第一章单元质量评估(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B．棱锥的高线可能在几何体之外
C．仅有一组对面平行的六面体是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
2．用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长方形，也可以使截面是圆，则这个几何体可以是( )
A．棱柱
B．棱台
C．圆柱
D．球
3．若一个底面为正三角形的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )
A．12
B．36
C．27
D．6
4．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如左图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在．当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是( )
A．a，b
B．a，c
C．c，b
D．b，d
6．直线l1∥l2，在l1上取3个点，l2上取2个点，由这5个点所确定的平面个数为( )
A．9个
B．6个
C．3个
D．1个
7．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )
A．30
B．60
C．30＋135
D．135
8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
9．正方体ABCD—A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是( )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
10．已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为( )
A．18
B．12
C．6
D．12π
11．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，则多面体BB1C1CEF的体积为( )
A．30
B．18
C．15
D．12
12．如图所示，在正三棱锥S—ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝2，则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是( )
A．12π
B．32π
C．36π
D．48π
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为(
).
14．如图所示，扇形的圆心角为90°，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得的旋转体体积V1和V2之比为(
)..
15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为(
)..
16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题是真命题的有(
)..(写出所有真命题的序号)
①当0
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
18．(12分)一个几何体的三视图如图所示，已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S.
19．(12分)如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为4，M，N分别是BC，CC1的中点．
(1)证明：BN⊥平面AMB1；
(2)求三棱锥B—AB1N的体积．
20．(12分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和点F分别是BC，A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
21．(12分)如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图2，将△ABE沿AE折起，使二面角B－AE－C成直二面角，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．
(1)求证：AE⊥BD；
(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；
(3)判断DE能否垂直于平面ABC？并说明理由．
22．(12分)已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M为AC上一点，N为BF上一点，且AM＝FN＝x，设AB＝a.
(1)求证：MN∥平面CBE.
(2)求证：MN⊥AB.
(3)当x为何值时，MN取最小值？并求出这个最小值．第一章单元质量评估(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列命题中正确的是( B )
A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B．棱锥的高线可能在几何体之外
C．仅有一组对面平行的六面体是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
解析：由五个平面围成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故A不正确；根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外，故B正确；仅有一组对面平行的六面体可能是四棱台，也可能是四棱柱，故C不正确；因为棱锥的定义中要求这些三角形必须有公共的顶点，故D不正确．故选B.
2．用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长方形，也可以使截面是圆，则这个几何体可以是( C )
A．棱柱
B．棱台
C．圆柱
D．球
3．若一个底面为正三角形的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( B )
A．12
B．36
C．27
D．6
解析：由三视图可知该几何体为正三棱柱，棱柱的高为4，底面正三角形的高为3，所以底面边长为6，所以几何体的体积为×62××4＝36，选B.
4．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( D )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
解析：A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．故选D.
5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如左图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在．当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是( A )
A．a，b
B．a，c
C．c，b
D．b，d
解析：主视图和左视图完全相同时，牟合方盖相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，而俯视图为一个正方形，且有两条实的对角线，故选A.
6．直线l1∥l2，在l1上取3个点，l2上取2个点，由这5个点所确定的平面个数为( D )
A．9个
B．6个
C．3个
D．1个
解析：因为l1∥l2，所以l1，l2确定唯一平面，所以5个点均在该平面内．
7．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( A )
A．30
B．60
C．30＋135
D．135
解析：由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为＝，则这个直棱柱的侧面积为4××5＝30.
8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：本题可借助正方体模型求解，如图，BA1与AC1所成的角即为BA1与BD1所成的角．在△A1BD1中，A1B＝A1D1＝BD1.∴BA1与BD1所成角为60°.
9．正方体ABCD—A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是( D )
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
解析：如图，取C1D1的中点E，连接RE，RE綊PQ.∴P，Q，R，E共面．再取BB1，DD1的中点F，G.∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，∴E，G，F，P，Q，R共面．∴截面图形为六边形．
10．已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为( C )
A．18
B．12
C．6
D．12π
解析：连接球心与多面体的各个顶点，把多面体分成了高为1的多个棱锥．多个棱锥的底面积之和S＝S1＋S2＋…＋Sn＝18.所以该多面体的体积为V＝S1×1＋S2×1＋…＋Sn×1＝(S1＋S2＋…＋Sn)×1＝6.
11．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝，BB1＝BC＝6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF＝3，则多面体BB1C1CEF的体积为( A )
A．30
B．18
C．15
D．12
解析：VBB1C1CEF＝VABC—A1B1C1－VF—A1B1C1－VE—ABC＝S△ABC×6－S△ABC·A1F－S△ABC·AE
＝S△ABC·＝5S△ABC.
∵AC＝AB＝，BC＝6，∴S△ABC＝×6×＝6.∴VBB1C1CEF＝5×6＝30.
12．如图所示，在正三棱锥S—ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝2，则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是( C )
A．12π
B．32π
C．36π
D．48π
解析：因为M，N分别为SC，BC的中点，所以MN∥BS.因为MN⊥AM，所以SB⊥AM.又SB⊥AC，AM∩AC＝A，所以SB⊥平面ASC，所以侧面三角形为等腰直角三角形，又SA＝SB＝SC＝2，设外接球半径为R，则(2R)2＝(2)2＋(2)2＋(2)2，即R＝3，所以S球＝4πR2＝36π.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为3.
