第一章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中真命题的个数是( A )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如右图所示；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
2．以长为8
cm，宽为6
cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( C )
A．64π
cm2
B．36π
cm2
C．64π
cm2或36π
cm2
D．48π
cm2
解析：分别以长为8
cm，宽为6
cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C选项正确．
3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( B )
A.
B.
C.
D．1
解析：本题主要考查三视图以及棱锥体积的求法．根据三视图，该三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为2，所以该三棱锥的体积V＝×(×1×1)×2＝，故选B.
4．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( B )
A．108
cm3
B．100
cm3
C．92
cm3
D．84
cm3
解析：本题考查三视图与几何体的体积计算．由题意可知此几何体为一个长方体ABCD?A1B1C1D1截去一个三棱锥A?DEF后剩下的部分，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6
cm，3
cm，6
cm，故其体积为6×3×6＝108(cm3)．三棱锥的三条棱AE，AF，AD的长分别为4
cm,4
cm,3
cm，故其体积为××4＝8(cm3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm3)，故选B.
5．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( A )
A.
B．16π
C．9π
D.
解析：本题主要考查球的表面积、棱锥的性质．如图所示，设球的半径为R，球心为O，正四棱锥的底面中心为O′.∵正四棱锥P?ABCD中AB＝2，∴AO′＝.∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×2＝，故选A.
6．已知圆锥的高为16
cm，底面积为512
cm2，平行于圆锥底面的截面面积为50
cm2，则截面与底面的距离为( C )
A．5
cm
B．10
cm
C．11
cm
D．25
cm
解析：本题考查圆锥中平行于底面的截面的性质．设截面与底面的距离为h
cm，则2＝，得h＝11，故选C.
7．如图所示，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且h1＝h，若将圆锥形容器倒置，水面高为h2，则h2等于( D )
A.h
B.h
C.h
D.h
解析：设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为S，∴水的体积V＝Sh－×S(h－h1)＝Sh.设倒置后液面面积为S′，则＝2，∴S′＝.∴水的体积V＝S′h2＝，∴Sh＝，解得h2＝，故选D.
8．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥的轴截面为正三角形)的体积之比为( D )
A．235
B．234
C．358
D．469
解析：设球的半径为r，则球的体积V球＝πr3，外切圆柱的体积V圆柱＝2πr3，外切等边圆锥的体积V圆锥＝3πr3，故V球?V圆柱?V圆锥＝4?6?9.
9．一个圆台的上、下底面面积分别为1、49，一个平行于底面的截面面积为25，则这个截面与上、下两个底面的距离之比为( A )
A．21
B．31
C.1
D.1
解析：如图，设上底面、下底面、截面的半径分别为r、R、r0，
则由已知得＝，＝，
所以＝，＝，
所以＝，＝，
所以＝×＝.
10．在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕BC边所在直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：本题考查旋转体的体积计算．如图所示，该旋转体的体积为圆锥CD与圆锥BD的体积之差，由已知求得BD＝1，AD＝，CD＝.所以V＝V圆锥CD－V圆锥BD＝×π×()2×－×π×()2×1＝，故选D.
11．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，，，则此三棱锥的外接球的表面积为( A )
A．6π
B．12π
C．18π
D．24π
解析：将三棱锥补成边长分别为1，，的长方体，则长方体的体对角线是其外接球的直径，所以2R＝，解得R＝，故S＝4πR2＝6π.
12．如图所示，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1
cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3
cm，高为6
cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：该零件可看成由两个圆柱组成的组合体，其体积V＝π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的体积V毛坯＝π×32×6＝54π(cm3)，被切削掉部分的体积V切＝V毛坯－V＝54π－34π＝20π(cm3)，所以＝＝.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面上升9厘米，则此球的半径为12厘米．
解析：设球的半径为R，由题意知V球＝π2×9＝πR3，∴R＝＝12(cm)．
14．如果用半径为R＝2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是3.
解析：设圆锥筒的底面半径为r，则2πr＝πR＝2π，则r＝，所以圆锥筒的高h＝＝＝3.
15．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.
解析：该组合体为在一个圆柱内去掉一个半球，其体积V＝π×12×1－π×13×＝.
16．如图所示，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为.
解析：侧面展开后得矩形ABCD，如图所示，其中AB＝π，AD＝2，问题转化为在CD上找一点Q，使AQ＋PQ最短．作P关于CD的对称点E，连接AE，AE与CD交于点Q，AE＝，则AQ＋PQ的最小值为.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积．
解：由已知得，该几何体为一个棱台，其侧面的高h′＝
＝.故S＝S上底＋S下底＋S侧面＝22＋42＋4××(2＋4)×＝20＋12，所以该几何体的表面积为20＋12，体积V＝(42＋22＋2×4)×3＝28.
18.
(12分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50
cm，两底面直径分别为40
cm和30
cm.现有制作这种纸篓的塑料制品50
m2，问最多可以做多少个这种纸篓？
解：根据题意可知，纸篓底面圆的半径r′＝15
cm，上口的半径r＝20
cm，设母线长为l，则纸篓的表面积S＝πr′2＋＝π(r′2＋r′l＋rl)＝π(152＋15×50＋20×50)＝1
975π(cm2).50
m2＝500
000
cm2，故最多可以制作这种纸篓的个数n＝≈80.
