人教版数学九年级上册课件：22.3.1-几何面积的最值问题（共18张ppt）

几何图形面积最值问题
会列出二次函数关系式，并解决几何图形的最
大（小）值。
1、通过探究几何图形的长度和面积之间的关系列出函数关系式；并确定自变量的取值范围。
2、会用二次函数顶点公式求实际问题中的极值。
复习引入
1.二次函数y=a(x-h)?+k的图象是一条 ,它的对称轴是 ,顶点坐标是 .
2.二次函数y=ax?+bx+c的图象是一条 ,它的对称轴是 ,顶点坐标是 .
3.二次函数y=2(x-3)?+5的对称轴是 ,顶点坐标是 .
4.二次函数y=x?-4x+9的对称轴是 ,顶点坐标是 .
5.二次函数y=-3x?-6x+7的对称轴是 ,顶点坐标是 .
抛物线
x= h
（h,k）
抛物线
x= 3
（3,5）
（2,5）
引入：构建二次函数模型，解决最值类应用题
　　从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：
m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是
h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小
球最高？小球运动中的最大高度是多少？
　　小球运动的时间是 3 s 时，小球最高．
　　小球运动中的最大高度是 45 m．
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t - 5t 2
　　由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，
　　如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？
方法总结：构建二次函数模型，解决最值类应用题
有没有其他简单的办法求最值？
二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
现有60米的篱笆要围成一个矩形的场地.
　　(1)若矩形的一边长为10 m,它的另一边多长？它的面积是多少?
(2)若矩形的长分别为15 m,30 m时,它的另一边多长？它的面积分别是多少?
(3)从以上几个问题可知:矩形的面积随矩形一边长的变化而变化.
（4）若矩形的一边长为x m,它的另一边多长？它的面积是多少?
例1：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化.
探究点一 构建二次函数模型，解决几何最值类应用题
(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
例1：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化.
探究点一 构建二次函数模型，解决几何最值类应用题
(2)当x是多少时,矩形场地的面积S最大?最大面积是多少?
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
x
60-2x
问题2 我们如何设自变量和应变量？
问题3 等量关系是什么？函数关系式是什么？
问题1 变式1与例题有什么不同？
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
x
60-2x
问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对自变量x的取值范围有限定作用吗？
问题5 如何求最值？
问题6 可否试设与墙平行的一边为x米？
墙长32m对此题求最值有影响吗？有实际的作用吗？
x
x
60-2x
问题2 我们如何设自变量和应变量？
问题3 等量关系是什么？函数关系式是什么？
问题1 变式2与变式1有什么不同？
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
x
60-2x
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题5 当x=15时，S取最大值，此结论是否正确？
问题4 如何求自变量的取值范围？墙长18m对自变量x的取值范围有限定作用吗？
问题6 如何求最值？
只能利用函数的增减性求其最值.
墙长18m对此题求最值有影响吗？有实际的作用吗？
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
知识要点
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
练习：如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。

(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时围花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
例2：已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
归纳探究，总结方法
　　2．列出二次函数的解析式(根据几何图形的面积公式），并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.
　
　　1．先设出自变量x和应变量y(亦可以用其他字母），一般边长设为x，面积设为y。
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大
值或最小值.（实质求抛物线的顶点坐标）
4.作答，写出结论。
达标检测 反思目标
1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,求最大的透光面积.
图1
达标检测 反思目标
2.如图2，在△ABC中，∠B=90 °, AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒，四边形APQC的面积最小.
A
B
C
P
Q
图2