
（Ⅰ）求证：CE⊥平面AC1D；
（Ⅱ）求二面角C－AC1－D的余弦值。
桐乡一中2011学年第一学期期中测试高二（文）数学
参考答案和评分标准
命题： ___高丽君___
选择题：（本题共10题，每题2分，共20分。）
二、填空题：（本题共6题，每题3分，共18分）
13、－1 　　　　　14、 15、3
16、 　　　　　17、 　　 18、
三、解答题：（本题共6题，共46分）
19.（本题6分）已知直线。
（Ⅰ）当时，求直线的斜率；
（Ⅱ）若直线的倾斜角为，求范围。
解：（Ⅰ）当时，； …………………………… 3分
（Ⅱ）因为，
所以。 …………………………… 3分
20、因为AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC，　………………………………1分
又
而ADCD＝D，故BC⊥平面ACD，　………………………………3分　　　　　　　　
因为E、F分别为AB、AC的中点，所以EF∥BC，
所以EF⊥平面ACD．　　　　　　　　………………………………2分
21、（1）因为DD1∥AA1，故∠DD1B就是异面直线BD1与AA1所成的角　……………2分
在Rt△DD1B中，DD1＝a，BD＝a，所以BD1＝a，
所以cos∠DD1B＝＝　　　………………………………3分
　（2）V＝＝………………………………3分
23.（本题8分）
如图四棱锥中，，，是的中点，是底面正方形的中心，。
　（Ⅰ）求证：面；
　（Ⅱ）求直线与平面所成的角。
（Ⅰ）证明：
； 3分
（Ⅱ）解：
所以是与面所成角。 3分
在中，所以，
又，所以EO与平面所成的角为。 2分
24.（本题10分）
如图，在直三棱柱中，，分别为的中点，四边形是边长为的正方形。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值。
（Ⅰ）证明： 在直三棱柱中，
平面 HYPERLINK "http://www." ，又平面，所以．
因为 HYPERLINK "http://www." ，为中点，所以．又 HYPERLINK "http://www." ，
所以平面．又平面 HYPERLINK "http://www." ，所以．
因为四边形为正方形， HYPERLINK "http://www." ，分别为，的中点，所以 HYPERLINK "http://www." △≌△， HYPERLINK "http://www." ．
所以．所以。
又 HYPERLINK "http://www." ，所以平面． 5分
（Ⅱ）解法一：过C作CG⊥AC1于G，记C1D与CE的交点为H，连结GH，
由（1）知，CH⊥平面AC1D，得CH⊥AC1，
　CGCH＝C，所以AC1⊥平面CGH，
所以AC1⊥GH，
故∠CGH就是二面角C－AC1－D的平面角，
　在Rt△C1CA中，计算得CG＝，
在Rt△C1CD中，计算得CH＝，
所以在Rt△CHG中，sin∠CGH＝,
故cos∠CGH＝　　　　　　　　　　……………………………5分
解法二：如图，以 HYPERLINK "http://www." 的中点为原点，建立空间直角坐标系．
则．
由（2）知平面 HYPERLINK "http://www." ，所以为平面的一个法向量．
设 HYPERLINK "http://www." 为平面的一个法向量，
，．
由 HYPERLINK "http://www." 可得
令，则．所以 HYPERLINK "http://www." ．
从而．
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 HYPERLINK "http://www." ． 5分
正视图
侧视图
俯视图
x/
y/
O/
（A）
（B）
（C）
（D）
俯视图
正视图
侧视图
3
1
1
1
2
B
A
D
C
E
F
侧视图
正视图
俯视图
正视图
A
B
C
D
O
E
S
A
A1
B1
B
C1
C
D
E
B
A
D
C
E
F
A
B
C
D
O
E
S
A
A1
B1
B
C1
C
D
E
G
H