(共39张PPT)
第10章 三角恒等变换
10.1 两角和与差的三角函数
10.1.1 两角和与差的余弦
必备知识·自主学习
两角和与差的余弦公式
导思
1.
两角差的余弦公式是怎样推导出来的?
2.利用两角差的余弦公式能解决哪些问题?
简记
符号
公式
使用条件
C(α-β)
cos(α-β)=
__________________________
α,β∈R
C(α+β)
cos(α+β)=
__________________________
cos
αcos
β+sin
αsin
β
cos
αcos
β-sin
αsin
β
【思考】
(1)两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的?
提示:在两角差的余弦公式cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β中,
只要用-β替换β,便可以得到两角和的余弦公式.
(2)两角和与差的余弦公式的结构特征是什么?可用什么口诀记忆?
提示:可简单记为“余余正正,符号反”,即展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相反.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)cos(70°+40°)=cos
70°-cos
40°.
( )
(2)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos
α-cos
β都不成立.
( )
(3)对任意α,β∈R,cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β都成立.
( )
(4)cos
30°cos60°+sin
30°sin
60°=1.
提示:(1)×.cos(70°+40°)=cos
110°≠cos
70°-cos
40°.
(2)×.当α=-45°,β=45°时,cos(α-β)=cos(-45°-45°)=
cos(-90°)=0,cos
α-cos
β=cos(-45°)-cos
45°=0,此时cos(α-β)=
cos
α-cos
β.
(3)√.结论为两角和的余弦公式.
(4)
×.cos
30°cos
60°+sin
30°sin
60°
=cos(60°-30°)=cos
30°=
.
2.cos
75°cos
15°-sin
75°sin
15°的值等于________.?
【解析】逆用两角和的余弦公式可得:
cos
75°cos
15°-sin
75°sin
15°
=cos(75°+15°)=cos
90°=0.
答案:0
3.(教材二次开发:例题改编)cos
615°的值为( )
【解析】选D.cos
615°=cos(720°-105°)
=cos
(-105°)=cos
105°=cos(45°+60°)=
.
关键能力·合作学习
类型一 利用两角和与差的余弦公式化简求值(数学运算)
【题组训练】
1.cos
22°cos
38°-sin
22°sin
38°的值为
( )
2.cos
345°的值等于
( )
3.cos(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)=________.?
【解析】1.A.原式=cos(22°+38°)=cos
60°=
.
2.选C.cos
345°=cos(360°-15°)
=cos
15°=cos(45°-30°)
=cos
45°cos
30°+sin
45°sin
30°=
.
3.cos(-40°)cos(-20°)-sin(-40°)sin(-20°)
=cos[(-40°)+(-20°)]=cos(-60°)=cos
60°=
.
答案:
【解题策略】
两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.
(2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角和或差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
【补偿训练】
求下列各式的值:
(1)cos
;
(2)sin
460°sin(-160°)+cos
560°cos(-280°);
(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α).
【解析】(1)cos
=cos
=-cos
(2)原式=-sin
100°sin
160°+cos
200°cos
280°
=-sin
80°sin
20°-cos
20°cos
80°
=-(cos
80°cos
20°+sin
80°sin
20°)
=-cos
60°=-
.
(3)cos(α+20°)cos(40°-α)-sin(α+20°)sin(40°-α)
=cos[(α+20°)+(40°-α)]=cos
60°=
.
类型二 给值(式)求值(数学运算)
角度1 “逆用”求值?
【典例】(2020·泰安高一检测)已知sin
,则cos
α+
sin
α的值
为
( )
A.-
B.
C.2
D.-1
【思路导引】对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可.
【解析】选B.cos
α+
sin
α=
角度2 “拼凑角”求值?
【典例】(1)已知sin
求cos
α的值.
(2)α,β为锐角,cos(α+β)=
,cos(2α+β)=
,求cos
α的值.
【思路导引】对已知条件和所求结论中的角进行分析,看已知条件中的角如何
“拼凑”成结论中的角.
【解析】(1)因为α∈
,所以
+α∈
,
所以cos
=
所以cos
α=
(2)因为α,β为锐角,所以0<α+β<π.
因为cos(α+β)=
>0,
所以0<α+β<
,因为α为锐角,所以0<2α+β<π,
因为cos(2α+β)=
,所以0<2α+β<
,
所以sin(α+β)=
,sin(2α+β)=
,
所以cos
α=cos
=cos(2α+β)·cos(α+β)+sin(2α+β)·sin(α+β)
=
×
+
×
=
.
【变式探究】
1.将本例(1)的条件改为“sin
,且
<α<
”,如何解答?
【解析】因为sin
,且
<α<
,
所以
<α+
<π,
所以cos
=
所以cos
α=cos
=cos
cos
+sin
sin
=-
×
+
×
=
.
2.将本例(1)的条件改为“sin
,α∈
”,求cos
的值.
【解析】因为
<α<
,所以-
<
-α<
.
又因为sin
=-
<0,所以-
<
-α<0,
所以cos
=
所以
=cos
=
cos
+
sin
【解题策略】
解决三角函数的求值问题的关键点
(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
(2)当“已知角”有一个时通常有两种思路:
①着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”;
②考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式.
