人教版数学九年级上册 第24章 24.1圆的有关性质同步测试试题（一） (word版 含解析)

圆的有关性质同步测试试题（一）
一．选择题
1．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC＝52°，则∠D的大小为（　　）
A．104°
B．114°
C．116°
D．128°
2．如图，小明将一块直角三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝8cm，AB＝4cm，则⊙O的半径长为（　　）
A．10cm
B．5cm
C．4cm
D．4cm
3．如图，⊙M过点O（0，0），A（﹣，0），B（0，1），点C是x轴上方弧AB上的一点，连接BC，CO，则∠BCO的度数是（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
4．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（　　）
A．
B．2
C．2
D．4
5．如图，⊙O的直径AB＝2，弦BC＝，点D在优弧上，则∠CDB的度数是（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
6．如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α度数为（　　）
A．160°
B．120°
C．100°
D．80°
7．如图，⊙O的半径为5，OC垂直弦AB于点C，OC＝3，则弦AB的长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．8
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A、C、D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝70°，则∠BAE＝（　　）
A．70°
B．50°
C．40°
D．30°
9．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，点A，B，C均在⊙O上，且∠BOC＝90°，若∠ACO的度数为m°，∠ABO的度数为n°，则m﹣n的值是（　　）
A．30
B．45
C．50
D．60
二．填空题
11．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BC＝2，∠CDB＝30°，则⊙O的半径为　
　．
12．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，则该圆的周长是　
　．
13．如图，AB是⊙O的直径，AB＝20cm，弦BC＝12cm，F是弦BC的中点，若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t≤10），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为　
　．
14．如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是　
　．
15．如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB＝10，BE＝2，过点E作弦CD⊥AB，P是上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为　
　．
三．解答题
16．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，且E是OB的中点，连接CO并延长交AD于点F．
（1）求证：CF⊥AD；
（2）若AB＝12，求CD的长．
17．已知：△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC，BC于点D，E，且点E为BC边的中点．
（1）求证：AC＝AB；
（2）若BE＝2，AD＝6，求⊙O半径长．
18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DBA＝60°，求∠DCB的度数．
19．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点．
（1）若AC＝6，则BC的长是　
　；
（2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长；
②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝（180°﹣52°）＝64°，
∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣64°＝116°．
故选：C．
2．【解答】解：延长CA交⊙O于D，连接CB、DB，如图，
∵CD为直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠D＝∠CBA，
∴△ABD∽△ACB，
∴AD：AB＝AB：AC，即AD：4＝4：8，
∴AD＝2，
∴CD＝10，
∴⊙O的半径长为5cm．
故选：B．
3．【解答】解：连接AB，如图，
∵A（﹣，0），B（0，1），
∴OA＝，OB＝1，
∴tan∠BAO＝＝＝，
∴∠BAO＝30°，
∴∠BCO＝30°．
故选：B．
4．【解答】解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，
∴BC＝OC＝2，
故选：B．
5．【解答】解：如图，∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AB＝2，弦BC＝，
∴sin∠A＝＝．
∴∠A＝60°．
∴∠CDB＝∠A＝60°．
故选：C．
6．【解答】解：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，．
∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C＝100°，
∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝2×80°＝160°．
故选：A．
7．【解答】解：如图，连接OA，
∵OC⊥AB于点C，
∴AC＝BC，
∵⊙O的半径是5，
∴OA＝5，
又OC＝3，
所以在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，
所以AB＝2AC＝8．
故选：D．
8．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝70°，
∴∠B＝∠D＝70°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB＝∠D＝70°，
