模块综合评估(二)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．若直线l经过原点与点(－1，－1)，则它的倾斜角是( A )
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．0°
解析：易知直线l的斜率为＝1，设倾斜角为α，则tanα＝1，∵α∈[0°，180°)，∴α＝45°.
2．与直线2x－y＋1＝0平行，且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( B )
A．2x－y＋5＝0
B．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
C．2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
解析：因为该切线与直线2x－y＋1＝0平行，所以可设切线方程为2x－y＋C＝0，则圆心到切线的距离d＝＝，解得C＝±5，所以切线方程为2x－y±5＝0，故选B.
3．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( A )
A．1
B．2
C．3
D．6
解析：由三视图可知，该三棱锥的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为3，则V＝Sh＝××1×2×3＝1.
4．给定空间直角坐标系，若在x轴上找一点P，使它与P0(4,1,2)的距离为，则点P的坐标为( C )
A．(9,0,0)
B．(－1,0,0)
C．(9,0,0)或(－1,0,0)
D．以上答案都不对
解析：设点P的坐标为P(x,0,0)，由题意知，|PP0|＝，即＝，所以(x－4)2＝25，解得x＝9或x＝－1，所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
5．空间中到A，B两点的距离相等的点构成的集合是( B )
A．线段AB的中垂线
B．线段AB的中垂面
C．过AB中点的一条直线
D．一个圆
解析：由平面中到A，B两点的距离相等的点构成的集合是线段AB的中垂线可推得空间中到A，B两点的距离相等的点构成的集合是线段AB的中垂面．
6．平面内称横坐标为整数的点为“次整点”．过函数y＝的图象上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于45°的直线的条数为( B )
A．10
B．11
C．12
D．13
解析：如图，设曲线y＝的次整点分别为P1，P2，…，P7，过点P1且倾斜角大于45°的直线有P1P2，P1P3，过点P2的有P2P7，过点P3的有P3P6，P3P7，过点P4的有P4P5，P4P6，P4P7，过点P5的有P5P6，P5P7，过点P6的有P6P7，共11条．
7．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( C )
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2
解析：当k＝3时，两直线平行；当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得＝k－3，解得k＝5.
8．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( C )
A．若l⊥α，α⊥β，则l?β
B．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
解析：选项A，B，D均可能出现l∥β，故选C.
9．已知二面角α?l?β是锐二面角，直线AB?α，AB与l所成的角为45°，AB与平面β成30°角，则二面角α?l?β的大小为( B )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：如图，作AO⊥l于O，作AC⊥β于C，连接BC，OC.在Rt△AOB中，∠ABO＝45°，设AB＝1，则AO＝.
∵在Rt△ACB中，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝，∴在Rt△ACO中，sin∠AOC＝＝＝，∴∠AOC＝45°.
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( C )
A.
B．32π
C．8π
D．8π
解析：由三视图可知该几何体为一个三棱锥，如图三棱锥P?ABC所示，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，∴该几何体可以补成一个长方体，∴该几何体的外接球的半径R满足(2R)2＝22＋()2＋()2＝8，∴外接球的表面积为4πR2＝8π.故选C.
11．若圆C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，动圆P与圆C相外切，且与直线x＝－1相切，则动圆P的圆心的轨迹方程是( C )
A．y2＋6x－2y＋2＝0
B．y2－2x＋2y＝0
C．y2－6x＋2y－2＝0
D．y2－2x＋2y－2＝0
解析：由圆C与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，知圆C的圆心坐标为(1，－1)，半径为1.设圆P的圆心为(x，y)，由已知得|x＋1|＋1＝，易知x>－1，∴x＋2＝，化简得y2－6x＋2y－2＝0.
12．定义运算＝，称＝为将点(x，y)映到点(x′，y′)的一次变换．若＝把直线y＝kx上的各点映到这点本身，而把直线y＝mx上的各点映到这点关于原点对称的点，则k，m，p，q的值依次是( B )
A．1，－2,3,3
B．1,3,3，－2
C．－2,3,3,1
D．－2,1,3,3
解析：(1，k)是直线y＝kx上的点，若在定义运算的作用下的点的坐标为(1，k)，则有(1，m)是直线y＝mx上的点，若在定义运算的作用下的点的坐标为(－1，－m)，则有两式联立解得m＝3，k＝1，q＝－2，p＝3.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝.
解析：根据题意得πr3＝πR2r，化简可得＝.
14．光线从点A(1,1)出发，经y轴反射到圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0的最短路程为6－2.
