人教版数学九年级下册-27.2.2相似三角形的性质-课件（共23张ppt）

九年级数学(下) 第二十七章 相似

27.2.2相似三角形的性质
1
理解并初步掌握相似三角形周长
的比等于相似比，面积的比等于
相似比的平方；
能用三角形的性质解决简单的
问题．
2
3
学习目标
理解：相似三角形的对应线段
的比都等于相似比；
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.
（2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等；
②两边对应成比例，且夹角相等；
③三边对应成比例.
回顾与复习
A
B
C
A/
B/
C/
①相似三角形的对应角_________
②相似三角形的对应边__________
想一想: 它们还有哪些性质呢?
（3）相似三角形有何性质？
（4）什么是相似三角形的相似比？
相似比=对应边的比=
相等
成比例
一个三角形有三条重要线段：____ _____ _________
如果两个三角形相似，
那么这些对应线段有什么关系呢？
情境引入
高、中线、角平分线
F
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和C’D’分别是它们的立柱。
探究活动：
探究相似三角形对应高的比.
(1)试写出△ABC与△A’B’C’的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
(2)△ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
探究活动：
探究相似三角形对应高的比.
(3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
(4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？
探究活动：
探究相似三角形对应高的比.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比.
如图，∵△ABC∽△DEF，
∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.
又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线,
∴∠BAM=∠EDN,
∴△AMB∽△DNE
(两角对应相等的两个三角形相似),
已知△ABC ∽ △DEF， △ABC 与△DEF的相似比为K，AM、DN分别为三角形的角平分线，它们的对应角平分线的比是多少？
(相似三角形对应边成比例).
A
B
C
M
D
E
F
N
分组讨论，类似结论
结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
如图，∵△ABC∽△DEF，
∴∠B =∠E,
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比
A
B
C
M1
D
E
F
N1
又∵AM1,DN1分别是△ABC和△DEF的中线，
∴△AM1B∽△DN1E(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似).
且∠B =∠E，
已知△ABC ∽ △DEF， △ABC 与△DEF的相似比为K，AM1、DN1分别为三角形的中线，它们的对应中线的比是多少？
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为_________,对应角的角平分线的比为______.
2∶ 3
2 ∶ 3
2．两个相似三角形的相似比为1:4, 则对应高的比为_________,对应角的角平分线的比为_________.
1:4
1:4
3．两个相似三角形对应中线的比为 ，
则相似比为______,对应高的比为______ .
如图，AD是BC的高，点I,H在BC边上，点G在AC上，点F在AB上， BC=60cm,AD=40cm,四边形FGHI是正方形，
则
(1) △AFG与△ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形FGHI的边长。
（1）∵四边形FGHI是正方形
∴ FG∥BC
∴ △AFG∽△ABC.
典例分析
如图，AD是BC的高，点I,H在BC边上，点G在AC上，点F在AB上， BC=60cm,AD=40cm,四边形FGHI是正方形，
则(1) △AFG与△ABG相似吗？为什么？
（2）求正方形FGHI的边长。
（2）∵ △AFG∽△ABC.
∴
设正方形FGHI的边长为xcm,
则AE=(40-x)cm,
解得,x=24.
所以正方形FGHI的边长为24cm.
典例分析
? 探索活动
如图，△ABC∽△A'B'C' ，相似比为2.
(1)请你写出图中所有成比例的线段;
(2)△ABC与△A'B'C' 的周长比是多少？
面积比呢？
D
D'
C′
A′
B′
C
A
B
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，AC＝kA'C '
从而
A
B
C
A'
B'
C'
得到：
相似三角形周长的比等于相似比
如图，△ABC∽△ A'B'D' ，
相似比为k，两个三角形周长比是多少？
如图，△ABC∽△A'B'C' ，相似比为k，那么你能求△ABC与△A'B'C' 的面积之比吗？
C
A
B
D
C ′
A′
B′
D′
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
性质3：相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
C
A
B
D
C 1
A1
B1
D1
例题讲解 P38 例3
在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，
∠A＝∠D，若△ABC的边BC上的高为6，面积为 ，求△DEF的边EF上的高和面积．
解：在△ABC和△DEF中，
∵ AB＝2DE，AC＝2DF
∴
又 ∠D＝∠A
∴ △DEF∽△ABC，相似比为
A
B
C
D
E
F
∵△ABC的边BC上的高为6，面积为
∴△DEF的边EF上的高为 ，
面积为
巩固练习
1.把一个三角形变成和它相似的三角形，
(1)如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的___倍。
(2)如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的________倍。
2.两个相似三角形的一对对应边分别是35cm和14 cm，
(1)它们的周长差60cm，这两个三角形的周长分别是
。
(2)它们的面积之和是58cm2，这两个三角形的面积分别是_
_______ _。
25
10
100cm和40cm
50cm2和8cm2
巩固练习
3.已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，若△AOD的面积为4cm2, △BOC的面积为9cm2, 则梯形ABCD的面积为_________cm2
A
B
C
D
O
解:
∴△AOD∽△COB S△AOD:S△COB=4:9
∴OD:OB=2:3
∴S△AOD:S△AOB=2:3 S△COD:S△COB=2:3
∴S△AOB=6cm2 S△COD=6cm2

∴梯形ＡＢＣＤ的面积为25cm2
25
对应角相等
对应边成比例
对应高
对应中线
对应角平分线
周长
面积比等于相似比的平方
相似三角形的性质
的比等于相似比
作业：
1. 课本P39 2 P42 6、7。
2.课堂精练对应练习。