人教版八年级下册17.1.2 勾股定理的应用课件（30张）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册17.1.2 勾股定理的应用课件（30张） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 365.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-13 10:38:17 | ||
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文档简介
勾股定理的应用
回顾与思考
-----------勾股定理
1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
2、请你举一个生活中的实例，并应用勾股定理解决它。
课堂练习： 一判断题. 1.?ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( )
2.? ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
?
?
二填空题 1.在? ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.
(2)若a=9,b=40,则c=______. 2.在? ABC中, C=90°,若AC=6,CB=8,则?ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
6
8
41
24
4.8
3．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( )
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
D
4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CD
A
B
C
D
证明：
过A作AE⊥BC于E
E
∵AB=AC，∴BE=CE
在Rt △ADE中，
AD2=AE2+DE2
在Rt △ABE中，
AB2=AE2+BE2
∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·CD
5、已知：数7和24，请你再写一个整数，
使这些数恰好是一个直角三角形三边的长，
则这个数可以是——
6、一个直角三角形的三边长是不大于１０的三个连续偶数，则它的周长是————
25
24
7 .观察下列表格：
……
列举
猜想
3、4、5
32=4+5
5、12、13
52=12+13
7、24、25
72=24+25
……
13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b= ，c=
84
85
9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
B
A
A
B
C
解：台阶的展开图如图：连结AB
在Rt△ABC中根据勾股定理
AB2=BC2＋AC2
＝552＋482＝5329
∴AB=73cm
8、如图，小颍同学折叠一个直角三角形
的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
C
A
B
D
E
解：连结BE
由已知可知：DE是AB的中垂线，∴AE=BE
在Rt△ABC 中，根据勾股定理：
设AE=xcm，则EC=(10－x)cm
BE2=BC2+EC2
x2=62＋ (10－x)2
解得x=6.8
∴EC=10－6.8=3.2cm
例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
20
10
15
B
C
A
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有两种情况(如图①② ),由勾股定理可求得图1中AB最短.
①
B
A
20
10
15
5
AB =√202+152 =√625
B
AB =√102+252 =√725
②
A
20
10
15
5
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
A
B
A1
B1
D
C
D1
C1
2
1
4
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.
A
B
D
C
D1
C1
①
4
2
1
AC1 =√42+32 =√25 ;
②
A
B
B1
C
A1
C1
4
1
2
AC1 =√62+12 =√37 ;
A
B1
D1
D
A1
C1
③
4
1
2
AC1 =√52+22 =√29 .
四、长方体中的最值问题
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
A
B
分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC = 24 × = 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
2
1
B
A
C
10、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。
A
B
C
D
G
F
E
解：由已知AF=FC
设AF=x，则FB=9－x
在R t △ABC中，根据勾股定理FC2=FB2＋BC2
则有x2=(9－x)2＋32
解得x=5
同理可得DE=4
∴GF=1
∴以EF为边的正方形的面积=EG2＋GF2=32＋12=10
11、假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
A
B
8
2
3
6
1
C
解：过B点向南作垂线，连结AB，可得Rt△ABC
由题意可知：AC=6千米，BC=8千米
根据勾股定理AB2=AC2＋BC2
＝62＋82＝100
∴AB=10千米
11、如图，已知：CD⊥AB于D，
且有
求证：△ACB为直角三角形
A
B
D
C
9．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？
10．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．
8、如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有 B、C 两个村庄,现要在 B、C两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.
A
B
C
400
1000
60°
30°
D
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD 是高,AB=1,则 2 CD2 + AD2 +BD2 =＿＿＿＿;
7.三角形的三边长 a, b, c 满足
a2 +b2 +c2 +338 = 10a + 24b +26c,
此三角形为＿＿＿＿＿三角形.
5、如图，有一块地，已知，AD=4m，
CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，
BC=12m。求这块地的面积。
A
B
C
3
4
13
12
D
24平方米
3．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）．
A． B．7，24，25
C．4，7.5，8.5 D．3.5，4.5，5.5
1．请完成以下未完成的勾股数：
（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．
2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，
则最大边上的高是_______．
4.如图，两个正方形的面积分别
为64，49，则AC= .
A
D
C
64
49
17
A
B
C
A
C
P
A
C
探索与提高2：
如图所示，在△ABC中，AB=AC=4，P为BC上的一点，
(1)求证：
1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．
2、已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上任意一点，
求证：BD2+CD2=2AD2．
提升“学力”
∵AC⊥AB(已知)
∴ AC2+AB2=BC2(勾股定理)
∵ AB=3cm,BC=5cm
又∵CD=2 cm AD=2cm(已知)
∴ AC2=16 , CD2+AD2=12+4=16
∴ AC2=CD2+AD2
∴ ∠ADC=900(勾股定理的逆定理)
∴ S四边形ABCD=S △ ABC+ S△ ACD
∴
= ×3 × 4+ × 2?2
=6+2 (cm2)
= AB ?AC+ AD ?CD
解（1）
13、如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，
且CE= BC，则AF⊥EF，试说明理由
解：连接AE
∵ABCD是正方形，边长是4，F是DC的中点，EC=1/4BC
∴根据勾股定理，在
Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20
Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5
Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25
∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1
∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EF
A
探索与提高：
如图所示，现在已测得长方体木块的长3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。
A
C
D
B
G
F
H
（1）蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从点A爬到点B处，有无数条路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到最短路径吗？
（2）若蜘蛛爬行的速度是每秒10厘米，问蜘蛛沿长方体表面至少爬行几秒钟，才能迅速地抓到苍蝇？
A
C
D
B
G
F
H
A
C
F
G
H
D
感悟与反思
1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？
2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？
试一试：
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
回顾与思考
-----------勾股定理
1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
2、请你举一个生活中的实例，并应用勾股定理解决它。
课堂练习： 一判断题. 1.?ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( )
2.? ABC的a=6,b=8,则c=10 ( )
?