解析：由题可知，圆心C的坐标为(5,7)，半径r＝2，∵A(1,1)关于y轴的对称点为A1(－1,1)，∴最短路程为|A1C|－2＝6－2.
15．已知H是球O的直径AB上的一点，且AHHB＝12，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为π.
解析：如图，设球O的半径为R，则AH＝，OH＝.又∵π·EH2＝π，∴EH＝1.
∵在Rt△OEH中，R2＝2＋12，∴R2＝，∴球O的表面积S＝4πR2＝.
16．下列命题中正确的是②③.(填序号)
①空间中三个平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；
②球O与棱长为a的正四面体各面都相切，则该球的表面积为a2；
③三棱锥P?ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，则PC⊥AB.
解析：①中α与γ也可能相交，①错误；②中可得球的半径为r＝a，故球的表面积为4πr2＝4π×2＝a2，②正确；③中由PA⊥BC，PB⊥AC，得点P在底面ABC上的投影为△ABC的垂心，故PC⊥AB，③正确．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知直线l1：y＝k(x＋1)－1(k∈R)．
(1)证明：直线l1过定点；
(2)若直线l1与直线l2：3x－(k－2)y＋2＝0平行，求k的值并求此时两直线之间的距离．
解：(1)证明：∵直线l1：y＝k(x＋1)－1(k∈R)，∴令x＝－1，可得y＝－1，∴直线l1过定点(－1，－1)．
(2)∵直线l1与直线l2：3x－(k－2)y＋2＝0平行，∴＝k，解得k＝－1或k＝3，经检验k＝－1满足条件，k＝3不满足条件，此时l1：y＝－x－2，l2：y＝－x－，∴两直线之间的距离d＝＝.
18.(12分)如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如图2折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
(1)证明：CF⊥平面MDF；
(2)求三棱锥M?CDE的体积．
解：(1)证明：∵ED⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴ED⊥AD.
又∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥CD.∵ED∩CD＝D，∴AD⊥平面CDEF.
∵CF?平面CDEF，∴MD⊥CF.
又∵CF⊥MF，MD∩MF＝M，∴CF⊥平面MDF.
(2)在Rt△PCD中，CD＝1，PC＝2，∴PD＝＝，∠CPD＝30°.
由(1)知CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，∴在Rt△PDF中，DF＝PDsin30°＝，PF＝PDcos30°＝.
∵EF∥CD，PD⊥CD，∴PE⊥EF.∴在Rt△PEF中，PE＝PFcos30°＝，
∴ED＝PD－PE＝－＝，ME＝PE＝.
∴在Rt△MED中，MD＝＝
＝
，∴VM－CDE＝S△CDE·MD＝CD·DE·MD＝×1××
＝.
∴三棱锥M?CDE的体积为.
19.(12分)如图所示，已知在四面体ABCD中，O，E分别为BD，BC的中点，且CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
解：(1)证明：在△ABD中，
∵AB＝AD＝，O是BD的中点，BD＝2，∴AO⊥BD且AO＝＝1.
连接OC，
∵BC＝DC＝2，O为BD的中点，∴CO⊥BD且CO＝＝.
∵在△AOC中，AO＝1，CO＝，AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，∴AO⊥CO.
∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.
(2)取AC的中点F，连接OF，OE，EF，
∵在△ABC中，E，F分别为BC，AC的中点，∴EF∥AB，且EF＝AB＝.
∵在△BCD中，O，E分别为BD，BC的中点，∴OE∥CD且OE＝CD＝1，
∴异面直线AB与CD所成的角等于∠OEF(或其补角)．
又OF是Rt△AOC斜边上的中线，∴OF＝AC＝1，∴在等腰△OEF中，取EF的中点G，
连接OG，则EG＝EF＝，OG⊥EF，∴cos∠OEF＝＝，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
20．(12分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程．
解：如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，知|O1A|＝|O1M|.
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，
则H是MN的中点，∴|O1M|＝，
又|O1A|＝，∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)，满足方程y2＝8x.
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
21.(12分)如图所示，已知在三棱柱ABC?A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，点D是线段BC的中点，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求证：AA1⊥平面ABC.
(2)请问在线段AB1上是否存在点E，使得DE∥平面AA1C1C？若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由．
(3)求二面角C?A1B1?C1的大小．
解：(1)证明：因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，所以AA1⊥平面ABC.
(2)当点E是线段AB1的中点时，有DE∥平面AA1C1C.理由如下：
如图，连接A1B交AB1于点E，连接DE.
