一元二次方程的定义与解法
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第17章 一元二次方程及其解法
本章知识结构框图
一元二次方程
一元二次方程的定义
定义
一般形式
一元二次方程的解
解法
直接开平方法
配方法
因式分解法
公式法
求根公式
根的判别式
根的情况
二次三项式的因式分解
实际问题
应用
推导
一 . 一元二次方程的概念
知识点1 .定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
说明：
判断一个方程是否是一元二次方程时，先要观察其是否属于整式方程，再看其整理合并后是否符合： 只含一个未知数， 未知数的最高次数是2.
例题1：下列式子中哪些不是一元二次方程？并说明理由
（1）
（2）
（3）
（4）
（8）
（7）
（6）
（5）
（a,b为已知数）
例题2：
当m取何值时，方程 是一元二次方程.
知识点2 一元二次方程的一般形式：
说明：
（1）a≠0是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分；
（2）任何一个一元二次方程经过整理（去分母，去括号，移项，合并同类项）都可化为一般形式，我们说一元二次方程的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项都是对化为一般形式以后而言的；
（3）注意区分二次项和二次项系数，一次项和一次项系数，它们都包含前面的符号。
例题3：
将下列关于x的一元二次方程化为一般形式，再说出方程中的各项与各项系数。
（1）
（2）
（3）
（4）
知识点3：
一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左，右两边都相等的未知数的值，称为一元二次方程的解（根）。
说明：
一元二次方程的解类同与一元一次方程的解，通常把未知数的值代入方程，若是方程的解即可使等式成立。
例题1: 判断方程后面括号里的数是否是方程的解：
（2）
（1）
例题2: 是不是一元二次方程 的根。
例题3:关于x的一元二次方程
有一个根是0，求
的值。
试一试，你一定可以！
一 . 基础练习
1. 一元二次方程的一般形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2. 下列方程中是一元二次方程的是＿＿＿＿＿＿。
（ a 为实数 ）
3. 一元二次方程 的二次项系数，一次项系数，常数项分别是＿＿＿＿＿＿＿。
4 。 已知一个一元二次方程的两个根分别是2，-5，那么这个方程是＿＿＿＿＿＿＿＿。
5. 当m＿＿＿＿ 值时， 是一元二次方程？
二. 能力提升
6. 将下列方程化为一般形式，并写出二次项系数，一次项系数，常数项。
（1）
（6）
（3）
（2）
（4）
（5）
8. 已知关于x的方程 各项系数的和等于5，求m的值
9. 写出一个一元二次方程，使这个方程的一个根是-1，它的二次项系数为2，并说明有一个根为-1一元二次方程具有什么特征。
7. 如果2是一元二次方程 的一个根，那么常数b的值为＿＿＿。
二. 一元二次方程的解法
知识点1 直接开平方法
如果一元二次方程的一边含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数的常数，那么就可以直接用开平方法求解，这种方法适合 形式求解。
说明：
直接开平方法的理论依据是平方根的定义及其性质，直接开平方法适用于解 形如 的方程 ；
形如 的一元二次方程。
例题1：
用直接开平方法解下列方程。
（1）
（2）
（3）
（4）
知识点2 因式分解法
1.因式分解法的定义：运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法
3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边的二次三项式分解成两个一次因式的乘积；（3）令每一个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根。
例题：
用因式分解法解下列方程。
2.因式分解法的理论依据是：若两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个等于0，将一元二次方程分解成A B=0,则A=0或B=0。
1.
3.
5.
2.
6.
4.
知识点3 配方法
1. 定义：先把方程中的常数项移到方程的右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫做配方法。
2. 配方法的理论依据是完全平方公式：
3.用配方法解一元二次方程 的一般步骤：
（1）把二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数；
（2） 移项：把常数项移到方程右边；
（3） 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为
的形式；
（4） 当k≥0时，用直接开平方的方法解。
例题：
用配方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
1.一元二次方程的一般形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
它的求根公式是 ＿＿＿＿＿＿＿＿，
根的判别式是△=＿＿＿＿＿＿＿＿
△＿＿＿时 方程有两个不相等的实数根；
△＿＿＿时 方程有两个相等的实数根；
△＿＿时 方程无实数根。
<
<
知识点4 公式法
> 0
<
= 0
< 0
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把一元二次方程化为一般形式；（2）确定a,b,c的值；（3）求出△的值；（4）若△≥0，方程有两个根，写出两根；若△<0，则方程无解。
例题：
用公式法解下列方程。
（2）
（4）
（3）
（1）
解：
a=1 , b=7 , c=3
△=
解：
解：
解：
原方程变形为：
原方程变形为：
原方程变形为：
△=
△=
△=
a=4, b=4 , c=-1
a=2 , b=-6 , c=-3
a=6, b=-1 , c=-3
∴
∴
∴
∴
试一试，你一定可以！
用适当的方法解下列方程：
答案：
答案：
答案：
答案：
（1）
（3）
（2）
（4）
（5）
（13）
（7）
（9）
（11）
（12）
（10）
（8）
（6）
（14）
解答略
第17章 一元二次方程及其解法
本章知识结构框图
一元二次方程
一元二次方程的定义
定义
一般形式
一元二次方程的解
解法
直接开平方法
配方法
因式分解法
公式法
求根公式
根的判别式
根的情况
二次三项式的因式分解
实际问题
应用
推导
一 . 一元二次方程的概念
知识点1 .定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
说明：
判断一个方程是否是一元二次方程时，先要观察其是否属于整式方程，再看其整理合并后是否符合： 只含一个未知数， 未知数的最高次数是2.