19．(12分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥P?EFGH，下半部分是长方体ABCD?EFGH.该标识墩的正视图和俯视图如图所示．
(1)请画出该安全标识墩的侧视图；
(2)求该安全标识墩的体积；
(3)求该安全标识墩的侧面积．
解：(1)侧视图和正视图一样，如图所示．
(2)该安全标识墩的体积V＝VP?EFGH＋VABCD?EFGH＝×402×60＋402×20＝64
000(cm3)．
(3)如图，连接EG，HF交于点O，连接PO，结合三视图可知OP＝60
cm，OG＝EG＝20
cm，
可得PG＝＝20(cm)．
于是四棱锥P?EFGH的侧面积S1＝4××40×＝1
600(cm2)，
四棱柱EFGH?ABCD的侧面积S2＝4×40×20＝3
200(cm2)，
故该安全标识墩的侧面积S＝S1＋S2＝1
600(＋2)(cm2)．
20.
(12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
解：由题图可知半球的半径为4
cm，所以V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，
V圆锥＝πr2h＝π×42×12＝64π(cm3)．
因为V半球21．(12分)一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．
(1)如果正三角形的边长为2，求圆锥形容器的体积；
(2)如果在容器内放一个半径为r的铁球(铁球完全在容器内)，并向容器内注水，使水面漫过铁球且恰好与铁球相切(如图所示)，则将铁球取出后，容器内的水深是多少？
解：(1)如果正三角形的边长为2，那么倒圆锥形容器的底面圆的半径为1，高为正三角形的高，
于是圆锥形容器的体积V＝×π×12×＝.
(2)由球的半径为r，知水深为3r，水面半径为r，则容器内水的体积V＝(r)2π·3r－πr3＝πr3.
设取出铁球后容器中水的深度为h，则水面半径为h，由2π·h＝πr3，得h＝r，
故将铁球取出后，容器内的水深是r.
22.
(12分)如图所示，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24π
cm，高为30
cm，圆锥的母线长为20
cm.
(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1
cm3)；
(2)现要使用一种纱网材料制作这种“笼具”，该材料的造价为8元/m2，则制作50个“笼具”共需多少元？
解：(1)设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则2πr＝24π，解得r＝12(cm)，h1＝＝16(cm)．∴笼具的体积V＝πr2h－πr2h1＝π×＝3
552π≈11
158.9(cm3)．
(2)圆柱的侧面积S1＝2πrh＝720π(cm2)，圆柱的底面积S2＝πr2＝144π(cm2)，圆锥的侧面积S3＝πrl＝240π(cm2)，
故笼具的表面积S＝S1＋S2＋S3＝1
104π(cm2)．故制作50个这样的笼具总造价为＝(元)．
故制作50个笼具需要元．第一章单元质量评估
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中真命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．以长为8
cm，宽为6
cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( )
A．64π
cm2
B．36π
cm2
C．64π
cm2或36π
cm2
D．48π
cm2
3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )
A.
B.
C.
D．1
4．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
A．108
cm3
B．100
cm3
C．92
cm3
D．84
cm3
5．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.
B．16π
C．9π
D.
6．已知圆锥的高为16
cm，底面积为512
cm2，平行于圆锥底面的截面面积为50
cm2，则截面与底面的距离为( )
A．5
cm
B．10
cm
C．11
cm
D．25
cm
7．如图所示，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且h1＝h，若将圆锥形容器倒置，水面高为h2，则h2等于( )
A.h
B.h
C.h
D.h
8．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥的轴截面为正三角形)的体积之比为( )
A．235
B．234
C．358
D．469
9．一个圆台的上、下底面面积分别为1、49，一个平行于底面的截面面积为25，则这个截面与上、下两个底面的距离之比为( )
A．21
B．31
C.1
D.1
10．在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕BC边所在直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
11．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，，，则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A．6π
B．12π
C．18π
D．24π
12．如图所示，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1
cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3
cm，高为6
cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面上升9厘米，则此球的半径为(
)厘米．
14．如果用半径为R＝2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是(
).
15．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
).
16．如图所示，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为(
)
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积．
18.
(12分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50
cm，两底面直径分别为40
cm和30
cm.现有制作这种纸篓的塑料制品50
m2，问最多可以做多少个这种纸篓？
19．(12分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥P?EFGH，下半部分是长方体ABCD?EFGH.该标识墩的正视图和俯视图如图所示．
(1)请画出该安全标识墩的侧视图；
(2)求该安全标识墩的体积；
(3)求该安全标识墩的侧面积．
20.
(12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
21．(12分)一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．
(1)如果正三角形的边长为2，求圆锥形容器的体积；
(2)如果在容器内放一个半径为r的铁球(铁球完全在容器内)，并向容器内注水，使水面漫过铁球且恰好与铁球相切(如图所示)，则将铁球取出后，容器内的水深是多少？
22.
(12分)如图所示，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24π
cm，高为30
cm，圆锥的母线长为20
cm.
(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1
cm3)；
(2)现要使用一种纱网材料制作这种“笼具”，该材料的造价为8元/m2，则制作50个“笼具”共需多少元？
