第二章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．不共面的四点可以确定平面的个数为( C )
A．2
B．3
C．4
D．无法确定
解析：不共面的四个点中，任三点都是不共线的，故任意三点都可以确定一个平面，共可以确定4个平面．
2．下面列举的图形一定是平面图形的是( D )
A．有一个角是直角的四边形
B．有两个角是直角的四边形
C．有三个角是直角的四边形
D．有四个角是直角的四边形
解析：对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形．从而得出A、B、C都不正确；根据排除法，可知选项D正确．
3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( B )
A．平行
B．平行或异面
C．平行或相交
D．异面或相交
解析：由直线与平面平行的判定定理，可知CD∥α，所以CD与平面α内的直线没有公共点．
4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( B )
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
C．m⊥α，n?β，m⊥n，则α⊥β
D．m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
解析：A中，α∥β，m∥α，n∥β，则m与n平行、异面、相交皆有可能，故A错误．B中，m⊥α，α⊥β，则m?β或m∥β，又n⊥β，所以m⊥n，故B正确．C中，m⊥α，n?β，m⊥n，则m与β可能垂直，当m⊥β时有α∥β，所以C错误．D中，由面面平行的判定定理，必须要m与n相交，才能得到α∥β，则D错误．
5.
如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( D )
A．点A
B．点B
C．点C但不通过点M
D．点C和点M
解析：通过A，B，C三点的平面γ，即通过直线AB与点C的平面，因为M∈AB，∴M∈γ，而C∈γ，又M∈β，C∈β，∴γ和β的交线必通过点C和点M.
6.
如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：过点F作FH∥DC，交BC于H，过点A作AG⊥EF，交EF于G，连接GH，AH，则∠AFH为异面直线AF与BE所成的角．设正方形ABCD的边长为2，在△AGH中，AH＝＝，在△AFH中，AF＝1，FH＝2，AH＝，∴cos∠AFH＝.
7．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，a在α，β内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是( D )
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上均有可能
解析：当a∥α，a∥β时，有a∥b，a∥c，则b∥c；当a∩α＝A，a∩β＝B，且AB与l不垂直时，b与c异面；当a∩l＝O时，b与c相交于O.∴b和c的位置关系是相交、平行或异面．
8．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：如图，取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，AE⊥DE，由线面垂直的判定定理，知AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE即为所求的角．设三棱柱的棱长为1，易知AE＝，DE＝，则tan∠ADE＝，故∠ADE＝60°.
9.
已知三棱锥S?ABC的三视图如图所示，则在原三棱锥中下列命题正确的是( A )
①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.
A．①
B．②
C．①③
D．①②
解析：由三视图可知，三棱锥S?ABC中侧棱SA垂直于底面ABC，底面ABC是一个直角三角形，且AC⊥BC，从而只有①是正确的．故选A.
10．如图，三棱柱A1B1C1?ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( C )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面A1B1BA
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
解析：AE与B1C1显然是异面直线，又B1C1∥BC，AE⊥BC，所以AE⊥B1C1，故选C.
11．平面α过正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：
因为平面α∥平面CB1D1，所以平面α与平面ABCD的交线m平行于平面CB1D1与平面ABCD的交线l.因为在正方体中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，所以l∥B1D1，所以m∥B1D1.同理，n平行于平面CB1D1与平面ABB1A1的交线．因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以平面CB1D1与平面ABB1A1的交线平行于平面CB1D1与平面CDD1C1的交线CD1，所以n∥CD1.故m，n所成的角即为B1D1，CD1所成的角，显然所成的角为60°，则其正弦值为.
12．在三棱锥S?ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为( C )
A．9
B.
C.
D．27
解析：如图，设外接球的球心为O.∵在三棱锥S?ABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，三棱锥的外接球的体积为36π，∴三棱锥的外接球的半径R＝OS＝3.
过A作AE⊥BC，交BC于E，过球心O作OD⊥平面ABC于D，则D∈AE，且D是△ABC的重心，
∴AD＝AE＝＝，∴OD＝＝.
O到SA的距离为AD＝，∴SA＝OD＋＝2，
∴该三棱锥的体积V＝×SA×S△ABC＝×2×＝.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为平行．
解析：易知BD∥B1D1，∴BD∥平面AB1D1.同理BC1∥平面AB1D1.又∵BD∩BC1＝B，BD?平面BDC1，BC1?平面BDC1，∴平面AB1D1∥平面BC1D.
14．P为△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC与平面ABC所成角均相等，又PA与BC垂直，那么△ABC的形状为等腰三角形．
解析：设点P在底面ABC上的射影为O.由PA，PB，PC与平面ABC所成角均相等，∴O点到△ABC三个顶点的距离相等，即O是△ABC的外心，∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥BC，又PA⊥BC，PO∩PA＝P，∴BC⊥平面PAO，∴OA⊥BC，∴AB＝AC，∴△ABC一定为等腰三角形．
15．已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则当满足条件的E点有两个时，a的取值范围是a>6.
解析：
如图所示，连接AE，∵PE⊥DE，DE⊥PA，PE∩PA＝P，∴DE⊥平面PAE，∴DE⊥AE，
∴在矩形ABCD中，∠AED＝90°.
