人教版八年级下册18.2.2菱形的判定课件（第二课时 18张）

人教版八年级数学
菱 形
第2课时 菱形的判定
课标解读
1.理解菱形的定义，能够利用定义法判定四边形是菱形。
2.掌握菱形的判定定理，并能灵活运用菱形的判定定理进行菱形的判定。
3.掌握各种判定方法的特点，能够根据题中特点选择一个恰当的方法。
命题1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：四边形ABCD 是平行四边形，且AC⊥BD，
求证：平行四边形ABCD 是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，又∵AC⊥BD,
∴AB=BC（线段垂直平分线上
的点到两个端点的距离相等）
∴ 四边形ABCD是菱形.（菱形的定义）
命题2：四条边都相等的四边形是菱形.
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=BC，
∴ ABCD是菱形.
菱形的判定定理
(1)有一组________相等的平行四边形是菱形；
(2)________条边相等的四边形是菱形；
(3)对角线__________的平行四边形是菱形；
(4)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．(证明过程中不能直接应用，可转换到判定(3))
邻边
四
互相垂直
四边形
+
四条边相等
菱形
归纳总结
四边形
+
对角线垂直平分
菱形
平行四边形
+
一组邻边相等
菱形
平行四边形
+
对角线垂直
菱形
例1 如图， 四边形 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
AB=5，AO=4，BO=3.
求证： 四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2.
∴△OAB是直角三角形， AC⊥ BD.
∴ ABCD是菱形.
例2.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BO平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AE∥BF，∴∠EAC=∠ACB.
又∵AC平分∠BAD，
∴∠ACB=∠BAC=∠EAC,∴AB=BC.
同理：AB=AD，∴AD=BC，而AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形.
1. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3.
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3，
∴AB2＝AO2＋BO2，
∴△ABO为直角三角形，
∴______________，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形．
(依据：___________________________________)
AC⊥BD
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
同步练习
2. 如图所示，下列条件中能说明四边形ABCD是菱形的有（ ）
②OA=OC，OB=OD，AB=BC;
①BD⊥AC
③AC=BD,
④AB=BC，AB∥CD
A.① B. ① ② C. ② D ③④
C
A
B
C
D
O
3．(2019·宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(　　)
A．AC⊥BD　　　　　　　 B．AB＝AD
C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
C
如图，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA.
请你以其中的三个作为题设，以“四边形ABCD是菱形”作为结论.
（1）写出一个真命题，并证明；
（2）写出一个假命题，并举出一个反例加以说明.
拓展提升
解：（1）若①②③，则四边形ABCD是菱形.
∵AC⊥BD，AC平分BD,
∴∠BOC=∠DOA=90°，BO=OD.
又∵AD∥BC，∴∠OBC=∠ODA.
∴△BOC≌△DOA，∴OC=OA.
∴AC、BD互相垂直且平分，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）若②③④，则四边形ABCD是菱形.
反例：当四边形ABCD是矩形时，满足②③④，但不是菱形.
2.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
解：这是一个菱形.
AO=CO= AC=6，
BO=DO= BD=3 .
在△ABO中，∵AO2+BO2=（3 ）2+62=81，
AB2=92=81，∴△ABO是直角三角形，
∴AC⊥BD，∴ ABCD是菱形.
S菱形ABCD= AC · BD
=36
3. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD.
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠BOC＝120°，AB＝4，求△BEC的面积．
解： (1)证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OC＝1/2AC，OD＝1/2BD，AC＝BD.
∴OC＝OD.
∴四边形OCED是菱形；
(2)解：∵∠BOC＝120°，∴∠DOC＝60°.
∵四边形OCED是菱形，∴△ODC，△CDE是等边三角形．
∴OC＝DC.
∵OC＝1/2AC，∴AC＝2OC＝2CD.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD.
∴AC＝2AB.
∵AB＝4，∴AC＝8.
在Rt△ABC中，BC＝＝4.
如解图，过点E作EF⊥CD，可得CF＝2(1)CD＝2.
∴S△BEC＝1/2BC×CF＝4.