第四章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋8y－24＝0的位置关系是( C )
A．相交
B．相离
C．内切
D．外切
解析：圆x2＋y2＝4的圆心为A(0,0)，半径为r＝2，圆x2＋y2－6x＋8y－24＝0的圆心为B(3，－4)，半径为R＝7，因为|AB|＝5＝R－r＝7－2，故两圆内切．
2．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于( B )
A.
B．2
C．2
D．4
解析：由题意，得圆心为(－1,0)，半径r＝，弦心距d＝＝，所以所求的弦长为2＝2，选B.
3．以点A(1，－2)，B(3,4)为直径端点的圆的方程是( D )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝10
B．(x－2)2＋(y－1)2＝
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝
D．(x－2)2＋(y－1)2＝10
解析：圆心为，即(2,1)，r＝|AB|＝，故方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( D )
A．x－2y＋1＝0
B．2x－y－1＝0
C．x－y＋3＝0
D．x－y－3＝0
解析：两圆关于直线l对称，则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线．圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0的圆心为P(3，－3)，则线段OP的中点为M，其斜率kOP＝－1，则直线l的斜率为k＝1，故直线l的方程为y－＝x－，即x－y－3＝0.
5．已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是( A )
A．点P在圆内
B．点P在圆上
C．点P在圆外
D．无法确定
解析：因为a，b是方程x2－x－＝0的两个不等实数根，所以所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，由此可知，点P(a，b)在圆内．故选A.
6．已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，直线l：3x－4y＋m＝0，圆上存在两点到直线l的距离为1，则m的取值范围是( C )
A．(－17，－7)
B．(3,13)
C．(－17，－7)∪(3,13)
D．[－17，－7]∪[3,13]
解析：当圆心到直线的距离d满足r－17．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( A )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：依题意，直线l与圆C相切，则＝，解得k＝±1.又k<0，所以k＝－1，于是直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝＝<，所以直线l与圆D相交，故选A.
8．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( A )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任意一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得又因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.
9．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是( A )
A．[－1,1]
B.
C．[－，]
D.
解析：当点M的坐标为(1,1)时，圆上存在点N(1,0)，使得∠OMN＝45°，所以x0＝1符合题意，故排除B，D；当点M的坐标为(，1)时，|OM|＝，过点M作圆O的一条切线MN′，连接ON′，则在Rt△OMN′中，sin∠OMN′＝<，则∠OMN′<45°，故此时在圆O上不存在点N，使得∠OMN＝45°，即x0＝不符合题意，排除C，故选A.
10．在平面直角坐标系中，圆M的方程为x2＋(y－4)2＝4，若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则m的取值范围是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依题意，圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2.若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则在直线l上至少存在一点P，使得|MP|≤2＋2成立，又点M到直线l的距离为，则≤4，解得m≤，故选D.
11．从点A(－2,1)发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆M：x2＋y2－4x－6y＋9＝0相切，则所有反射光线所在直线的斜率之和为( B )
A.
B.
C．2
D．4
解析：圆M：x2＋y2－4x－6y＋9＝0可化为(x－2)2＋(y－3)2＝4，圆心为M(2,3)，半径r＝2.又点A(－2,1)关于x轴的对称点为A′(－2，－1)，则可设反射光线所在的直线方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.由反射光线正好与圆M相切，得＝2，即3k2－8k＋3＝0，由根与系数的关系，得该方程的两根之和为，即所有反射光线所在直线的斜率之和为，故选B.
12．如图，已知直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上的一动点，连接PA，PB，则△PAB的面积的最大值是( C )
A．8
B．12
C.
D.
解析：易得A(4,0)，B(0，－3)，即|OA|＝4，|OB|＝3，所以|AB|＝5.根据题意分析，可知要使△PAB的面积最大，则需使点P到直线AB的距离最远，所以点P在过点C的AB的垂线上．因为直线AB的方程可化为3x－4y－12＝0，所以点C到直线AB的距离为＝，所以点P到直线AB的距离为1＋＝，所以△PAB的面积的最大值为×5×＝，故选C.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
解析：因为点(1,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
14．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为4π.
解析：圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以2＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.
15．点M(4，－3,5)到x轴的距离为m，到xOy坐标平面的距离为n，则m2＋n＝39.
解析：由题意，得m2＝(－3)2＋52＝34，n＝5，所以m2＋n＝39.
16．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|＝4.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3,0)，D(x4,0)，由x－y＋6＝0，得x＝y－6，代入圆的方程，并整理，得y2－3y＋6＝0，解得y1＝2，y2＝，所以x1＝0，x2＝－3，所以直线AC的方程为y－2＝－x，令y＝0得x3＝2，直线BD的方程为y－＝－(x＋3)，令y＝0得x4＝－2，则|CD|＝|x3－x4|＝4.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)，且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
解：当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0.