【题组训练】
1.已知α为锐角,β为第三象限角,且cos
α=
,sin
β=-
,则cos(α-β)的
值为
( )
【解析】选A.因为α为锐角,且cos
α=
,所以sin
α=
因为β
为第三象限角,且sin
β=-
,所以cos
β=
,所以
cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β=
×
=-
.
2.已知cos
则cos
α+sin
α的值为________.?
【解析】因为cos
=cos
cos
α+sin
sin
α=
cos
α+
sin
α=
,
所以cos
α+sin
α
答案:
【补偿训练】若sin
α-sin
β=
,cos
α-cos
β=
,则cos(α-β)的值
为
( )
【解析】选A.由sin
α-sin
β=
,cos
α-cos
β=
,得sin2α+sin2β-
2sin
αsin
β=
,①
cos2α+cos2β-2cos
αcos
β=
,②
①+②得2-2(sin
αsin
β+cos
αcos
β)=1.
所以sin
αsin
β+cos
αcos
β=
.
所以cos(α-β)=
.
类型三 给值求角问题(数学运算)
【典例】已知0<α<
,-
<β<0,且α,β满足sin
α=
,cos
β=
,求
α-β.
【解题策略】
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围:根据条件确定所求角的范围;
(2)求所求角的某个三角函数值:根据角的范围选择求哪一个三角函数值,原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限;
(3)求角:结合三角函数值及角的范围求角.
【跟踪训练】
1.已知cos
α=
,cos(α+β)=-
,α,β∈
,则β=________.?
【解析】因为α,β∈
,所以α+β∈(0,π).
因为cos
α=
,cos(α+β)=-
,
所以sin
α=
,sin(α+β)=
,
所以cos
β=cos
=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)·sin
α
=
因为0<β<
,所以β=
.
答案:
2.已知sin
α=
,sin
β=
,且α和β均为钝角,则α+β=________.?
【解析】因为α,β均为钝角,
所以cos
α=
所以cos
(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β
由α和β均为钝角,得π<α+β<2π,所以α+β=
.
答案:
1.cos
20°=
( )
A.cos
30°cos
10°-sin
30°sin
10°
B.cos
30°cos
10°+sin
30°sin
10°
C.sin
30°cos
10°-sin
10°cos
30°
D.cos
30°cos
10°-sin
30°cos
10°
【解析】选B.cos
20°=cos(30°-10°)=cos
30°cos
10°+
sin
30°sin
10°.
课堂检测·素养达标
2.计算
的值是
( )
A.0
【解析】选C.
=cos
cos
+sin
sin
=cos
=cos
.
3.已知锐角α,β满足cos
α=
,cos(α+β)=-
,则cos
β等于
( )
【解析】选A.因为α,β为锐角,cos
α=
,cos(α+β)=-
,所以
sin
α=
,sin(α+β)=
,所以cos
β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)
cos
α+sin(α+β)sin
α
4.sin
75°=________.?
【解析】sin75°=cos15°=cos(45°-30°)
=cos45°·cos30°+sin45°·sin30°=
答案:
5.设α,β都是锐角,且cos
α=
,sin(α+β)=
,求cos
β的值.
【解析】因为α,β都是锐角且cos
α=
<
,所以
<α<
,0<β<
,所以
<α+β<π,又sin(α+β)=
<
,所以
π<α+β<π,所以cos(α+β)
=
sin
α=
所以cos
β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α(共40张PPT)
10.1.2 两角和与差的正弦
必备知识·自主学习
导思
1.两角和与差的正弦公式是怎样推导出来的?
2.应用两角和与差的正弦公式能解决怎样的问题?
1.两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和
的正弦
S(α+β)
sin(α+β)=
__________________________
α,β∈R
两角差
的正弦
S(α-β)
sin(α-β)=
__________________________
α,β∈R
sin
αcos
β+cos
αsin
β
sin
αcos
β-cos
αsin
β
【思考】
对照识记两角和与差的余弦公式的方法,你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗?
提示:可简单记为“正余余正,符号相同”,即展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同.
2.辅助角公式
辅助角公式:asin
x+bcos
x=
·sin(x+φ)(或asin
x+bcos
x=
·cos(x-φ)),其中sin
φ=
,cos
φ=
(或cos
φ=
,sin
φ=
).
【思考】
辅助角公式是如何推导出来的?
提示:推导过程:asin
x+bcos
x
=
令cos
φ=
,sin
φ=
,则asin
x+bcos
x=
(sin
xcos
φ+cos
xsin
φ)=
sin(x+φ).
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.
( )
(2)存在α,β∈R,使得sin(α+β)=sin
α+sin
β成立.( )
(3)sin
56°cos
26°-cos56°sin
26°=sin
30°.
( )
提示:(1)√.根据公式的推导过程可得.
(2)√.当α=30°,β=0°时,sin(α+β)=sin
α+sin
β.
(3)√.因为sin
56°cos
26°-cos
56°sin
26°
=sin(56°-26°)=sin
30°,故原式正确.
2.cos
17°sin
13°+sin
17°cos
13°的值为
( )
A.
B.
C.
D.以上都不对
【解析】选A.原式=sin(13°+17°)=
sin
30°=
.
