中考专题复习——数学模型应用问题（讲义和习题）含答案

数学模型应用问题（讲义）
课前预习
名称
定义要点
变形依据
求解思路
一元一次方程
①一元一次
②整式方程
等式的基本性质
转化成x=a的形式
二元一次方程组
①__元__次
②两个一组
_____的基本性质
通过_____转化为一元一次方程求解；常见方法有代入消元法和_________
分式方程
分母中含有
_________
_____的基本性质
通过_______转化为整式方程求解，求解后需要______
一元二次方程
①整式方程
②化简整理③__元__次
_____的基本性质
转化为一元一次方程求解；主要解法：①直接开平方法；②_________；
③_______；④______．
不等式（组）
用_______
连接
_____的基本性质
类比一元一次方程，转化为的形式
填写下列表格，并回忆相关概念．
解下列方程
知识点睛
应用题的处理思路
理解题意，梳理信息
通过列表或画线段图等方式，对信息分类整理．
辨识类型，建立模型
根据所属类型，围绕关键词、隐含的数学关系，建立数学
模型．
类型常考虑：
①所属的数学模型（方程不等式问题、函数问题、测量问题）；
②实际生活的背景（工程问题、行程问题、经济问题）．
常见关键词：
①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑方程；
②不超过、不多于、少于、至少……，考虑不等式（组）；
③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值……，考虑函数（一次函数、二次函数），根据函数性质求取最值．
隐含的数学关系：
①原材料供应型（使用量≤供应量）
②容器容量型（载重量≥货物量）
求解验证，回归实际
①结果是否符合题目要求；
②结果是否符合实际意义．
精讲精练
某次地震后，政府为安置灾民，准备从某厂调拨用于搭建帐篷的帆布5
600
m2和撑杆2
210
m．
（1）该厂现有帆布4
600
m2和撑杆810
m，不足部分计划安排110人进行生产．若每人每天能生产帆布50
m2或撑杆
40
m，则应分别安排多少人生产帆布和撑杆，才能确保同时完成各自的生产任务？
（2）计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的帐篷共100顶，若搭建一顶甲型帐篷和一顶乙型帐篷所需帆布与撑杆的数量及安置人数如下表所示，则这100顶帐篷最多能安置多少灾民？
帐篷规格
帆布数量（m2）
撑杆数量（m）
安置人数
甲型
40
30
6
乙型
60
20
8
现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地
车型
甲地（元/辆）
乙地（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650
（1）求这两种货车各用多少辆．
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地．设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位数不断增加．
（1）该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年（从2013年底到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率．
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位）．因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍．设规划建造单人间的房间数为t．
①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？
旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1
100元．
（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入-管理费）
（2）设每日净收入为w元，请写出w与x之间的函数关
系式．
（3）若某日的净收入为4
420元，且使游客得到实惠，则当天的观光车的日租金是多少元？
洛阳某校组织学生、家长代表与部分老师到郑州进行社会实践活动，为便于管理，所有人员必须乘坐同一列高铁，高铁单程票价格如表所示，二等座学生票可打7.5折，已知所有人员都买一等座单程火车票需6
175元，都买二等座单程火车票需3
150元；家长代表与老师的人数之比为2:1．
运行区间
票价
起点站
终点站
一等座
二等座
洛阳
郑州
95（元）
60（元）
（1）参加社会实践活动的老师、家长代表与学生各有多少人？
（2）由于各种原因，二等座单程火车票只能买x张（x<参加社会实践的总人数），其余的须买一等座单程火车票，在保证所有人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买单程火车票的总费用y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的方案下，请求出当x=30时，购买单程火车票的总费用．
【参考答案】
课前预习
二，一，等式，消元，加减消元法；
未知数，等式，去分母，检验；
一，二，等式，配方法，公式法，因式分解法；
不等号，不等式．
（1）
（2）
精讲精练
（1）应安排40人生产帆布，70人生产撑杆，才能确保同时完成各自的生产任务．
（2）这100顶帐篷最多能安置760名灾民．
（1）大货车8辆，小货车10辆．
（2）W=70a+11
550（0≤a≤8且a为整数）．
（3）总运费最少的货车调配方案：
甲地（辆）
乙地（辆）
大货车
5
3
小货车
4
6
即前往甲地的大货车5辆，前往甲地的小货车4辆，前往乙地的大货车3辆，前往乙地的小货车6辆时，总运费最少，最少总运费为11
900元．
（1）该市这两年（从2013年底到2015年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．
（2）①t的值为25．
②该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个．