如图，作MC⊥AB于点C.
在Rt△MBC中，BC＝，MB＝2，MC＝＝1，
圆心M(1,1)到直线l的距离为d＝＝1，解得k＝.
因此，所求直线l的方程为3x－4y＋6＝0；
当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x＝2，圆心到此直线的距离也是1，所以符合题意；故所求直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.
18．(12分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.当切线PA的长度为2时，求点P的坐标．
解：由题可知圆M的圆心为M(0,4)，半径r＝2.
设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°.
在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝＝4.
又|MP|＝＝，所以＝4，解得b＝0或.
所以点P的坐标为(0,0)或.
19．(12分)已知圆M经过A(1，－2)，B(－1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2.
(1)求圆M的方程；
(2)若P为圆内一点，求过点P被圆M截得的弦长最短时的直线l的方程．
解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.
由题意有－D－E＝2，即D＋E＝－2.①
又A(1，－2)，B(－1,0)两点在圆上，则即②
联立①②，解得D＝－2，E＝0，F＝－3，于是所求圆M的方程为x2＋y2－2x－3＝0.
(2)设直线l的斜率为kl.由(1)知，圆M的方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心M(1,0)．
当直线l过定点P，且与过此点的圆的半径垂直时，l被圆截得的弦长最短，此时直线MP的斜率kMP＝＝，
所以kl＝－＝－2，于是直线l的方程为y－＝－2(x－2)，即4x＋2y－9＝0.
20．(12分)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝2.
(1)求与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线l的方程；
(2)从圆C外一点P作圆C的一条切线，切点为M，O为坐标原点，若|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程，并求此轨迹被圆x2＋y2＝1所截得的弦长．
解：(1)依题意，可知在x轴、y轴上的截距相等的直线l分两种情况：
①直线l过原点，可设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，所以＝，解得k＝±1，即直线l的方程为x－y＝0或x＋y＝0；
②直线l不过原点，可设l的方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0，
所以＝，解得a＝0(舍去)或a＝－4，即直线l的方程为x＋y＋4＝0.
所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y＝0或x＋y＋4＝0.
(2)设P(x，y)，由|PM|＝|PO|，|PM|2＝|PC|2－|CM|2，得x2＋y2＝(x＋2)2＋y2－2，化简得点P的轨迹方程为x＝－.
于是直线x＝－被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为2＝.
21．(12分)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.联立
又x＋mx2－2＝0，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2
＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
22.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
解：(1)圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，其圆心M(6,7)，半径为5.
由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)如图，因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝＝.
因为BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋2，所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.第四章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋8y－24＝0的位置关系是( )
A．相交
B．相离
C．内切
D．外切
2．直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于( )
A.
B．2
C．2
D．4
3．以点A(1，－2)，B(3,4)为直径端点的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝10
B．(x－2)2＋(y－1)2＝
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝
D．(x－2)2＋(y－1)2＝10
4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )
A．x－2y＋1＝0
B．2x－y－1＝0
C．x－y＋3＝0
D．x－y－3＝0
5．已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是( )
A．点P在圆内
B．点P在圆上
C．点P在圆外
D．无法确定
6．已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，直线l：3x－4y＋m＝0，圆上存在两点到直线l的距离为1，则m的取值范围是( )
A．(－17，－7)
B．(3,13)
C．(－17，－7)∪(3,13)
D．[－17，－7]∪[3,13]
7．若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：(x＋2)2＋(y－1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
8．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
9．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是( )
A．[－1,1]
B.
C．[－，]
D.
10．在平面直角坐标系中，圆M的方程为x2＋(y－4)2＝4，若直线x＋my＋2＝0上至少存在一点P，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M有公共点，则m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
11．从点A(－2,1)发出的光线l经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆M：x2＋y2－4x－6y＋9＝0相切，则所有反射光线所在直线的斜率之和为( )
A.
B.
C．2
D．4
12．如图，已知直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上的一动点，连接PA，PB，则△PAB的面积的最大值是( )
A．8
B．12
C.
D.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为(
)
14．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为(
)
15．点M(4，－3,5)到x轴的距离为m，到xOy坐标平面的距离为n，则m2＋n＝(
).
16．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|＝(
)
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)，且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
18．(12分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.当切线PA的长度为2时，求点P的坐标．
19．(12分)已知圆M经过A(1，－2)，B(－1,0)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2.
(1)求圆M的方程；
(2)若P为圆内一点，求过点P被圆M截得的弦长最短时的直线l的方程．
20．(12分)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝2.
(1)求与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线l的方程；
(2)从圆C外一点P作圆C的一条切线，切点为M，O为坐标原点，若|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程，并求此轨迹被圆x2＋y2＝1所截得的弦长．
21．(12分)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
22.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