3.(教材二次开发:例题改编)函数y=sin
x-cos
x的最小正周期是
( )
A.
B.π
C.2π
D.4π
【解析】选C.y=sin
x-cos
x=
所以函数的最
小正周期为T=2π.
4.已知α为锐角,sin
α=
,β是第四象限角,cos(π+β)=-
,则
sin(α+β)=________.?
【解析】因为α为锐角且sin
α=
,所以cos
α=
.又β为第四象限角,且
cos(π+β)=-cos
β=-
,所以cos
β=
,sin
β=-
.所以sin(α+β)
=
×
+
×
=0.
答案:0
关键能力·合作学习
类型一 给角求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.cos
70°sin
50°-cos
200°sin
40°的值为
( )
A.-
B.-
C.
D.
2.
的值是
( )
3.若θ是第二象限角且sin
θ=
,则cos(θ+60°)=________.?
【解析】1.选D.cos
70°sin
50°-cos
200°sin
40°
=cos
70°sin
50°-(-sin
70°)cos
50°
=sin(50°+70°)=sin
120°=
.
2.选A.原式
3.因为θ是第二象限角且sin
θ=
,
所以cos
θ=
所以cos(θ+60°)=
cos
θ-
sin
θ
答案:-
【解题策略】
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)解决三角函数的给角求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.
【补偿训练】
1.
=
( )
【解析】选C.
2.(tan
10°-
)
=________.?
【解析】原式=(tan
10°-tan
60°)
答案:-2
类型二 给值求值(角)问题(数学运算)
【典例】设α∈
,若cos
α=-
,sin
β=-
,求sin(α+β)
的值.
【思路导引】应用公式?注意角的范围?所求角的正弦值.
【解析】因为α∈
,cos
α=-
,所以sin
α=
,
因为β∈
,sin
β=-
,所以cos
β=
.
所以sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β
=
×
+
×
=
.
【变式探究】
1.(变结论)若条件不变,试求sin(α-β)+cos(α-β)的值.
【解析】sin(α-β)+cos(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β+
cos
αcos
β+sin
αsin
β=
2.(变条件)若将角β的条件改为β
为第三象限角,其他条件不变,则结果如何?
【解析】因为α∈
,cos
α=-
,所以sin
α=
.
因为β为第三象限角,sin
β=-
,所以cos
β=-
.
所以sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β=
×
+
×
=-
+
=0.
【解题策略】
解决给值求值问题的解题策略
1.当“已知角”有两个或多个时,“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.
2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
3.角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.
提醒:解题时要重视角的范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.
【跟踪训练】
1.已知
(α为锐角),则sin
α=
( )
【解析】选D.因为α∈
,cos
=
>0,
所以α+
∈
.
所以sin
=
所以sin
α=sin
=sin
cos
-cos
sin
2.已知sin
α=
,cos
β=-
,且α为第一象限角,β为第二象限角,求
sin(α+β)的值.
【解析】因为α为第一象限角,β为第二象限角,sin
α=
,cos
β=-
,所以
cos
α=
,sin
β=
,
所以sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β
=
×
+
×
=
.
类型三 辅助角公式的应用(数学运算)
【典例】1.cos
α-
sin
α化简的结果可以是
( )
A.
cos
B.2cos
C.
cos
D.2cos
2.若函数f(x)=5cos
x+12sin
x在x=θ时取得最小值,则cos
θ等于
( )
A.
B.-
C.
D.-
【思路导引】利用辅助角公式进行变形.
【解析】1.选B.cos
α-
sin
α=2
=
2.选B.f(x)=5cos
x+12sin
x
=13
=13sin(x+α),
其中sin
α=
,cos
α=
,
由题意知θ+α=2kπ-
(k∈Z)
得θ=2kπ-
-α(k∈Z),
所以cos
θ=cos
=-sin
α=-
.
【解题策略】
把形如y=asin
x+bcos
x的式子化为y=
sin(x+φ),可进一步研究函数
的周期性、单调性、最值与对称性.
【跟踪训练】
1.函数f(x)=sin
x-cos
x,x∈
的最小值为
( )
A.-2
B.-
C.-
D.-1
【解析】选D.f(x)=
sin
,因为0≤x≤
,
所以-
≤x-
≤
,-
≤sin
≤
,
所以f(x)的最小值为-1.
2.已知sin
则cos
x+cos
的值为
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.cos
x+cos
=cos
x+
cos
x+
sin
x=
cos
x+
sin
x
=
sin
=
.
【补偿训练】
1.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)=cos
x-sin
x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是
( )
【解析】选A.f(x)=cos
x-sin
x=
cos
在
上单调递减,所以
[-a,a]?
,故-a≥-
且a≤
,解得0
.
2.若f(x)=3sin
x-4cos
x的一条对称轴方程是x=a,则a的取值范围可以是
( )
【解析】选D.因为f(x)=3sin
x-4cos
x
=5sin(x-φ)
,
则sin(a-φ)=±1,所以a-φ=kπ+
,k∈Z,
即a=kπ+
+φ,k∈Z,而tan
φ=
且0<φ<
,
所以
<φ<
,所以kπ+
取k=0,此时a∈
.
