阶段性评估(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在空间中，下列命题中正确的是( )
A．若两直线a，b与直线l所成的角相等，那么a∥b
B．若两直线a，b与平面α所成的角相等，那么a∥b
C．如果直线l与两平面α，β所成的角都是直角，那么α∥β
D．若平面γ与两平面α，β所成的二面角都是直二面角，那么α∥β
2．如图为一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，线段AB，CD的位置关系是( )
A．平行
B．垂直但不相交
C．异面但不垂直
D．相交
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．6
4．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线
B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线
C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β
D．若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行
5．已知PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( )
A．PB⊥BC
B．PD⊥CD
C．PD⊥BD
D．PA⊥BD
6．下列命题中不正确命题的个数是( )
①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；
②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；
③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；
④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．
A．1
B．2
C．3
D．4
7．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点H是棱B1C1的中点，则四边形BDD1H是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．空间四边形
D．菱形
8．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1，BD1，BC的中点，给出下面四个命题：
①MN∥平面APC；②B1Q∥平面DMN；
③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.
正确的序号为( )
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④
9．如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
10．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
11．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列命题中真命题为( )
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－FED的体积有最大值．
A．①
B．①②
C．①②③
D．②③
12．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的取值情况是( )
A．有且仅有一个
B．至少有一个
C．至多有一个
D．有无数个
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是(
).
14．过正方体ABCD—A1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是(
)
15．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，E是A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，则的值为(
)
16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是2，则点F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长是(
).
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知：空间四边形ABCD中，如图，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且＝＝.
求证：(1)E，F，G，H四点共面；
(2)三条直线EF，GH，AC交于一点．
18．(12分)如图，已知矩形ABCD中，PA⊥平面ABCD，M，N，R分别是AB，PC，CD的中点．
求证：(1)直线AR∥平面PMC；
(2)直线MN⊥直线AB.
19．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.
(1)若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA；
(2)若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：直线l∥平面PBC.
20．(12分)如图1，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE＝BF＝2，AB＝2.现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB，且EF＝2AB，得一简单组合体ABCDEF，如图2所示，已知M，N，P分别为AF，BD，EF的中点．
(1)求证：MN∥平面BCF；
(2)求证：AP⊥平面DAE.
21．(12分)四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．
(1)写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明)；
(2)在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD.
22．(12分)如图，在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．
(1)求证：不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?阶段性评估(二)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在空间中，下列命题中正确的是( C )
A．若两直线a，b与直线l所成的角相等，那么a∥b
B．若两直线a，b与平面α所成的角相等，那么a∥b
C．如果直线l与两平面α，β所成的角都是直角，那么α∥β
D．若平面γ与两平面α，β所成的二面角都是直二面角，那么α∥β
解析：A错，两直线可平行或相交或异面；B错，若两直线与平面α所成角相等，两直线可平行，也可相交(如圆锥的每一条母线与圆锥的底面所成角均相等)；C正确，据已知直线l⊥α，l⊥β，故必有α∥β；D错误，据题意得α⊥γ，β⊥γ，则α，β可平行也可相交(如墙角或长方体从一顶点引出的三个平面，注意长方体是空间想象的一个重要模型，考生应很好地利用它)．
2．如图为一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，线段AB，CD的位置关系是( D )
A．平行
B．垂直但不相交
C．异面但不垂直
D．相交
解析：将表面展开图还原易得直线AB与CD为相交直线，故选D.
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．6
解析：仅有平面ABCD和平面A1B1C1D1与直线AA1垂直．
4．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( B )
A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线
B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线
C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β
D．若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行
解析：A中，m，n可以是相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m，n也可能异面．
5．已知PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( C )
A．PB⊥BC
B．PD⊥CD
C．PD⊥BD
D．PA⊥BD
解析：如图所示，由PA⊥矩形ABCD可得BC⊥平面PAB，DA⊥平面PAB，DC⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，则有PB⊥BC，PD⊥CD，PA⊥BD均正确，而PD⊥BD不正确，故应选C.
