第二章单元质量评估(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于( )
A.
B．2
C．－1
D．2或－1
2．点P(－1,2)到直线y＝x＋的距离为( )
A．2
B.
C．1
D.
3．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
4．△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)、B(－5,2,1)、C，则它在yOz平面上的射影图形的面积是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
5．与直线y＝－2x＋3平行，且与直线y＝3x＋4交于x轴上的同一点的直线方程是( )
A．y＝－2x＋4
B．y＝x＋4
C．y＝－2x－
D．y＝x－
6．不论m为何实数，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点( )
A．(－2,3)
B．(2，－3)
C．(1,0)
D．(0，－2)
7．设实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
8．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
9．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－4)2＋(y－2)2＝20
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20
10．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．10
B．20
C．30
D．40
11．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于直线l对称，则直线l2的方程是( )
A．x－2y＋1＝0
B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋2y－1＝0
12．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5－4
B.－1
C．6－2
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知点A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC中，BC边上的中线长为(
).
14．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是(
)
15．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为(
)
16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是(
)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，求当m为何值时，l1与l2满足下列条件．
(1)相交；(2)平行；(3)重合．
18．(12分)当m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.
(1)倾斜角为45°；
(2)在x轴上的截距为1.
19．(12分)已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率．
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
20．(12分)一束光线l自A(－3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共点．
(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程．
(2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围．
21．(12分)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心．
(1)求四边形PACB面积的最小值．
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．(12分)已知圆C的圆心在直线y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．
(1)求圆C的方程；
(2)点M(0,1)与点N关于直线x－y＝0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E，F两点，且使S△OEF＝2(O为坐标原点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，用计算过程说明理由．第二章单元质量评估(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于( D )
A.
B．2
C．－1
D．2或－1
解析：由a·(a－1)－2×1＝0得a2－a－2＝0，所以a＝2或－1，经检验均适合题意．
2．点P(－1,2)到直线y＝x＋的距离为( B )
A．2
B.
C．1
D.
解析：将y＝x＋化为一般式为8x－6y＋15＝0，则点P到直线的距离d＝＝，故选B.
3．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( B )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
解析：圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1，所以直线与圆相交，圆心不在y＝x＋1上．
4．△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)、B(－5,2,1)、C，则它在yOz平面上的射影图形的面积是( D )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：△ABC的三个顶点A、B、C在yOz平面上的射影点的坐标分别是(0,1,1)、(0,2,1)、(0,2,3)，它在yOz平面上是一个直角三角形，容易求出它的面积为1.故选D.
5．与直线y＝－2x＋3平行，且与直线y＝3x＋4交于x轴上的同一点的直线方程是( C )
A．y＝－2x＋4
B．y＝x＋4
C．y＝－2x－
D．y＝x－
解析：y＝3x＋4与x轴交点为，又与直线y＝－2x＋3平行，故所求直线方程为y＝－2，即y＝－2x－，故选C.
6．不论m为何实数，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点( A )
A．(－2,3)
B．(2，－3)
C．(1,0)
D．(0，－2)
解析：直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0，由得所以直线过定点(－2,3)．
7．设实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：
如图所示，设过原点的直线方程为y＝kx，则与圆有交点的直线中，kmax＝，所以的最大值为.故选D.
8．过点(5,2)，且在x轴上的截距(直线与x轴交点的横坐标)是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( D )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
解析：当截距为0，即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，∴k＝，∴y＝x，即2x－5y＝0.
当截距不为0时，设直线的方程为＋＝1，∴＋＝1，∴a＝，∴＋＝1，即x＋2y－9＝0.
9．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是( A )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－4)2＋(y－2)2＝20
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20
解析：由条件O，A，B，P四点共圆，从而OP的中点(2,1)为所求圆的圆心，半径r＝|OP|＝，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
10．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( B )
A．10
B．20
C．30
D．40
解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，∴其圆心为(3,4)，半径R＝5.该圆过点(3,5)的最长弦为圆的直径，所以AC＝10，过点(3,5)的最短弦为垂直于该点与圆心连线的弦，所以BD＝2＝4，所以四边形ABCD的面积为AC·BD＝20.
11．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于直线l对称，则直线l2的方程是( B )
A．x－2y＋1＝0
B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋2y－1＝0
解析：因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0，故选B.
12．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( A )
A．5－4
B.－1
C．6－2
D.
解析：由题意知，圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心分别为C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4，点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知点A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC中，BC边上的中线长为10.