1.若cos
α=-
,α是第三象限角,则sin
=
( )
【解析】选A.因为cos
α=-
,α为第三象限角,
所以sin
α=-
,由两角和的正弦公式得
sin
=sin
αcos
+cos
αsin
课堂检测·素养达标
2.函数f(x)=sin
x-cos
的值域为
( )
A.[-2,2]
B.
C.[-1,1]
D.
【解析】选B.f(x)=sin
x-cos
=sin
x-
cos
x+
sin
x=
sin
x
-
cos
x=
sin
,
所以函数f(x)的值域为
.
3.sin
155°cos
35°-cos
25°cos
235°=________.?
【解析】原式=sin
25°cos
35°+cos
25°sin
35°
=sin(25°+35°)=sin
60°=
.
答案:
4.sin(45°+A)-sin(45°-A)=________.?
【解析】sin(45°+A)-sin(45°-A)=2cos
45°sin
A
=
sin
A.
答案:
sin
A
5.已知sin
θ=
,θ∈
,求sin
.
【解析】因为θ∈
,sin
θ=
,所以cos
θ=-
,
所以sin
=sin
θcos
+cos
θsin
=
×
+
×
=
.(共38张PPT)
10.1.3 两角和与差的正切
必备知识·自主学习
导思
1.两角和与差的正切公式的形式是怎样的?
2.两角和与差的正切公式有哪些应用?
两角和与差的正切公式
(1)公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角
和的
正切
T(α+β)
tan(α+β)=
____________
(k∈Z)且tan
α·tan
β≠1
两角
差的
正切
T(α-β)
tan(α-β)=
___________________
___________________________
(k∈Z)且tan
α·tan
β≠-1
(2)本质:揭示了两角和与差的正切值与两角的正切值之间的关系.
(3)应用:①求值;②化简.
【思考】
(1)由同角三角函数的商数关系知tan(α+β)=
由此能否推导出两角和的正切公式?若能,写出推导过程.
提示:能.
tan(α+β)=
分子分母同除以cos
αcos
β,可得tan(α+β)=
(2)两角和与差的正切公式中为什么限制α,β,α+β,α-β都不等于
kπ+
(k∈Z)?
提示:这是由正切函数的定义域决定的.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan
α+tan
β成立.
( )
(2)对任意α,β∈R,tan(α+β)=
都成立.
( )
(3)tan(α+β)=
等价于tan
α+tan
β=tan(α+β)·
(1-tan
αtan
β).
( )
提示:(1)√.当α=0,β=
时,tan(α+β)=tan
=tan
0+tan
,
但一般情况下不成立.
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α,β,α+β≠kπ+
(k∈Z)
且tan
α·tan
β≠1.
(3)√.当α≠kπ+
(k∈Z),β≠kπ+
(k∈Z),α+β≠kπ+
(k∈Z)
时,由前一个式子两边同乘以1-tan
αtan
β可得后一个式子.
2.tan
255°=
( )
A.-2-
B.-2+
C.2-
D.2+
【解析】选D.tan
255°=tan(180°+75°)=tan
75°=tan(45°+30°)
3.(教材二次开发:练习改编)若cos
θ=-
,且θ为第三象限角,则tan
的值等于
( )
A.
B.-
C.-7
D.7
【解析】选D.cos
θ=-
,且θ为第三象限角,则sin
θ=
所以tan
θ=
关键能力·合作学习
类型一 给角求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.计算:
=________.?
2.tan
10°+tan
50°+
tan
10°tan
50°=________.?
【解析】1.原式=
=
tan(45°+15°)=
tan
60°=1.
答案:1
2.因为tan
60°=tan(10°+50°)=
所以tan
10°+tan
50°=tan
60°(1-tan
10°tan
50°)
=
-
tan
10°tan
50°,
所以原式=
-
tan
10°tan
50°+
tan
10°tan
50°=
.
答案:
【解题策略】公式T(α+β),T(α-β)
应用的解题策略
(1)公式T(α+β),T(α-β)有tan
α·tan
β,tan
α+tan
β(或tan
α-
tan
β),tan(α+β)(或tan(α-β)),三者知二可求出第三个.
(2)化简过程中注意“1”与“tan
”,“
”与“tan
”
等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.
【补偿训练】
tan
72°-tan
42°-
tan
72°tan
42°=________.?
【解析】原式=tan(72°-42°)(1+tan
72°·tan
42°)-
tan
72°tan
42°
=tan
30°(1+tan
72°tan
42°)-tan
30°tan
72°tan
42°=tan
30°=
.
答案:
类型二 给值求角问题(数学运算)
【典例】(2020·洛阳高一检测)已知tan
=2,tan(α-β)=
,
α∈
,β∈
.
(1)求tan
α的值;
(2)求2α-β的值.
【解题策略】给值求角问题的步骤及选取函数的原则
(1)给值求角问题的步骤.
①求所求角的某个三角函数值.
②确定所求角的范围(范围过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解),
根据范围找出角.
(2)选取函数的原则.
①已知正切函数值,选正切函数.
②已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是
,选正弦或余弦函
数均可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是
,选正弦较好.
【跟踪训练】
已知tan
α=
,sin
β=
,且α,β为锐角,求α+2β的值.