因为点E是A1B的中点，点D是线段BC的中点，所以DE∥A1C.
又因为DE?平面AA1C1C，A1C?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.
(3)因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB，又因为AC2＋AB2＝BC2，所以AC⊥AB，
所以AB⊥平面AA1C1C，所以A1B1⊥平面AA1C1C，所以A1B1⊥A1C1，A1B1⊥A1C，所以∠C1A1C是二面角C?A1B1?C1的平面角．
易得tan∠C1A1C＝＝1，所以二面角C?A1B1?C1的平面角为45°.
22．(12分)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1,0)．
(1)若l1与圆C相切，求l1的方程；
(2)若l1与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ面积的最大值，并求此时直线l1的方程．
解：(1)①若直线l1的斜率不存在，
则直线l1：x＝1，符合题意．②若直线l1斜率存在，则可设直线l1的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
由题意知，圆心C(3,4)到直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝，∴直线l1的方程为3x－4y－3＝0.
综上可知，直线l1的方程是x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)∵直线l1与圆C相交，∴l1的斜率必定存在，且不为0，故可设直线l1的方程为kx－y－k＝0，则圆心到直线l1的距离d＝，
又∵△CPQ的面积S＝d×2＝d＝，∴当d＝时，S取得最大值2，
∴d＝＝，得k＝1或k＝7，∴直线l1的方程为y＝x－1或y＝7x－7.模块综合评估(二)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．若直线l经过原点与点(－1，－1)，则它的倾斜角是( )
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．0°
2．与直线2x－y＋1＝0平行，且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x－y＋5＝0
B．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
C．2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
3．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )
A．1
B．2
C．3
D．6
4．给定空间直角坐标系，若在x轴上找一点P，使它与P0(4,1,2)的距离为，则点P的坐标为( )
A．(9,0,0)
B．(－1,0,0)
C．(9,0,0)或(－1,0,0)
D．以上答案都不对
5．空间中到A，B两点的距离相等的点构成的集合是( )
A．线段AB的中垂线
B．线段AB的中垂面
C．过AB中点的一条直线
D．一个圆
6．平面内称横坐标为整数的点为“次整点”．过函数y＝的图象上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于45°的直线的条数为( )
A．10
B．11
C．12
D．13
7．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3
B．1或5
C．3或5
D．1或2
8．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l?β
B．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
9．已知二面角α?l?β是锐二面角，直线AB?α，AB与l所成的角为45°，AB与平面β成30°角，则二面角α?l?β的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )
A.
B．32π
C．8π
D．8π
11．若圆C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，动圆P与圆C相外切，且与直线x＝－1相切，则动圆P的圆心的轨迹方程是( )
A．y2＋6x－2y＋2＝0
B．y2－2x＋2y＝0
C．y2－6x＋2y－2＝0
D．y2－2x＋2y－2＝0
12．定义运算＝，称＝为将点(x，y)映到点(x′，y′)的一次变换．若＝把直线y＝kx上的各点映到这点本身，而把直线y＝mx上的各点映到这点关于原点对称的点，则k，m，p，q的值依次是( )
A．1，－2,3,3
B．1,3,3，－2
C．－2,3,3,1
D．－2,1,3,3
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝(
).
14．光线从点A(1,1)出发，经y轴反射到圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0的最短路程为(
).
15．已知H是球O的直径AB上的一点，且AHHB＝12，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为(
)..
16．下列命题中正确的是(
)..(填序号)
①空间中三个平面α，β，γ，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；
②球O与棱长为a的正四面体各面都相切，则该球的表面积为a2；
③三棱锥P?ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，则PC⊥AB.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)已知直线l1：y＝k(x＋1)－1(k∈R)．
(1)证明：直线l1过定点；
(2)若直线l1与直线l2：3x－(k－2)y＋2＝0平行，求k的值并求此时两直线之间的距离．
18.(12分)如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如图2折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
(1)证明：CF⊥平面MDF；
(2)求三棱锥M?CDE的体积．
19.(12分)如图所示，已知在四面体ABCD中，O，E分别为BD，BC的中点，且CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
20．(12分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程．
21.(12分)如图所示，已知在三棱柱ABC?A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，点D是线段BC的中点，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求证：AA1⊥平面ABC.
(2)请问在线段AB1上是否存在点E，使得DE∥平面AA1C1C？若存在，请说明点E的位置；若不存在，请说明理由．
(3)求二面角C?A1B1?C1的大小．
