人教版八年级上册14.2.1平方差公式 教学课件（23张）

14.2.1平方差公式
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
（x ＋ 3)( x＋５）
=x2
＋5x
＋3X
＋15
=x2
＋8x
多项式与多项式是如何相乘的？
＋15
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
①（x +1)( x-1）
②（m + 2)(m-2）
③（2x + 1)(2x-1）
④（m+6n)( m-6n）
计算下列各题
比一比，看谁算得又快又准
= x2 - 1
= m2 - 4
= m2-36n2
= 4x2 - 1
它们的结果有什么特点？
= x2 - 12
= (2x)2 - 12
= m2-(6n)2
= m2-22

2. 计算下列各题：
(1) (x+2)(x-2) 　 (2) (1+3a)(1-3a)
(3) (x+5y)(x-5y) (4) (y+3z)(y-3z)
3、观察以上等式的左边与右边，你发现了什么规律？能不能大胆猜测得出一个一般性的结论？
规律：1）左边是两个数的和乘以这两个数的差；
2）右边是这两个数的平方的差．
解：原式
解：原式
解：原式
解：原式
(x + 2)(x – 2) = x? - 4
(1 + 3a)(1 – 3a) = 1 – 9a?
(x + 5y)(x – 5y) = x? - 25y?
(y + 3z)(y – 3z) = y? - 9z?
平方差公式

对于大家提出的猜想，我们一起来进行证明．
证明：(a+b)(a-b)

我们经历了由发现——猜测——证明的过程，最后得出一个公式性的结论，我们将这个公式叫做平方差公式.
两数和乘两数差=两数平方的差.
（多项式乘法法则）
（合并同类项）
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等．
即： （a+b)(a-b)
归纳特点
(a+b)(a-b)=a2-b2
符号相同
符号相反
用符号相同数的平方
减符号相反的数的平方。
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
1、填一填
a
b
a2-b2
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
( 0.3x)2-12
(a-b)(a+b)
公式的应用

例1、用平方差公式计算下列各题
（1）
（2）
a
b
(1) (5+6x)(5-6x)
a
(2) (x-2y)(x+2y)
b
分析：要利用平方差公式解题，必须找到是哪个数符号相同和哪个数符号相反结果为“同号数”-“异号数”.
解：原式
解：原式

b
a
例2、用平方差公式计算下列各题
(-m+n)(-m-n)
(1) (-m+n)(-m-n)
解：原式
(2) (-2x-5y)(5y-2x)
解：原式
例3、下列计算对不对？如果不对，怎样改正？
2)
错
1)
分析：最后结果应是两项的平方差
错
3)
分析：应先观察是哪两个数的和与这两个数的差
错
分析：应将 当作一个整体，用括号括起来再平方
1、参照平方差公式“(a+b)(a-b)=a2-b2”填空。
(1)(t+s)(t-s)=____ (2)(3m+2n)(3m-2n)=_________
(3)(1+n)(1-n)=_____ (4)(10+5)(10-5)=______
2、判断下列式子是否可用平方差公式。
（1)（-a+b)(a+b) (2)(-2a+b)(-2a-b)
(3)(-a+b)(a-b) (4)(a+b)(a-c)
四、应用新知，尝试练习
回答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)=
(2)(2x-y)(y+2x)=
(3)(-0.5a-b)(-0.5a+b)=
(4)(3m-2n)(-3m-2n)=
4x2-y2
0.25a2-b2
4n2-9m2
b2-a2
练一练：
2.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a - 3b)=
（2）(3+2a)(－3+2a)=
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)=
（4）51×49=
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)=
(a)2－(3b)2
=4 a2－9；
=4x4－y2.
活动4 练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？
(1)(x+2)(x－2)=x2－2； (2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2 ；
=(2a)2－32
(-2x2 )2－y2
(50+1)(50-1)
=502－12
=2500-1
=2499
(9x2－16) -
(6x2+5x -6)
=3x2－5x+10
例2 计算
(1) 102×98
(2) 1001×999
现在我们来看看平方差公式在混合运算中的运用：
例4、计算
分析：在混合运算中，观察是否有可以运用平方差公式的项先进行计算，将计算结果用括号括起来，避免符号出错.
解：原式
（平方差公式）
（合并同类项）
（去括号）
计算
(1) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
（ ）
2、化简
(x4+y4 )
(x4+y4 )
(x4+y4)
知难而进
拓展提升
3.化简
(x + y)2 – ( x–y )2
思 考？
(a+b)(a-b)= (a)2-(b)2
小结
相同
互为相反数
适当交换
合理加括号
平方差公式
5米
5米
(a-5)
(a+5)米
原来
现在
面积变了吗？
a2
(a+5)(a-5)
a米
a米
今天我们学习了什么？
1、平方差公式是特殊的多项式乘法，要理解并掌握公式的结构特征.
???
2、在混合运算中，用平方差公式直接计算所得的结果可以写在一个括号里，以免发生符号错误.
2) 右边是这两个数的平方差.
1) 左边是两个数的和与这两个数的差的积.
用式子表示为：
(a + b)(a – b) = a? - b?
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等．
1.（1）（3m+2n)(3m-2n）
（2） (b+2a)(2a-b)
（3）（-4a-1)(4a-1)
练 习