【解析】因为tan
α=
<1且α为锐角,
所以0<α<
.
又因为sin
β=
且β为锐角.
所以0<β<
,
所以0<α+2β<
.①
由sin
β=
,β为锐角,得cos
β=
,
所以tan
β=
.
所以tan(α+β)=
所以tan(α+2β)=
由①②可得α+2β=
.
【补偿训练】已知α,β,γ都是锐角,且tan
α=
,
tan
β=
,tan
γ=
,则α+β+γ=________.?
【解析】因为tan(α+β)=
tan(α+β+γ)=
因为tan
α=
,且α为锐角,
所以0<α<
,同理0<β<
,0<γ<
,
所以0<α+β+γ<
,所以α+β+γ=
.
答案:
类型三 给值求值问题(数学运算)
角度1 式子变换?
【典例】已知sin
α=
,α∈
,tan(π-β)=
,
则tan(α-β)的值为
( )
【思路导引】由条件得出tan
α与tan
β的值,代入两角差的正切公式可求值.
【解析】选A.因为α∈
,sin
α=
,
所以cos
α=-
,
tan
α=-
,又tan
β=-
,
所以tan(α-β)=
【变式探究】本例条件不变,求tan(α+β)的值.
【解析】因为α∈
,sin
α=
,所以cos
α=-
,
tan
α=-
,又tan
β=-
,
所以tan(α+β)=
角度2 拆角变换?
【典例】已知tan
α=
,tan(α-β)=-
,那么tan(β-2α)的值为( )
【思路导引】tan(β-2α)=-tan(2α-β)=-tan[α＋（α－β]
【解析】选B.tan(β-2α)=-tan(2α-β)
【解题策略】给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换:分析已知式子的结构特点,结合两角和与差的三角函数公式,通过变形,建立与待求式子间的联系以实现求值.
(2)角的变换:首先从已知角间的关系入手,分析已知角与待求角间的关系,如用α=β-(β-α)、2α=(α+β)+(α-β)等关系,把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系,从而求值.
【题组训练】
1.(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan
θ-tan
=7,则tan
θ=
( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解析】选D.由题意可知2tan
θ-
=7,
化简得:2tan
θ-2tan2θ-1-tan
θ=7-7tan
θ,
解得tan
θ=2.
2.已知α,β为锐角,cos
α=
,tan(α-β)=-
,则tan
β的值为
________.?
【解析】因为α为锐角,cos
α=
,所以tan
α=
.
所以tanβ=tan[α-(α-β)]=
答案:
1.设角θ的终边过点(2,3),则tan
=
( )
A.
B.-
C.5
D.-5
【解析】选A.由于角θ的终边过点(2,3),因此tan
θ=
,
故tan
课堂检测·素养达标
2.tan
10°tan
20°+
(tan
10°+tan
20°)等于
( )
A.
B.1 C.
D.
【解析】选B.原式=tan
10°tan
20°+
tan
30°(1-tan
10°tan
20°)
=tan
10°tan
20°+1-tan
10°tan
20°=1.
3.在△ABC中,C=120°,tan
A+tan
B=
,则tan
Atan
B的值为
( )
【解析】选B.因为C=120°,所以A+B=60°,
所以tan
(A+B)=
因为tan
A+tan
B=
,
所以tan
A+tan
B=
(1-tan
A·tan
B)=
,
解得tan
A·tan
B=
.
4.计算
=________.?
【解析】因为
=tan
45°=1.
答案:1
5.已知tan(α+β)=
,tan
,求tan
的值.
【解析】因为α+
=(α+β)-
所以tan
=tan(共51张PPT)
10.2 二倍角的三角函数
必备知识·自主学习
导思
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式的形式是怎样的?它们是怎样推导出来的?
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式有哪些应用?
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式:
(2)本质:两角和的正弦、余弦、正切公式,当两角相等时的特殊形式.
(3)应用:①化简;②求值;③证明.
【思考】
(1)所谓的“二倍角”公式,一定是角α与2α之间的转化关系吗?为什么?
提示:不一定.对于“二倍角”应该广义的理解,如:8α是4α的二倍角,3α是
α的二倍角,α是
的二倍角,
是
的二倍角,…,这里蕴含着换元
思想.这就是说“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间关系的.
(2)公式中的角α是任意角吗?
提示:对于公式S2α、C2α中的角α是任意角,但是T2α中的角α要保证
tan
2α,tan
α有意义且分母1-tan2α≠0.
2.倍角公式的变换
(1)因式分解变换
cos
2α=cos2α-sin2α=(cos
α+sin
α)(cos
α-sin
α).
(2)配方变换
1±sin
2α=sin2α+cos2α±2sin
αcos
α=(sin
α±cos
α)2.
(3)升幂缩角变换
1+cos
2α=2cos2α,1-cos
2α=2sin2α.
(4)降幂扩角变换
cos2α=
(1+cos
2α),sin2α=
(1-cos
2α),
sinαcos
α=
sin
2α.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)倍角的正切公式的适用范围不是任意角.
( )
(2)对于任意的角α,都有sin
2α=2sin
α成立.
( )
(3)存在角α,使cos
2α=2cos
α成立.
( )
(4)cos
3αsin
3α=
sin
6α对任意的角α都成立.
