人教版（2012）九年级数学上册 24.2.2直线和圆的位置关系（2） 课件（25张ppt）

24.2.2　直线和圆的位置关系（2）

切线的判定与性质
九年级　上册
．O
切点
切线
A
直线和圆相切
利用切线的定义:
与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
利用d与r的关系作判断:
当d＝r时直线是圆的切线。
学习目标：
1. 能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线.
2.能从逆向思维的角度理解切线的性质定理.
3.综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力.
请按照下述步骤作图：作⊙O，在⊙O上任取一点A，连接OA，过点A作直线l ⊥OA于点A。
思考以下问题:
(1)圆心O 到直线l的距离是指哪一条线段的长？它和圆的半径有什么关系?
(2)直线 l和⊙O 有什么位置关系?
(3)结合作图过程，你发现了什么?
相等
相切
O
A
﹒
OA
探究新知

(1)直线 l 经过半径OA的外端点A；
(2)直线 l 垂直于半径0A．
则:直线 l 与⊙O相切
这样我们就得到了从位置关系来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理。
A
O
l

发现：
切线的判定定理
　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的
切线．P97
l
O
A
切线的判定定理：
①
②
∵ OA是半径，OA⊥l于点A
∴ l是⊙O的切线。
几何语言：
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？
砂轮上打磨工件时飞出的火星
生活中的实例
判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
×
×
×
O
r
l
A
O
r
l
A
O
r
l
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端;
(2)直线垂直于这条半径。
l
O
A
切线的判定方法有三种：
①定义法：直线与圆有唯一公共点；
②数量法：圆心到直线的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
l
l
r
d
A
l
O
〖例1〗已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。
证明：连结OC(如图)。
∵ △OAB中， OA＝OB ,
CA＝CB,
　 ∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
O
B
A
C
例题讲解
〖例2〗 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于点D, 以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
O
A
B
C
E
D
证：过点O作OE⊥AC于点E
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB于点D
∴ OE＝OD
即OE是半径
又∵ OE⊥AC于点E
∴ AC是⊙O切线。
例题讲解
例1与例2的辅助线、证法有何不同?
O
B
A
C
O
A
B
C
E
D
〖例1〗已知：直线AB经过
⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
有交点，连半径,证垂直。
〖例2〗已知：O为∠BAC平分上 一点，OD⊥AB于D,以O为圆心， OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
无交点，作垂直，证半经。
归纳分析
.
O
A
l
一定垂直
B
理由：假设半径OA与切线 l 不垂直。
那过点O可作OB⊥ l 于点B,
则OA为直角三角形的斜边，
OB的长就是圆心0到切线l的距离,即OA=OB，
这与“直角三角形的斜边大于直角边”相矛盾，
所以半径OA与切线 l 不垂直的假设不成立。
那半径OA与切线 l 垂直成立。
　　P97思考：反过来，如图，在⊙O 中，如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？
思考
.
O
A
l
切线的性质定理:
圆的切线 于过切点的半径。
定理的几何符号表达：
∵ 直线 l 切⊙O于点A
∴ l⊥OA
垂直
切线
垂直
得出
例3：如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D. 求证:AC平分∠DAB
O
A
证：连接OC
1
2
3
∵ AD⊥DC于点D
∵DC 为切线
∴∠1=∠3
又∵OA=OC
∴∠2=∠3
∴∠2=∠1
∴ AC平分∠DAB
有切线，连半径，得垂直。
4
·
∴DC⊥OC于点C
∴DA∥OC
B
D
C
·
例题讲解
【变式1】
如图,AB为⊙O的直径, AC平分∠DAB , CD是⊙O的切线.
求证: AD⊥CD
C
B
O
A
D
证：连接OC
1
2
3
4
∵ AC平分∠DAB
∴∠1=∠2
∵CD是⊙O的切线
∴OC⊥CD于点C
∴∠D=90°
∵OA=OC
∴∠2=∠4
∴∠DCO=90°
∴ AD⊥CD
∴AD∥OC
∴∠D+∠DCO=180°
∴∠1=∠4
已知如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。AC与⊙O相切吗？为什么?
E
解：AC与⊙O相切 连接OD,作OE⊥AC ∴∠OEC=900 ∵ AB是⊙O的切线∴OD⊥AB, ∴∠ODB=900=∠OEC ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵O是BC的中点∴OB=OC ∴△OBD≌△OCE (AAS) ∴OD=OE ∴AC与⊙O相切
综合应用
切线的性质：
１、切线和圆只有一个公共点.
２、切线和圆心的距离等于半径.
３、切线垂直于过切点的半径.
４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
切线的性质
1. 判定圆的切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点
与圆心的距离等于圆的半径
经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法？
⑴ 有交点，连半径，证垂直
⑵ 无交点，作垂直，证半径
l是圆的切线
l是圆的切线
3. 圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直”。
课堂小结
作业：
同步练习册P78-79
布置作业
1.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是 .
相切
2. 如图,A,B是☉O上的两点,AC是过点A的一条直线.如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数为　　时,AC才能成为☉O的切线.
60
A
P
O
第1题
第2题
达标检测
3. 如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC，BC.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，
∴BC＝ AB＝OB.
又∵BD＝OB，
∴BC＝BD＝OB＝ OD，
∴∠OCD＝90°.
∴DC是⊙O的切线．
4???如图,△ABC内接于⊙O,∠CAE=∠B.
（1）当AB为⊙O直径,证明AE是⊙O的切线。
（2）当AB不是⊙O直径,证明AE是⊙O的切线。
拓展提高