第二章单元质量评估(二)
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的数学期望E(ξ)＝8.9，则y的值为( B )
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
解析：∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，∴7.7＋3y＝8.9，∴y＝0.4.
2．若X的分布列为
X
0
1
P
0.5
a
则D(X)等于( B )
A．0.8
B．0.25
C．0.4
D．0.2
解析：由题意知0.5＋a＝1，E(X)＝0×0.5＋a＝a＝0.5，所以D(X)＝0.25.
3．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：设此班次公共汽车准时到站的天数为随机变量X，则此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝C2×＋C3＝.
4．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(Xc)，则c的值为( C )
A．0
B．1
C．μ
D.
解析：因为P(Xc)，由正态曲线的对称性知μ＝c.
5．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)，P(B|A)分别是( A )
A.，
B.，
C.，
D.，
解析：由题意得事件A包含的基本事件个数为6×5×4＝120，事件B包含的基本事件个数为63－53＝91，在B发生的条件下A发生包含的基本事件个数为CA＝60，在A发生的条件下B发生包含的基本事件个数为CA＝60，所以P(A|B)＝，P(B|A)＝＝.故正确答案为A.
6．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码后放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( B )
A.
B.
C.
D.
解析：若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为＝.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C3×＝.
7．已知X的分布列为
X
1
2
3
P
且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a为( C )
A．－1
B．－
C．－
D．－
解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
由Y＝aX＋3，得E(Y)＝aE(X)＋3.
所以＝2a＋3，解得a＝－.
8．已知变量x服从正态分布N(4，σ2)，且P(x>2)＝0.6，则P(x>6)＝( A )
A．0.4
B．0.3
C．0.2
D．0.1
解析：因为P(x>2)＝0.6，所以P(x<2)＝1－0.6＝0.4.因为N(4，σ2)，所以此正态曲线关于x＝4对称，所以P(x>6)＝P(x<2)＝0.4.故选A.
9．设由“0”，“1”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P(A|B)等于( C )
A.
B.
C.
D.
解析：因为P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝，所以P(A|B)＝＝.
10．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X，则P(X≤2)＝( D )
A．C×2×8
B．C××9＋10
C．C××9＋C×2×8
D．以上都不对
解析：P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝C×0×10＋C××9＋C×2×8.
11．已知随机变量X～B(6,0.4)，则当η＝－2X＋1时，D(η)＝( C )
A．－1.88
B．－2.88
C．5.76
D．6.76
解析：由已知D(X)＝6×0.4×0.6＝1.44，则D(η)＝4D(X)＝4×1.44＝5.76.
12．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( B )
A．39元
B．37元
C．20元
D.元
解析：ξ的分布列为
ξ
50
30
－20
P
0.6
0.3
0.1
∴E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37元，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为.
解析：加工出来的零件的合格品率为
××＝，
所以次品率为1－＝.
14．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为1.
解析：区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以正态分布的数学期望就是1.
15．如果一个随机变量ξ～B，则使得P(ξ＝k)取得最大值的k的值为7,8.
解析：P(ξ＝k)＝C15，则只需C最大即可，此时k＝7,8.
16．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1
000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1
000小时的概率为.
解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1
000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，所以该部件的使用寿命超过1
000的事件为(A＋B＋AB)C.
所以该部件的使用寿命超过1
000小时的概率为
×＝.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．
解：(1)由题可得，至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为p＝1－(1－0.5)(1－0.6)＝0.8.
(2)ξ可能的取值有0,1,2,3，
p(ξ＝0)＝(1－0.8)3＝0.008，
p(ξ＝1)＝C(1－0.8)20.8＝0.096，
p(ξ＝2)＝C(1－0.8)10.82＝0.384，
p(ξ＝3)＝0.83＝0.512.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
p
0.008
0.096
0.384
0.512
ξ的数学期望E(ξ)＝3×0.8＝2.4.
18．(12分)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ
0
1
2
3
P
a
b
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(2)求p，q的值；
(3)求数学期望E(ξ)．
解：记事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1,2,3.
由题意知P(A1)＝，P(A2)＝p，P(A3)＝q.
(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P(ξ＝0)＝1－＝.
(2)由题意知
P(ξ＝0)＝P(123)＝(1－p)(1－q)＝，
P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝pq＝.
整理得pq＝，p＋q＝1.
由p>q，可得p＝，q＝.
(3)由题意知a＝P(ξ＝1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)＝(1－p)(1－q)＋p(1－q)＋(1－p)q＝，
b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝.
所以E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝.
19．(12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．
(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)
解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为
P＝＝.
(2)X的所有可能值为1,2,3，且
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，故X的分布列为
X
1
2
3
P
从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
20．(12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．
因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.
分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
21．(12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
解：记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，
且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝
，于是P()＝P()P()＝×＝，
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220.
因P(X＝0)＝P(
)＝×＝，
P(X＝100)＝P(F)＝×＝，
P(X＝120)＝P(E)＝×＝，
P(X＝220)＝P(EF)＝×＝，
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P
数学期望为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140.
22．(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2，
B表示事件：甲需使用设备，
C表示事件：丁需使用设备，
D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．
(1)D＝A1·B·C＋A2·B＋A2··C.
P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0,1,2，
所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2··C)
＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2··C)
＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P()P(C)
＝0.31.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为
P(X＝0)＝P(·A0·)＝P()P(A0)P()
＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，
P(X＝1)＝P(B·A0·＋·A0·C＋·A1·)
＝P(B)P(A0)P()＋P()P(A0)P(C)＋P()P(A1)P()
＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，
P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，
P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，
数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)
＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.第二章单元质量评估(二)
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的数学期望E(ξ)＝8.9，则y的值为( )
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
2．若X的分布列为
X
0
1
P
0.5
a
则D(X)等于( )
A．0.8
B．0.25
C．0.4
D．0.2
3．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( )
A.
B.
C.
D.
4．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(Xc)，则c的值为( )
A．0
B．1
C．μ
D.
5．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)，P(B|A)分别是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
6．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码后放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )
A.
B.
C.
D.
7．已知X的分布列为
X
1
2
3
P
且Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a为( )
A．－1
B．－
C．－
D．－
8．已知变量x服从正态分布N(4，σ2)，且P(x>2)＝0.6，则P(x>6)＝( )
A．0.4
B．0.3
C．0.2
D．0.1
9．设由“0”，“1”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P(A|B)等于( )
A.
B.
C.
D.
10．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X，则P(X≤2)＝( )
A．C×2×8
B．C××9＋10
C．C××9＋C×2×8
D．以上都不对
11．已知随机变量X～B(6,0.4)，则当η＝－2X＋1时，D(η)＝( )
A．－1.88
B．－2.88
C．5.76
D．6.76
12．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利( )
A．39元
B．37元
C．20元
D.元
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为(
).
14．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为(
)
15．如果一个随机变量ξ～B，则使得P(ξ＝k)取得最大值的k的值为(
).
16．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1
000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1
000小时的概率为(
)
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．
18．(12分)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ
0
1
2
3
P
a
b
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(2)求p，q的值；
(3)求数学期望E(ξ)．
19．(12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．
(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)
20．(12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
21．(12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
22．(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