( )
提示:(1)√.倍角的正切公式,要求α≠
+kπ(k∈Z)且α≠±
+kπ(k∈Z),
故此说法正确.
(2)×.当α=
时,sin
2α=sin
=
,而2sin
α=2×
=1.
(3)√.由cos
2α=2cos
α=2cos2α-1,得cos
α=
时,cos
2α=2cos
α
成立.
(4)√.由倍角的正弦公式可得.
2.sin
15°sin
75°的值为
( )
【解析】选B.原式=sin
15°cos
15°=
sin
30°=
.
3.(教材二次开发:例题改编)已知cos
α=-
,α∈
,
则sin
2α=________,cos
2α=________,tan
2α=________.?
【解析】因为cos
α=-
,α∈
,所以sin
α=-
,
所以sin
2α=2sin
αcos
α=
,cos
2α=2cos2α-1=
,
tan
2α=
答案:
关键能力·合作学习
类型一 给角求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.
=
( )
A.
B.
C.1
D.-1
2.
=
( )
A.1
B.2
C.
D.-1
3.
-cos2
=________.?
【解析】1.选A.原式=
2.选B.
3.原式=
答案:-
【解题策略】利用二倍角公式解决给角求值问题的策略
(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用二倍角公式.
(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公式的形式.
【补偿训练】求下列各式的值:
(1)
(2)1-2sin2750°;
(3)
【解析】(1)原式=
(2)原式=cos(2×750°)=cos
1
500°
=cos(4×360°+60°)
=cos
60°=
.
(3)原式=tan(2×150°)=tan
300°
=tan(360°-60°)=-tan
60°=-
.
类型二 条件求值问题(数学运算)
【典例】已知
求cos
的值.
【解题策略】解决条件求值问题的方法
(1)将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
(2)寻找角之间的关系,特别是已知角与要求的角之间的二倍关系,如果二倍关系中含有已知角和某些特殊角,则利用诱导公式转化后整体代入.
【跟踪训练】
已知tan
α+
=
,α∈
,求cos
2α和sin
的值.
【解析】由tan
α+
则
,即sin
2α=
.
因为α∈
,所以2α∈
,
所以cos
2α=
sin
=sin
2α·cos
+cos
2α·sin
=
【补偿训练】已知α∈
,且sin
2α=sin
求α.
【解析】因为sin
2α=-cos
所以原式可化为1-2cos2
解得cos
=1或cos
=-
.
因为α∈
,
所以α+
∈
,
故α+
=0或α+
=
,
即α=-
或α=
.
类型三 化简、证明问题(数学运算、逻辑推理)
角度1 化简问题?
【典例】化简:(1)
【思路导引】结合题目特点,利用二倍角的正弦、余弦公式化简.
【解析】(1)原式=
(2)原式=
=|sin
10°+cos
10°|+|sin
10°-cos
10°|
=sin
10°+cos
10°+cos
10°-sin
10°=2cos
10°.
【变式探究】
本例(2)若改为:
,试化简.
【解析】原式=
角度2 证明问题?
【典例】证明
【思路导引】利用二倍角公式化简左边式子求解.
【解析】
【解题策略】
1.化简三角函数式的常用方法
(1)切化弦;(2)异名化同名;(3)异角化同角;(4)高次降低次.
2.化简三角函数式的常用技巧
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化;
(2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分;
(3)对于二次根式,注意倍角公式的逆用;
(4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等.
3.证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
【题组训练】
1.cos4
-sin4
的化简结果为
( )
A.cos
B.cos
α
C.cos
2α
D.cos
4α
【解析】选B.cos4
-sin4
=
=cos
α.
2.求证:cos2θ(1-tan2θ)=cos
2θ.
【证明】方法一:左边=cos2θ
=cos2θ-sin2θ=cos
2θ=右边,得证.
方法二:右边=cos
2θ=cos2θ-sin2θ
=cos2θ
=cos2θ(1-tan2θ)=左边,得证.
3.化简:
,其中θ∈(0,π).
【解析】原式=
①当θ∈
时,
∈
,cos
≥sin
,
此时原式=sin
+cos
-cos
+sin
=2sin
.
②当θ∈
时,
∈
,cos
,
此时原式=sin
+cos
-sin
+cos
=2cos
.
类型四 倍角公式与三角函数性质的综合(逻辑推理、数学运算)
【典例】求函数f(x)=5
cos2x+
sin2x-4sin
xcos
x,x∈
的最小值,
并求其单调减区间.
【思路导引】化简f(x)的解析式
→f(x)=Asin(ωx+φ)+B
→ωx+φ的范围→求最小值,单调减区间
【解析】f(x)=5
·
+
·
-2sin
2x
=3
+2
cos2x-2sin2x
=3
+4
=3
+4
=3
+4sin
=3
-4sin
,
因为
所以
所以sin
所以当2x-
即x=
时,f(x)取最小值为
因为y=sin
在
上单调递增,
所以f(x)在
上单调递减.
【解题策略】倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin
ωx+bcos
ωx+k
的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)
的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.
【跟踪训练】
求函数y=sin4x+2
sin
xcos
x-cos4
x的最小正周期和最小值,并写出该函数在[0,π]上的单调递减区间.