6．下列命题中不正确命题的个数是( C )
①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；
②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；
③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；
④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：
考查正方体中互相垂直的线和平面．对于①：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知平面垂直，如图中平面A1D和平面A1B与平面AC都垂直，故①错；对于②：过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直，这是错误的，如图中平面A1D和平面A1B都与平面AC垂直，故②错；对于③：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行，如图中过C1的与A1B1和AD都平行的平面就不存在，故③错；对于④：过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直是正确的．故选C.
7．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点H是棱B1C1的中点，则四边形BDD1H是( C )
A．平行四边形
B．矩形
C．空间四边形
D．菱形
解析：∵D1H与DB是异面直线，∴四边形BDD1H是空间四边形，故应选C.
8．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1，BD1，BC的中点，给出下面四个命题：
①MN∥平面APC；②B1Q∥平面DMN；
③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.
正确的序号为( A )
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④
解析：逐一判断．因为MN∥AC，MN?平面APC，AC?平面APC，所以MN∥平面APC，故①正确；又因为B1Q∥ND，B1Q?平面DMN，ND?平面DMN，所以B1Q∥平面DMN，故②正确；因为A，P，C1三点共线，所以③错误；平面MNQ与平面APC相交，故④错误．
9．如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为( C )
A．K
B．H
C．G
D．B′
解析：当点P与K重合时，平面PEF即为平面KEF，因为KF与三棱柱三条侧棱都平行，不满足题设条件．当P点与H重合时，平面PEF即为平面HEF，当平面HEF与三棱柱两底平面均平行时，有六条棱平行于平面HEF不合题意．当P点与B′点重合时，平面PEF即为平面B′EF，此时三棱柱棱中只有一条棱AB与它平行不合题意．当P点与G点重合时，平面PEF即为平面GEF，此时恰有三棱柱的两条棱AB，A′B′与平面平行满足题意．故应选C.
10．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( D )
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
解析：∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，∴tan∠ADP＝＝＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.
11．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列命题中真命题为( C )
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′－FED的体积有最大值．
A．①
B．①②
C．①②③
D．②③
解析：折叠前DE⊥AF，折叠后其位置关系没有改变．
①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．
②∵BC∥DE，BC平面A′DE，DE?平面A′DE，∴BC∥平面A′DE.
③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的取值情况是( A )
A．有且仅有一个
B．至少有一个
C．至多有一个
D．有无数个
解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ，
又PQ⊥DQ，所以DQ⊥平面PAQ，
所以DQ⊥AQ.
因为BC边上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，
所以在矩形ABCD中，只有一个点Q满足AQ⊥QD.
所以以AD为直径的圆与BC相切，所以BC＝AD＝2AB＝2，即a＝2只有一个值．选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是.
解析：如图，因为B1B∥A1A，所以∠BB1D就是异面直线AA1与B1D所成的角，连接BD.
在Rt△B1BD中，设棱长为1，则B1D＝.
cos∠BB1D＝＝＝.
所以AA1与B1D所成的角的余弦值为.
14．过正方体ABCD—A1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是平行．
解析：因为过A1，C1，B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1，与底面ABCD的交线为l，由于正方体的两底面互相平行，则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.
15．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，E是A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，则的值为.
解析：连接BC1交B1D于点F，连接EF.因为平面A1BC1∩平面B1DE＝EF，A1B∥平面B1DE，所以A1B∥EF，所以＝.因为BC∥B1C1，所以△BDF∽△C1B1F，所以＝.因为D是BC的中点，所以＝，所以＝.
16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是2，则点F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长是.