若满足条件的E点有两个，则以AD为直径的圆与BC相交．
∴3<，得a>6.
16．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE(A′?平面ABC)是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：
①平面A′FG⊥平面ABC；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′?DEF的体积的最大值为a3；
④动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
⑤直线DF与直线A′E可能共面．
其中正确的命题是①②③④(写出所有正确命题的编号)．
解析：由已知可得四边形ADFE是菱形，则DE⊥GA′，DE⊥GF，所以DE⊥平面A′FG，所以平面A′FG⊥平面ABC，①正确；因为BC∥DE，所以BC∥平面A′DE，②正确；当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′?DEF的体积达到最大值，最大值为a3，故③正确；由①知动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故④正确；△ADE在旋转过程中，直线DF与直线A′E始终异面，故⑤错误．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17.
(10分)如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BE∥AF，BC∥AD，BC＝AD，BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．
(2)C，D，F，E四点是否共面？若共面，请证明；若不共面，请说明理由．
解：(1)证明：由已知G，H分别为FA，FD的中点，可得GH＝AD，GH∥AD，BC＝AD，BC∥AD，
∴GH＝BC，GH∥BC，∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)C，D，F，E共面．证明如下：
方法1：由BE＝AF，BE∥AF，G为FA中点知，BE＝FG，BE∥FG.
∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.
由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
方法2：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′.
∵BE＝AF，∴B为MA中点．
∵BC＝AD.∴B为M′A中点．
∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)．∴C，D，F，E四点共面．
18.
(12分)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
解：如图，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB，且EG＝AB，FG∥CD，且FG＝CD.
由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°.
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.
19．(12分)如图所示，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
解：(1)∵CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD.
又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形，则BC＝DO，而AD＝3BC，
∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．
(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.
又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，且AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB.
又PD?平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD.
20.
(12分)如图，在三棱锥V?ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V?ABC的体积．
解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.因为VB?平面MOC，所以VB∥平面MOC.
(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.
因为平面VAB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.
(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，所以AB＝2，OC＝1，所以S△VAB＝，
又因为OC⊥平面VAB，所以VC?VAB＝OC·S△VAB＝.因为三棱锥V?ABC的体积与三棱锥C?VAB的体积相等，
所以三棱锥V?ABC的
体积为.
21．(12分)如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥平面BDE，平面PAC⊥平面BDE；
(2)若二面角E?BD?C为30°，求四棱锥P?ABCD的体积．
解：(1)证明：连接OE，如图所示．∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥PA.
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE.∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.
∵BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.
(2)由(1)知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥OC，BD⊥OE，∴∠EOC为二面角E?BD?C的平面角，∴∠EOC＝30°.
在Rt△OPC中，OC＝a，∠ECO＝∠EOC＝30°，∴PO＝a×＝，
∴V四棱锥P?ABCD＝×a2×a＝a3.
22.
(12分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
解：(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，
因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.
又EF?平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.
(2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.
又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，
又AE?平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.
(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.
因为N和E分别为B1C和BC的中点，
所以NE∥B1B，NE＝B1B，故NE∥A1A且NE＝A1A，
所以四边形AA1NE为平行四边形．所以A1N∥AE，且A1N＝AE.
因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．
在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.
因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以四边形AA1MB为平行四边形．
所以A1M∥AB，A1M＝AB，由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝＝4.
在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝，因此∠A1B1N＝30°.
所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.第二章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．不共面的四点可以确定平面的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．无法确定
2．下面列举的图形一定是平面图形的是( )
A．有一个角是直角的四边形
B．有两个角是直角的四边形
C．有三个角是直角的四边形
D．有四个角是直角的四边形
3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行
B．平行或异面
C．平行或相交
D．异面或相交
4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
C．m⊥α，n?β，m⊥n，则α⊥β
D．m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
5.
如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A
B．点B
C．点C但不通过点M
D．点C和点M
6.
如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，a在α，β内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上均有可能
8．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
9.
已知三棱锥S?ABC的三视图如图所示，则在原三棱锥中下列命题正确的是( )
①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.
A．①
B．②
C．①③
D．①②
10．如图，三棱柱A1B1C1?ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面A1B1BA
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
11．平面α过正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
12．在三棱锥S?ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为( )
A．9
B.
C.
D．27
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系为(
)
14．P为△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC与平面ABC所成角均相等，又PA与BC垂直，那么△ABC的形状为(
)
15．已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则当满足条件的E点有两个时，a的取值范围是(
).
16．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE(A′?平面ABC)是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：
①平面A′FG⊥平面ABC；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′?DEF的体积的最大值为a3；
④动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
⑤直线DF与直线A′E可能共面．
其中正确的命题是(
)(写出所有正确命题的编号)．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17.
(10分)如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BE∥AF，BC∥AD，BC＝AD，BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．
(2)C，D，F，E四点是否共面？若共面，请证明；若不共面，请说明理由．
18.
(12分)如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
19．(12分)如图所示，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
20.
(12分)如图，在三棱锥V?ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V?ABC的体积．
21．(12分)如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥平面BDE，平面PAC⊥平面BDE；
(2)若二面角E?BD?C为30°，求四棱锥P?ABCD的体积．
22.
(12分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