【解析】
y=sin4x+2
sin
xcos
x-cos4x
=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+2
sin
xcos
x
=-cos
2x+
sin
2x
所以T=
=π,ymin=-2.
由2kπ+
≤2x-
≤2kπ+
,k∈Z,
得kπ+
≤x≤kπ+
,k∈Z,又x∈[0,π],
所以令k=0,得函数的单调递减区间为
1.已知sin
x=
,则cos
2x的值为
( )
【解析】选A.因为sin
x=
,
所以cos
2x=1-2sin2
x=1-2×
课堂检测·素养达标
2.计算1-2sin222.5°的结果为
( )
【解析】选B.1-2sin222.5°=cos
45°=
.
【补偿训练】
sin
105°cos
105°的值为
( )
【解析】选B.sin105°cos
105°=
sin210°=
sin(180°+30°)
=-
sin30°=-
.
3.已知cos
α=
,则cos
2α等于________.?
【解析】由cos
α=
得cos2α=2cos2α-1=2×
答案:-
4.函数f(x)=sin
-2
·sin2x的最小正周期是________.?
【解析】f(x)=sin
-2
sin2x
=
sin
2x-
cos
2x-2
×
=
sin
2x+
cos
2x-
=sin
-
,
故最小正周期为π.
答案:π
5.求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos
2Acos
2B.
【证明】左边=
=
(cos
2Acos
2B-sin
2Asin
2B+cos
2Acos
2B+sin
2Asin
2B)
=cos
2Acos
2B=右边,所以等式成立.(共48张PPT)
10.3 几个三角恒等式
必备知识·自主学习
1.半角公式
(1)公式:
导思
1.半角的正弦、余弦、正切公式是什么?
2.半角公式的符号是由哪些因素决定的?
(2)本质:
①半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的.
②半角公式给出了求
的正弦、余弦、正切的另一种方式,即只需知道cos
α
的值及相应α的条件,便可求出sin
,cos
,tan
.
(3)应用:①求值;②化简;③证明.
【思考】
(1)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?
提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号;②若
给出α的具体范围(即某一区间)时,则先求
所在范围,然后根据
所在范围选
用符号.
(2)半角公式对α∈R都成立吗?为什么?
提示:公式
对α∈R都成立,但公式
要求α≠(2k+1)π(k∈Z).
2.积化和差、和差化积公式
(1)积化和差公式
cos
αcos
β=______________________________________;
sin
αsin
β=___________________________;
sin
αcos
β=___________________________;
cos
αsin
β=
__________________________.
(2)和差化积公式
sin
x+sin
y=
______________________;
sin
x-sin
y=
______________________;
cos
x+cos
y=
______________________;
cos
x-cos
y=
______________________.
【思考】
(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?
提示:两角和与差的正弦、余弦公式.
(2)和差化积公式是如何推导出来的?
提示:如果令x=α+β,y=α-β
,则α=
,β=
,从而可以由积化和差公
式得到和差化积公式.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)
( )
(2)存在α∈R,使得cos
cos
α.
( )
(3)对于任意α∈R,sin
sin
α都不成立.
( )
(4)若α是第一象限角,则tan
.
( )
(5)sin
xsin
y=
[cos(x-y)-cos(x+y)].
( )
提示:(1)×.只有当
(k∈Z),即-π+4kπ≤α≤π+4kπ
(k∈Z)时,
(2)√.当
时,上式成立,但一般情况下不成立.
(3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.
(4)√.若α是第一象限角,则
是第一、三象限角,此时tan
成立.
(5)√.积化和差公式.
2.(教材二次开发:例题改编)若cos
α=
,α∈(0,π),则cos
的值为
( )
【解析】选C.由题意知
∈
,所以cos
>0,
3.sin
20°·cos70°+sin10°·sin50°的值为
( )
【解析】选B.sin20°·cos70°+sin10°·sin50°
=
+
[cos(10°-50°)-cos(10°+50°)]=
(sin90°-sin50°)+
(cos40°-cos60°)=
-
sin
50°+
cos
40°
=
-
sin
50°+
sin
50°=
.
4.设α∈(π,2π),则
等于________.?
【解析】
因为α∈(π,2π),所以
所以sin
>0,故原式=sin
.
答案:sin
关键能力·合作学习
类型一 求值问题(数学运算)
【题组训练】
1.设5π<θ<6π,cos
=a,那么sin
等于
( )
2.已知α∈
,cos
α=
,则tan
=
( )
A.3
B.-3
C.
D.-
3.已知tan
α=
,且α为第一象限角,则sin
的值为
( )
A.-
B.
C.±
D.±
【解析】1.选D.若5π<θ<6π,则
2.选D.因为α∈
,且cos
α=
,所以
,
3.选C.因为tan
α=
,所以
.又sin2α+cos2α=1,所以
因为α为第一象限角,所以
为第一、三象限角,且
所以
【解题策略】
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用
其优点是计
算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先
利用
计算.
(4)下结论:结合(2)求值.
【补偿训练】
已知
,450°<α<540°,求sin
α及tan
的值.
【解析】
所以sin
α=
,所以
所以
解得tan
=2或
因为450°<α<540°,所以225°<
<270°,所以tan
>1,所以tan
=2.