解析：此棱锥底面是边长为3的正方形，高为1，所以体积为×32×1＝3.
14．如图所示，扇形的圆心角为90°，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得的旋转体体积V1和V2之比为1∶1.
解析：设扇形所在圆的半径为R，Rt△AOB绕OA旋转一周形成圆锥，其体积V1＝R3，扇形绕OA旋转一周形成半球，半球的体积V＝R3，∴V2＝V－V1＝R3－R3＝R3.∴V1∶V2＝1∶1.
15．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为π.
解析：设球的半径为R，六棱柱的底面边长为a，高为h，显然有
＝R，且解得
所以R＝1，则V球＝πR3＝π.
16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题是真命题的有①②③⑤.(写出所有真命题的序号)
①当0解析：设截面与直线DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT＝2PQ，DT＝2CQ.对于①，当0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．
解：
作出圆台的轴截面如图．
设O′A′＝r，因为一底面周长是另一底面周长的3倍，所以OA＝3r，SA′＝r，SA＝3r，OO′＝2r.由轴截面的面积为(2r＋6r)·2r＝392，得r＝7.故上底面半径为7，下底面半径为21，高为14，母线长为14.
18．(12分)一个几何体的三视图如图所示，已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S.
解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为，所以V＝1×1×＝.
(2)由三视图可知，该平行六面体中A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，
∴AA1＝2，四边形ABB1A1，CDD1C1均为矩形，S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.
19．(12分)如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为4，M，N分别是BC，CC1的中点．
(1)证明：BN⊥平面AMB1；
(2)求三棱锥B—AB1N的体积．
解：(1)证明：在正三棱柱ABC—A1B1C1中，∵M是BC的中点，△ABC是正三角形，∴AM⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，且其交线是BC，∴AM⊥平面BB1C1C.
∵BN?平面BB1C1C，∴AM⊥BN.
如图所示，在正方形BB1C1C中，M，N分别为BC，C1C的中点，
∴Rt△MB1B≌Rt△NBC，∴∠NBC＝∠MB1B，∠BMB1＝∠CNB，∴∠NBC＋∠BMB1＝90°，∴BN⊥B1M.
又∵AM∩B1M＝M，∴BN⊥平面AMB1.
20．(12分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和点F分别是BC，A1C的中点．
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
解：(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC，A1C的中点，所以EF∥BA1.
又因为EF
平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.
(2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC.所以BB1⊥AE.
因为BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1.
又因为AE?平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面BCB1.
(3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.
因为N和E分别是B1C和BC的中点，所以NE∥BB1，NE＝BB1.
所以NE∥AA1，NE＝AA1，
所以四边形AA1NE是平行四边形，所以A1N∥AE，A1N＝AE.
又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，所以∠A1B1N就是直线A1B1与平面BCB1所成的角．
在△ABC中，得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.
因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以四边形AA1MB是平行四边形，所以A1M∥AB，A1M＝AB.
又由AB⊥BB1，得A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中，A1B1＝＝4.
在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝，因此∠A1B1N＝30°.
所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.
21．(12分)如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图2，将△ABE沿AE折起，使二面角B－AE－C成直二面角，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．
(1)求证：AE⊥BD；
(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；
(3)判断DE能否垂直于平面ABC？并说明理由．
解：
(1)证明：如图，取AE中点M，连接BM，DM.
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，
∴△ABE与△ADE都是等边三角形，∴BM⊥AE，DM⊥AE.
∵BM∩DM＝M，BM，DM?平面BDM，∴AE⊥平面BDM.
∵BD?平面BDM，∴AE⊥BD.
(2)证明：连接CM，EF，交于点N，连接PN，MF，
∵ME∥FC，且ME＝FC，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点．
∵P是线段BC的中点，∴PN∥BM.
∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.
∵PN?平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.
(3)DE与平面ABC不垂直．
理由：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB.
∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE.
∵AB∩BM＝B，AB，BM?平面ABE，∴DE⊥平面ABE.
∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾，∴DE与平面ABC不垂直．
22．(12分)已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M为AC上一点，N为BF上一点，且AM＝FN＝x，设AB＝a.
(1)求证：MN∥平面CBE.
(2)求证：MN⊥AB.
(3)当x为何值时，MN取最小值？并求出这个最小值．
解：
(1)证明：如图，在平面ABCD中，作MG∥AB，在平面BFE中，作NH∥EF，连接GH.因为AM＝FN，所以MC＝NB，因为＝＝＝，所以MG綊NH，
所以四边形MNHG为平行四边形，所以MN∥GH，
又因为GH?平面CBE，MN?平面BEC，所以MN∥平面CBE.
(2)证明：因为AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE＝B，所以AB⊥平面CBE，
因为GH?平面CBE，所以AB⊥GH，
因为MN∥GH，所以MN⊥AB.
(3)因为平面ABCD⊥平面ABEF，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥BC.
因为BG＝，BH＝，
所以MN＝GH＝＝＝(0当且仅当x＝a时，等号成立，所以当x＝a时，MN取最小值a.