第二章单元质量评估(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0，bc<0
B．ab<0，bc>0
C．ab>0，bc>0
D．ab<0，bc<0
2．过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．2x＋y－1＝0
B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0
D．x－2y＋7＝0
3．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是( )
A．(－2，－3)
B．(2,1)
C．(2,3)
D．(－2，－1)
4．三棱锥O—ABC中，O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,3)，此三棱锥的体积为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
5．经过点(1,0)且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
6．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0
D．x2＋y2－4x＝0
7．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( )
A．8
B．－4
C．6
D．无法确定
8．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线由A射出经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
A．6－2
B．8
C．4
D．10
9．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
C．(x－1)2＋y2＝5
D．x2＋(y－1)2＝5
10．已知圆(x－3)2＋(y＋5)2＝36和点A(2,2)，B(－1，－2)，若点C在圆上且△ABC的面积为，则满足条件的点C的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
11．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且只有一个元素，则r的值是( )
A．3
B．7
C．3或7
D．不能确定
12．过直线y＝2x上一点P作圆M：(x－3)2＋(y－2)2＝的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y＝2x对称时，则∠APB＝( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知直线l1：x＋3y－7＝0，l2：y＝kx＋b与x轴、y轴正半轴所围成的四边形有外接圆，则k＝(
)，b的取值范围是(
).
14．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是(
)
15．x轴上任一点到定点(0,2)，(1,1)距离之和的最小值是(
)
16．若直线x＋y＋m＝0上存在点P，过点P可作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为(
)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l：x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点．
(1)求|AB|；
(2)求弦AB所对圆心角的大小．
18．(12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
19．(12分)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－3y－1＝0.
求：(1)直线l的方程；
(2)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
20．(12分)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
21．(12分)已知点P1(－2,3)，P2(0,1)，圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；
(2)若点P(x，y)是圆C外一点，从点P向圆C引切线PM，M为切点，O为坐标原点，|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．
22．(12分)已知圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)求m的取值范围；
(2)若圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．第二章单元质量评估(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足( A )
A．ab>0，bc<0
B．ab<0，bc>0
C．ab>0，bc>0
D．ab<0，bc<0
解析：由题意知，直线的斜率小于0，直线在y轴上的截距大于0，从而ab>0，bc<0.
2．过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( A )
A．2x＋y－1＝0
B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0
D．x－2y＋7＝0
3．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是( C )
A．(－2，－3)
B．(2,1)
C．(2,3)
D．(－2，－1)
解析：利用排除法．由点N在直线x－y＋1＝0上，排除A，B.由kMN＝2，排除D.故选C.
4．三棱锥O—ABC中，O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,3)，此三棱锥的体积为( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：OA，OB，OC两两垂直，VO—ABC＝××1×2×3＝1.
5．经过点(1,0)且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为( B )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：由得即所求圆的圆心坐标为(1,1)．
由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
6．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( D )
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0
D．x2＋y2－4x＝0
解析：设圆心为(a,0)(a>0)，则圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离等于2，即＝2，解得a＝2.故圆的方程为(x－2)2＋y2＝4.
7．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为( C )
A．8
B．－4
C．6
D．无法确定
解析：∵圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，∴直线x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，解得m＝6.
8．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线由A射出经x轴反射到圆C上的最短路程是( B )
A．6－2
B．8
C．4
D．10
解析：点A关于x轴的对称点为A′(－1，－1)，A′与圆心(5,7)之间的距离为＝10.∴所求最短路程为10－2＝8.
9．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为( A )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
C．(x－1)2＋y2＝5
D．x2＋(y－1)2＝5
解析：因为两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0的距离为d＝＝2，所以所求圆的半径为r＝，所以圆心(a,1)到直线2x－y＋4＝0的距离为＝＝，解得a＝1或a＝－4.又因为圆心(a,1)到直线2x－y－6＝0的距离也为，所以a＝1，所以所求的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5，故应选A.
10．已知圆(x－3)2＋(y＋5)2＝36和点A(2,2)，B(－1，－2)，若点C在圆上且△ABC的面积为，则满足条件的点C的个数是( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由△ABC的面积为知，点C到直线AB的距离为1，直线AB的方程为4x－3y－2＝0，与直线AB平行且距离为1的直线为l1：4x－3y＋3＝0和l2：4x－3y－7＝0，圆心C到直线l1的距离为d1＝6，圆心C到直线l2的距离为d2＝4，所以圆(x－3)2＋(y＋5)2＝36与直线l1相切，与直线l2相交，满足条件的点C的个数是3.