综上可知sin
α=
,tan
=2.
类型二 三角函数式的化简(数学运算)
【典例】化简:
(180°<α<360°).
【思路导引】利用二倍角公式及半角公式解决,注意角度的范围.
【解析】原式=
又因为180°<α<360°,所以90°<
<180°,
所以cos
<0,所以原式=
=cos
α.
【解题策略】
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
【跟踪训练】
1.化简:
π<α<
.
【解析】原式
因为π<α<
,
所以
所以
所以原式
2.已知
<θ<2π,试化简:
【解析】因为
<θ<2π,所以
所以
从而sin
+cos
<0,sin
-cos
>0.
所以原式=
【补偿训练】
若α∈
,则
等于
( )
A.cos
α-sin
α
B.cos
α+sin
α
C.-cos
α+sin
α
D.-cos
α-sin
α
【解析】选B.因为α∈
,所以sin
α<0,cos
α>0,则
=|cos
α|-|sin
α|=cos
α-(-sin
α)=cos
α+sin
α.
类型三 恒等式的证明(逻辑推理)
角度1 绝对恒等式的证明?
【典例】求证:
【思路导引】左边切化弦,通分,变形,直至与右边相等.
【证明】因为左边=
=cos
αsin
cos
=
sin
αcos
α=
sin
2α=右边.
所以原式成立.
【变式探究】
若本例变为:求证:
=tan
x,试证明.
【证明】因为左边=
=sin
x·
=tan
x=右边,
所以原式成立.
角度2 条件恒等式的证明?
【典例】已知0<α<
,0<β<
,且3sin
β=sin(2α+β),4tan
=1-tan2
.
求证:α+β=
.
【思路导引】结合已知条件,求α+β的某个三角函数值,进而求出角的大小.
【证明】因为3sin
β=sin(2α+β),
即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),
所以3sin(α+β)cos
α-3cos(α+β)sin
α
=sin(α+β)cos
α+cos(α+β)sin
α,
所以2sin(α+β)cos
α=4cos(α+β)sin
α,所以tan(α+β)=2tan
α.又因
为4tan
=1-tan2
,
所以tan
α=
,所以tan(α+β)=2tan
α=1.
因为α+β∈
,所以α+β=
.
【解题策略】
(1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简、左右归一.
(2)三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.
①证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.
②条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.
【题组训练】
1.求证:2sin4x+
sin22x+5cos4x-
(cos
4x+cos
2x)=2(1+cos2x).
【证明】左边=
=2(1+cos2x)=右边.
所以原等式成立.
2.已知sin
β=msin(2α+β)(m≠1),
求证:tan(α+β)=
tan
α.
【证明】由β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α得
即sin(α+β)cos
α-cos(α+β)sin
α
即(1-m)sin(α+β)cos
α=(1+m)cos(α+β)sin
α.
两边同除以(1-m)cos(α+β)cos
α,
得tan(α+β)=
tan
α(m≠1),即原等式成立.
类型四 积化和差、和差化积公式的应用(逻辑推理)
【典例】已知cos
α-cos
β=
,sin
α-sin
β=-
,求sin(α+β)的值.
【思路导引】利用和差化积公式,对所求式子进行变形,利用所给条件求解.
【解析】因为cos
α-cos
β=
,
所以
①
又因为sin
α-sin
β=-
,
所以
②
因为sin
≠0,所以由①②,得-tan
=-
,即tan
=
.
所以sin(α+β)=
【解题策略】
1.积化和差公式的功能与关键
(1)功能:①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).
②将角度化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究其性质.
(2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
2.和差化积公式应用时的注意事项
(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.
(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:
①运用公式之后,能否出现特殊角;
②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.
【跟踪训练】
求sin220°+cos250°+sin
20°cos
50°的值.
【解析】原式=
(sin
70°-sin
30°)
=1+
(cos
100°-cos
40°)+
sin
70°-
=
(-2sin
70°sin
30°)+
sin
70°
=
sin
70°+
sin
70°=
.
1.已知cos
α=
,α∈
,则sin
等于
( )
【解析】选A.由题知
,所以sin
>0,sin
=
课堂检测·素养达标
2.已知sin
α-cos
α=-
,则sin
2α的值为
( )
【解析】选C.因为sin
α-cos
α=-
,(sin
α-cos
α)2=1-2sin
α·
cos
α=1-sin
2α=
,所以sin
2α=-
.
3.
的值为
( )
【解析】选C.原式=
4.函数y=
sin
2x+cos2x的最小正周期为________.?
【解析】因为y=
sin
2x+cos2x=
sin
2x+
cos
2x+
=
所以函数的最小正周期T=
=π.
答案:π
5.求证:
【证明】原式可变形为
1+sin
4θ-cos
4θ=tan
2θ(1+sin
4θ+cos
4θ),①,
①式右边=
(1+2cos22θ-1+2sin
2θcos
2θ)
=
(2cos22θ+2sin
2θcos
2θ)=2sin
2θ(cos
2θ+sin
2θ)=
2sin
2θcos
2θ+2sin22θ=sin
4θ+1-cos
4θ=左边.所以①式成立,
即原式得证.