∴∠BAE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：C．
9．【解答】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，
∴，，
∴＝2，故①正确；
AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；
OC⊥BD，故③正确；
∠AOD＝3∠BOC，故④正确；
故选：C．
10．【解答】解：连接OA，AC．
∵OB＝OA，
∴∠B＝∠OAB＝n°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC＝m°，
∵∠CAB＝∠BOC＝45°，
∴m＝45+n，
∴m﹣n＝45，
故选：B．
二．填空题
11．【解答】解：∵＝，
∴∠A＝∠CDB，
∵∠CDB＝30°，
∴∠A＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
∴⊙O的半径是＝2，
故答案为：2．
12．【解答】解：由垂径定理的推论可知，点O是过格点A，B的圆的圆心，连接OA，
由勾股定理得，OA＝＝，
∴该圆的周长＝2×π×＝2π，
故答案为：2π．
13．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵AB＝20cm，弦BC＝12cm，F是弦BC的中点，
∴BF＝BC＝6cm，AO＝10cm，
有两种情况：①当∠EFB＝90°时，如图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠EFB＝90°，
∴AC∥EF，
∵F为BC的中点，
∴E为AB的中点，即E和O重合，
∵AB＝20cm，
∴AE＝AO＝10cm，
∴t＝＝5；
②当∠FEB＝90°时，如图
∵∠B＝∠B，∠FEB＝∠C＝90°，
∴△FEB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得：BE＝3.6（cm），
∵AB＝20cm，
∴AE＝AB﹣BE＝16.4cm，
∴t＝＝8.2，
故答案为：5或8.2．
14．【解答】解：连接OE、OF、OA、OC，如图所示：
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝OC＝5，
∵点E、F分别是弦AB、CD的中点，AB＝6，CD＝8，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，
∴OE＝＝＝4，OF＝＝＝3，
当AB∥CD时，E、O、F三点共线，
当AB、CD位于O的同侧时，线段EF的长度最短＝OE﹣OF＝1，
当AB、CD位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OE+OF＝7，
∴线段EF的长度的取值范围是1≤EF≤7，
故答案为：1≤EF≤7．
15．【解答】解：∵AQ⊥PD，垂足为Q，
∴∠AQD＝90°，
∴点Q在以AD为直径的圆上，
连接AD，以AD为直径作⊙M，如图，
连接MO并延长交⊙M于Q′，
当Q点运动到Q′时，OQ的值最小，
连接OD，
在Rt△ODE中，∵OD＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴DE＝＝4，
在Rt△ADE中，AD＝＝4，
∴MA＝MQ′＝2，
在Rt△AOM中，OM＝＝，
∴OQ′＝MQ′﹣OM＝2﹣＝，
∴OQ的最小值为．
故答案为．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】（1）证明：连接BC，
∵AB⊥CD，E为OB的中点，
∴BC＝OC，
∴∠BCD＝∠OCE＝BCO，
∵OC＝OB，
∴OC＝BC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝∠BCO＝60°，
∴∠AOF＝∠BOC＝60°，∠BCD＝∠BAD＝30°，
∴∠AFO＝180°﹣∠AOF﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴CF⊥AD；
（2）解：∵AB＝12，
∴OB＝6，
∵E为OB的中点，
∴OE＝OB＝3，
在Rt△OCE中，CE＝＝＝3，
∵AB⊥CD，
∴CD＝2CE＝6．
17．【解答】（1）证明：连接AE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵BE＝CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AC＝AB；
（2）解：∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCA，
∴△CDE∽△CBA，
∴CD：BC＝CE：CA，即CD：4＝2：（CD+6），
∴CD＝4，
∴AC＝AD+AC＝6+4＝10，
∴AB＝10，
∴⊙O半径为5．
18．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DBA＝60°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADB﹣∠DBA＝30°，
∵＝，
∴∠DCB＝∠DAB＝30°．
19．【解答】解：（1）如图1中，连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2．
故答案为2．
（2）如图1中，连接OD交AC于H，连接OC，则OA＝OC＝OD＝4．
∵D是的中点，
∴＝，
∴CD＝AD＝2，OD垂直平分线段AC，
设DH＝x，则OH＝4﹣x，
∵AC⊥OD，
∴∠CHD＝∠CHO＝90°，
∴CD2﹣DH2＝CO2﹣OH2，
∴22﹣x2＝42﹣（4﹣x）2，
解得x＝，
∴CH＝＝＝，
∵OD垂直平分AC，
∴AC﹣2CH＝，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝7．
②连接AE，AC，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I．
∵D，E，C是的三等分点，
∴＝＝，
∴EC＝DE＝AD＝2，∠DEA＝∠EAC，
∴DE∥AC，
∵∠H＝∠I＝90°，
∴∠HAC＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形AHIC是矩形，
∴AH＝CI，AC＝HI，
∵AD＝CE，∠H＝∠I＝90°，
∴Rt△AHD≌Rt△CIE（HL），
∴EI＝DH，设DH＝x，则HE＝x+2，
∵∠H＝90°，
∴AE2﹣EH2＝AH2＝AD2﹣DH2，
∴（）2﹣（x+2）2＝22﹣x2，
解得x＝，
∵EI＝DH＝，
∴HI＝DH+DE+EI＝+2+＝