11．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且只有一个元素，则r的值是( C )
A．3
B．7
C．3或7
D．不能确定
解析：两个集合都表示圆，由于A∩B中有且只有一个元素，所以两个圆相切，但是要注意两圆可能内切或外切，因此分情况求解．由于圆心距为d＝＝5，两个圆的半径分别为2和r，所以|r－2|＝d或d＝r＋2，即得到|r－2|＝5或5＝r＋2，解得r＝3或r＝7.
12．过直线y＝2x上一点P作圆M：(x－3)2＋(y－2)2＝的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y＝2x对称时，则∠APB＝( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：过圆M的圆心(3,2)向直线y＝2x作垂线，设垂足为N，易知当点P与点N重合时，l1与l2关于y＝2x对称，此时|MP|＝＝.又圆M的半径长为，故sin∠MPA＝，则∠MPA＝30°，故∠APB＝60°.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．已知直线l1：x＋3y－7＝0，l2：y＝kx＋b与x轴、y轴正半轴所围成的四边形有外接圆，则k＝3，b的取值范围是.
解析：由题意可知l1⊥l2，∴k＝3，直线l1与坐标轴交于点A和B(7,0)，∴直线l2与线段AB(不含端点)垂直相交，画图(图略)易得b的取值范围是.
14．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是(4,6)．
解析：
注意到圆心C(3，－5)到已知直线的距离为＝5，结合图形可知有两个极端情形：其一是如图所示的小圆，半径为4；其二是如图所示的大圆，其半径为6，故415．x轴上任一点到定点(0,2)，(1,1)距离之和的最小值是.
解析：点(1,1)关于x轴的对称点坐标为(1，－1)，则要求的最小值为＝.
16．若直线x＋y＋m＝0上存在点P，过点P可作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为[－2，2]．
解析：若∠APB＝60°，则|OP|＝2，直线x＋y＋m＝0上存在点P，过点P可作O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB等价于直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝4有公共点，由圆心到直线的距离公式可得≤2，解之可得m∈[－2，2]．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知直线l：x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点．
(1)求|AB|；
(2)求弦AB所对圆心角的大小．
解：
(1)如图所示：由消去y，得x2－3x＋2＝0，∴x1＝2，x2＝1，
∴A(2,0)，B(1，)，∴|AB|＝＝2.
(2)∵直线l的斜率为－，∴直线l的倾斜角为120°，
又∵|OB|＝|OA|＝2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°.
18．(12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|＝3，求直线l的方程．
解：(1)圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心为C(0,1)，半径r＝，圆心C(0,1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝＝<1<，因此直线l与圆C相交．
(2)设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝，又d＝.∴＝，解得m＝±1.∴
所求直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
19．(12分)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－3y－1＝0.
求：(1)直线l的方程；
(2)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
解：(1)由解得
则点P的坐标是(－2,2)，
由于所求直线l与x－3y－1＝0垂直，
可设直线l的方程为3x＋y＋C＝0.
把点P的坐标代入得3×(－2)＋2＋C＝0，即C＝4.
故所求直线l的方程为3x＋y＋4＝0.
(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是－，－4，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积S＝××4＝.
20．(12分)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
21．(12分)已知点P1(－2,3)，P2(0,1)，圆C是以P1P2的中点为圆心，|P1P2|为半径的圆．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；
(2)若点P(x，y)是圆C外一点，从点P向圆C引切线PM，M为切点，O为坐标原点，|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．
解：(1)设圆心坐标为C(a，b)，半径为r，依题意得a＝＝－1，b＝＝2，r＝×＝.
∴圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.
①若截距均为0，即圆C的切线过原点，则可设该切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，则有＝，解得k＝2±.
此时切线方程为(2＋)x－y＝0或(2－)x－y＝0.
②若截距不为0，可设切线方程为x＋y＝a，即x＋y－a＝0，
依题意＝，解得a＝－1或3.
此时切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
综上所述，所求切线方程为(2±)x－y＝0，x＋y＋1＝0，x＋y－3＝0.
(2)∵|PM|＝|PO|，∴|PM|2＝|PO|2，
即x2＋y2＝(x＋1)2＋(y－2)2－2，整理得y＝.
而|PM|＝|PO|＝＝，x＝－＝－时，|PM|取得最小值．
此时点P的坐标为.
22．(12分)已知圆x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)求m的取值范围；
(2)若圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解：(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
∵此方程表示圆，∴5－m>0，即m<5.
(2)
消去x得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0，
化简得5y2－16y＋m＋8＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.
??将①②两式代入上式得16－8×＋5×＝0，解得m＝.
(3)将m＝代入5y2－16y＋m＋8＝0，化简整理得25y2－80y＋48＝0，解得y1＝，y2＝.
∴x1＝4－2y1＝－，x2＝4－2y2＝.
∴M，N，
∴MN的中点C的坐标为.
又|MN|＝＝，∴所求圆的半径为.
∴所求圆的方程为2＋2＝.