例题1：下列式子中哪些不是一元二次方程？并说明理由
（1）
（2）
（3）
（4）
（8）
（7）
（6）
（5）
（a,b为已知数）
例题2：
当m取何值时，方程 是一元二次方程.
知识点2 一元二次方程的一般形式：
说明：
（1）a≠0是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分；
（2）任何一个一元二次方程经过整理（去分母，去括号，移项，合并同类项）都可化为一般形式，我们说一元二次方程的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项都是对化为一般形式以后而言的；
（3）注意区分二次项和二次项系数，一次项和一次项系数，它们都包含前面的符号。
例题3：
将下列关于x的一元二次方程化为一般形式，再说出方程中的各项与各项系数。
（1）
（2）
（3）
（4）
知识点3：
一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左，右两边都相等的未知数的值，称为一元二次方程的解（根）。
说明：
一元二次方程的解类同与一元一次方程的解，通常把未知数的值代入方程，若是方程的解即可使等式成立。
例题1: 判断方程后面括号里的数是否是方程的解：
（2）
（1）
例题2: 是不是一元二次方程 的根。
例题3:关于x的一元二次方程
有一个根是0，求
的值。
试一试，你一定可以！
一 . 基础练习
1. 一元二次方程的一般形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
2. 下列方程中是一元二次方程的是＿＿＿＿＿＿。
（ a 为实数 ）
3. 一元二次方程 的二次项系数，一次项系数，常数项分别是＿＿＿＿＿＿＿。
4 。 已知一个一元二次方程的两个根分别是2，-5，那么这个方程是＿＿＿＿＿＿＿＿。
5. 当m＿＿＿＿ 值时， 是一元二次方程？
二. 能力提升
6. 将下列方程化为一般形式，并写出二次项系数，一次项系数，常数项。
（1）
（6）
（3）
（2）
（4）
（5）
8. 已知关于x的方程 各项系数的和等于5，求m的值
9. 写出一个一元二次方程，使这个方程的一个根是-1，它的二次项系数为2，并说明有一个根为-1一元二次方程具有什么特征。
7. 如果2是一元二次方程 的一个根，那么常数b的值为＿＿＿。
二. 一元二次方程的解法
知识点1 直接开平方法
如果一元二次方程的一边含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数的常数，那么就可以直接用开平方法求解，这种方法适合 形式求解。
说明：
直接开平方法的理论依据是平方根的定义及其性质，直接开平方法适用于解 形如 的方程 ；
形如 的一元二次方程。
例题1：
用直接开平方法解下列方程。
（1）
（2）
（3）
（4）
知识点2 因式分解法
1.因式分解法的定义：运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法
3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边的二次三项式分解成两个一次因式的乘积；（3）令每一个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根。
例题：
用因式分解法解下列方程。
2.因式分解法的理论依据是：若两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个等于0，将一元二次方程分解成A B=0,则A=0或B=0。
1.
3.
5.
2.
6.
4.
知识点3 配方法
1. 定义：先把方程中的常数项移到方程的右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫做配方法。
2. 配方法的理论依据是完全平方公式：
3.用配方法解一元二次方程 的一般步骤：
（1）把二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数；
（2） 移项：把常数项移到方程右边；
（3） 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为
的形式；
（4） 当k≥0时，用直接开平方的方法解。
例题：
用配方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
1.一元二次方程的一般形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
它的求根公式是 ＿＿＿＿＿＿＿＿，
根的判别式是△=＿＿＿＿＿＿＿＿
△＿＿＿时 方程有两个不相等的实数根；
△＿＿＿时 方程有两个相等的实数根；
△＿＿时 方程无实数根。
<
<
知识点4 公式法
> 0
<
= 0
< 0
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把一元二次方程化为一般形式；（2）确定a,b,c的值；（3）求出△的值；（4）若△≥0，方程有两个根，写出两根；若△<0，则方程无解。
例题：
用公式法解下列方程。
（2）
（4）
（3）
（1）
解：
a=1 , b=7 , c=3
△=
解：
解：
解：
原方程变形为：
原方程变形为：
原方程变形为：
△=
△=
△=
a=4, b=4 , c=-1
a=2 , b=-6 , c=-3
a=6, b=-1 , c=-3
∴
∴
∴
∴
试一试，你一定可以！
用适当的方法解下列方程：
答案：
答案：
答案：
答案：
（1）
（3）
（2）
（4）
（5）
（13）
（7）
（9）
（11）
（12）
（10）
（8）
（6）
（14）
解答略