（1）每辆车的日租金至少应为25元．
（2）．
（3）当天的观光车的日租金是120元．
（1）参加社会实践活动的老师有5人，家长代表有10人，学生有50人．
（2）当0当50≤x<65时，最经济的购票方案为：学生都买二等座学生票50张，（x-50）名成年人买二等座火车票，（65-x）名成年人买一等座火车票．
．
（3）当x=30时，购买单程火车票的总费用为4
675元．
数学模型应用问题（习题）
例题示范
例1：为支持抗震救灾，某市A，B，C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往重灾地区的D，E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．
（1）求这批赈灾物资运往D，E两县的数量各是多少．
（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D县的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过23吨，则A，B两地的赈灾物资运往D，E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案．
（3）已知A，B，C三地的赈灾物资运往D，E两县的费用如下表：
A地
B地
C地
运往D县的费用（元/吨）
220
200
200
运往E县的费用（元/吨）
250
220
210
为及时将这批赈灾物资运往D，E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
【解题要点】
①理解题意，梳理信息
列表梳理信息，如下：
A地
100
B地
100
C地
80
180
运往D县的费用
220·x
200·(120-x)
200×60
100
运往E县的费用
250·(100-x)
220·(x-20)
210×20
②辨识类型，建立模型
关键词“全部运往”、“小于”、“不超过”，确定属于方程不等式类型．
隐性条件：运送赈灾物资均为正整数．
③求解验证，回归实际
根据关键词列等式、不等式，求解．验证结果是否符合实际．
【过程示范】
解：（1）设运往E县的物资为m吨，则运往D县的物资为(2m-20)吨．根据题意得，m+2m-20=100+100+80
解得，m=100
2×100-20=180（吨）
∴运往E县的物资为100吨，运往D县的物资为180吨．
（2）根据题意得，
解得，
∵x是正整数
∴x可取41，42，43
运送方案如下，
方案一：
A地
B地
C地
运往D县
41
79
60
运往E县
59
21
20
方案二：
A地
B地
C地
运往D县
42
78
60
运往E县
58
22
20
方案三：
A地
B地
C地
运往D县
43
77
60
运往E县
57
23
20
（3）设运送总费用为w元，根据题意得，
w=220x+250(100-x)+200(120-x)+220(x-20)+200×60+210×20
=-10x+60
800
∵-10<0
∴w随x的增大而减小
∴当x=41时，wmax=60
390（元）
∴该公司承担运送物资的总费用最多是60
390元．
巩固练习
某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3
000元．
每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）
（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？
（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为w元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？
【列表分析】
【解题过程】
在“绿满河南”行动中，某社区计划对面积为1
800
m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队工作3天，乙队工作2天共可完成400
m2，甲队工作1天，乙队工作4天共可完成300
m2．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积．
（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数解析式．
（3）若甲队每天绿化费用为0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，才能使施工总费用最低？并求出最低费用．
【列表分析】
【解题过程】
某镇水库的可用水量为12
000万立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只能维持居民15年的用水量．
（1）该镇年降水量以及每人年平均用水量分别是多少立方米？（2）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米的水才能实现
目标？
（3）某企业投入1
000万元购买设备，每天能淡化5
000立方米海水，淡化率为70%．每淡化1立方米海水所需的费用为1.5元，政府补贴0.3元．企业将淡化水以3.2元/立方米的价格出售，每年还需各项支出40万元．按每年实际生产300天计算，该企业至少几年后才能收回成本？（结果精确到个位）
【列表分析】
【解题过程】
思考小结
应用题中建立数学模型往往要考虑两方面：
①题目当中明确指出的数学关系，常和关键词相关；
②隐含的数学关系，往往结合实际情况考虑，常见的有非负数、整数等制约条件．
【参考答案】
（1）一名熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B型服装需要1小时．
（2）该公司在执行规定后违背了广告承诺，理由略．
（1）甲队每天能完成绿化的面积是100
m2，乙队每天能完成绿化的面积是50
m2．
（2）y=-2x+36（0（3）安排甲队施工10天，乙队施工16天，施工总费用最低，最低费用为10万元．
（1）该镇年降水量是200万立方米，每人年平均用水量是50立方米．
（2）该镇居民人均每年需节约16立方米的水才能实现目标．
（3）该企业至少9年后才能收回成本．
1