解析：BC的中点坐标为，即(－1,2)，所以BC边上的中线长为＝.
14．l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是x＋2y－3＝0.
解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，kAB＝＝2，所以两平行线的斜率为k＝－，直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
15．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为±5.
解析：已知直线斜率为－2，直线ax＋2y＋c＝0的斜率为－.因为两直线垂直，所以(－2)·＝－1，得a＝－1.圆心到切线的距离为，即＝，所以c＝±5，故ac＝±5.
16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是.
解析：圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．
由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2.
整理，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.
故k的最大值是.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，求当m为何值时，l1与l2满足下列条件．
(1)相交；(2)平行；(3)重合．
解：当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，∴l1与l2相交．当m≠0且m≠2时，由＝得m＝－1或m＝3，由＝得m＝3.
故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．(2)当m＝－1或m＝0时，l1∥l2.(3)当m＝3时，l1与l2重合．
18．(12分)当m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.
(1)倾斜角为45°；
(2)在x轴上的截距为1.
解：(1)倾斜角为45°，则斜率为1.所以－＝1，解得m＝－1，m＝1(舍去)，
直线方程为2x－2y－5＝0符合题意，所以m＝－1.
(2)当y＝0时，x＝＝1，解得m＝－，或m＝2，
当m＝－，m＝2时都符合题意，所以m＝－或m＝2.
19．(12分)已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率．
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
解：(1)因为点P(a，a＋1)在圆上，所以a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，所以a＝4，P(4,5)，
所以|PQ|＝＝2，kPQ＝＝.
(2)因为圆心C坐标为(2,7)，所以|QC|＝＝4，
圆的半径是2，点Q在圆外，所以|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.
20．(12分)一束光线l自A(－3,3)发出，射到x轴上，被x轴反射后与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0有公共点．
(1)求反射光线通过圆心C时，光线l所在直线的方程．
(2)求在x轴上，反射点M的横坐标的取值范围．
解：圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝1.
(1)圆心C关于x轴的对称点为C′(2，－2)，过点A，C′的直线的方程x＋y＝0，即为光线l所在直线的方程．
(2)点A关于x轴的对称点为A′(－3，－3)，
设过点A′的直线为y＋3＝k(x＋3)．
当该直线与圆C相切时，有＝1，
解得k＝或k＝，所以过点A′的圆C的两条切线分别为y＋3＝(x＋3)，y＋3＝(x＋3)．
令y＝0，得x1＝－，x2＝1，
所以在x轴上反射点M的横坐标的取值范围是.
21．(12分)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心．
(1)求四边形PACB面积的最小值．
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵P在直线3x＋4y＋8＝0上，∴设点P的坐标为.
又C点坐标为(1,1)，圆C的半径为1，∴四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝2×|PA|·|AC|＝|AP|，
∵|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1，
∴当|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小．
∵|PC|2＝(1－x)2＋2＝2＋9.
∴|PC|min＝3，∴Smin＝2.
(2)不存在．理由如下：假设直线上存在点P满足题意．
∵∠APB＝60°，∴∠APC＝30°，∴|AP|＝|AC|＝，|PC|＝2.
设P(x，y)，则有
消去y，整理可得25x2＋40x＋96＝0，Δ＝402－4×25×96<0，
∴这样的点P是不存在的．
22．(12分)已知圆C的圆心在直线y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．
(1)求圆C的方程；
(2)点M(0,1)与点N关于直线x－y＝0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E，F两点，且使S△OEF＝2(O为坐标原点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，用计算过程说明理由．
解：(1)过切点P(3，－2)且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，即y＝x－5.
将y＝x－5与直线y＝－4x联立可得圆心坐标为(1，－4)．
所以半径r＝＝2.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)设N(a，b)，因为M(0,1)与N关于x－y＝0对称，所以解得a＝1，b＝0，即N(1,0)．
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，原点到直线的距离d＝1.将x＝1代入圆的方程得y＝－4±2，所以|EF|＝4，于是S△OEF＝×1×4＝2，满足题意，此时直线l的方程为x＝1.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
圆心C(1，－4)到直线l的距离d＝＝，
设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，
在Rt△CDE中，|DE|＝＝＝，所以|EF|＝.
因为原点到直线的距离d1＝，所以S△OEF＝··＝＝2，
整理得3k2＋1＝0，不存在这样的实数k.
综上所述，所求的直线方程为x＝1.