?
二填空题 1.在? ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.
(2)若a=9,b=40,则c=______. 2.在? ABC中, C=90°,若AC=6,CB=8,则?ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
6
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4.8
3．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( )
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
D
4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CD
A
B
C
D
证明：
过A作AE⊥BC于E
E
∵AB=AC，∴BE=CE
在Rt △ADE中，
AD2=AE2+DE2
在Rt △ABE中，
AB2=AE2+BE2
∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·CD
5、已知：数7和24，请你再写一个整数，
使这些数恰好是一个直角三角形三边的长，
则这个数可以是——
6、一个直角三角形的三边长是不大于１０的三个连续偶数，则它的周长是————
25
24
7 .观察下列表格：
……
列举
猜想
3、4、5
32=4+5
5、12、13
52=12+13
7、24、25
72=24+25
……
13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b= ，c=
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9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
B
A
A
B
C
解：台阶的展开图如图：连结AB
在Rt△ABC中根据勾股定理
AB2=BC2＋AC2
＝552＋482＝5329
∴AB=73cm
8、如图，小颍同学折叠一个直角三角形
的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
C
A
B
D
E
解：连结BE
由已知可知：DE是AB的中垂线，∴AE=BE
在Rt△ABC 中，根据勾股定理：
设AE=xcm，则EC=(10－x)cm
BE2=BC2+EC2
x2=62＋ (10－x)2
解得x=6.8
∴EC=10－6.8=3.2cm
例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？
20
10
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B
C
A
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有两种情况(如图①② ),由勾股定理可求得图1中AB最短.
①
B
A
20
10
15
5
AB =√202+152 =√625
B
AB =√102+252 =√725
②
A
20
10
15
5
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
A
B
A1
B1
D
C
D1
C1
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分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.
A
B
D
C
D1
C1
①
4
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1
AC1 =√42+32 =√25 ;
②
A
B
B1
C
A1
C1
4
1
2
AC1 =√62+12 =√37 ;
A
B1
D1
D
A1
C1
③
4
1
2
AC1 =√52+22 =√29 .
四、长方体中的最值问题
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
A
B
分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC = 24 × = 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
2
1
B
A
C
10、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。
A
B
C
D
G
F
E
解：由已知AF=FC
设AF=x，则FB=9－x
在R t △ABC中，根据勾股定理FC2=FB2＋BC2
则有x2=(9－x)2＋32
解得x=5
同理可得DE=4
∴GF=1
∴以EF为边的正方形的面积=EG2＋GF2=32＋12=10
11、假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
A
B
8
2
3
6
1
C
解：过B点向南作垂线，连结AB，可得Rt△ABC
由题意可知：AC=6千米，BC=8千米
根据勾股定理AB2=AC2＋BC2
＝62＋82＝100
∴AB=10千米
11、如图，已知：CD⊥AB于D，
且有
求证：△ACB为直角三角形
A
B
D
C
9．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？
10．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．
8、如图,点A是一个半径为 400 m的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有 B、C 两个村庄,现要在 B、C两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两村连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.
A
B
C
400
1000
60°
30°
D
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD 是高,AB=1,则 2 CD2 + AD2 +BD2 =＿＿＿＿;
7.三角形的三边长 a, b, c 满足
a2 +b2 +c2 +338 = 10a + 24b +26c,
此三角形为＿＿＿＿＿三角形.
5、如图，有一块地，已知，AD=4m，
CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，
BC=12m。求这块地的面积。
A
B
C
3
4
13
12
D
24平方米
3．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）．
A． B．7，24，25
C．4，7.5，8.5 D．3.5，4.5，5.5
1．请完成以下未完成的勾股数：
（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．
2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，
则最大边上的高是_______．
4.如图，两个正方形的面积分别
为64，49，则AC= .
A
D
C
64
49
17
A
B
C
A
C
P
A
C
探索与提高2：
如图所示，在△ABC中，AB=AC=4，P为BC上的一点，
(1)求证：
1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．
2、已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上任意一点，
求证：BD2+CD2=2AD2．
提升“学力”
∵AC⊥AB(已知)
∴ AC2+AB2=BC2(勾股定理)
∵ AB=3cm,BC=5cm
又∵CD=2 cm AD=2cm(已知)
∴ AC2=16 , CD2+AD2=12+4=16
∴ AC2=CD2+AD2
∴ ∠ADC=900(勾股定理的逆定理)
∴ S四边形ABCD=S △ ABC+ S△ ACD
∴
= ×3 × 4+ × 2?2
=6+2 (cm2)
= AB ?AC+ AD ?CD
解（1）
13、如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，
且CE= BC，则AF⊥EF，试说明理由
解：连接AE
∵ABCD是正方形，边长是4，F是DC的中点，EC=1/4BC
∴根据勾股定理，在
Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20
Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5
Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25
∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1
∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AEF=90°即AF ⊥EF
A
探索与提高：
如图所示，现在已测得长方体木块的长3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。
A
C
D
B
G
F
H
（1）蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从点A爬到点B处，有无数条路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到最短路径吗？
（2）若蜘蛛爬行的速度是每秒10厘米，问蜘蛛沿长方体表面至少爬行几秒钟，才能迅速地抓到苍蝇？
A
C
D
B
G
F
H
A
C
F
G
H
D
感悟与反思
1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？
2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？
试一试：
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C