解析：
如图所示，设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG，EG，则G为BC的中点，分别取B1B，B1C1的中点M，N，连接A1M，MN，A1N，因为A1M∥D1E，所以A1M∥平面D1AE，同理可得MN∥平面D1AE，所以平面A1MN∥平面D1AE.因为A1F∥平面D1AE，所以A1F?平面A1MN，所以点F的轨迹被正方形截得的线段是MN，其长度是.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知：空间四边形ABCD中，如图，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且＝＝.
求证：(1)E，F，G，H四点共面；
(2)三条直线EF，GH，AC交于一点．
证明：(1)在△ABD和△CBD中，
∵E，H分别是AB和AD的中点，∴EH綊BD.
又∵＝＝，∴FG綊BD.∴EH∥FG.
所以，E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)可知，EH∥FG，且EH≠FG，即EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点，设这个交点为P.
∵E，F∈平面ABC，∴EF?平面ABC.
∵P∈EF，∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，
∵平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，
所以EF，GH，AC交于一点．
18．(12分)如图，已知矩形ABCD中，PA⊥平面ABCD，M，N，R分别是AB，PC，CD的中点．
求证：(1)直线AR∥平面PMC；
(2)直线MN⊥直线AB.
证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，M，R分别为AB，CD的中点．∴AM∥CR且AM＝CR.
∴四边形AMCR是平行四边形，∴CM∥AR.
又∵AR?平面PCM，CM?平面PCM，
∴AR∥平面PMC.
(2)连接MR，NR，如图，在矩形ABCD中，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∴AB⊥平面PAD.
?平面PAD∥平面NMR，
∴AB⊥平面MNR，∴AB⊥MN.
19．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.
(1)若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA；
(2)若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：直线l∥平面PBC.
证明：(1)因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AB?平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC.因为CP?平面PBC，所以CP⊥AB.
又CP⊥PB，且PB∩AB＝B，所以CP⊥平面PAB.
又PA?平面PAB，所以CP⊥PA.
(2)在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D.
因为平面PBC⊥平面ABC，且平面PBC∩平面ABC＝BC，PD?平面PBC，所以PD⊥平面ABC.
又l⊥平面ABC，所以l∥PD.
又l?平面PBC，PD?平面PBC，所以l∥平面PBC.
20．(12分)如图1，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE＝BF＝2，AB＝2.现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB，且EF＝2AB，得一简单组合体ABCDEF，如图2所示，已知M，N，P分别为AF，BD，EF的中点．
(1)求证：MN∥平面BCF；
(2)求证：AP⊥平面DAE.
证明：(1)在题图2中，连接AC.
∵四边形ABCD是矩形，N为BD的中点，∴N为AC的中点．
在△ACF中，M为AF的中点，∴MN∥CF.
∵CF?平面BCF，MN平面BCF，∴MN∥平面BCF.
(2)依题意，知DA⊥AB，DA⊥AE，且AB∩AE＝A，∴AD⊥平面ABFE.
又AP?平面ABFE，∴AP⊥AD.
∵P为EF的中点，∴FP＝AB＝2.
又AB∥EF，∴四边形ABFP是平行四边形，
∴AP∥BF，且AP＝BF＝2.
又AE＝2，PE＝2，∴AP2＋AE2＝PE2，
∴∠EAP＝90°，即AP⊥AE.
又AD∩AE＝A，∴AP⊥平面ADE.
21．(12分)四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．
(1)写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明)；
(2)在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD.
解：
(1)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD.
(2)证法一：取PD的中点F，连接EF，CF，如图，
∵E，F分别是PA，PD的中点，
∴EF∥AD，EF＝AD.
在直角梯形ABCD中，BC∥AD，
且BC＝AD，∴EF∥BC，且EF＝BC.
∴四边形BEFC是平行四边形，∴BE∥CF.
又∵CF?平面PCD，BE?平面PCD，
∴BE∥平面PCD.
证法二：取AD的中点N，连接EN，BN，如图，
∵E，N分别是PA，AD的中点，
∴EN∥PD.
又∵EN?平面PCD，∴EN∥平面PCD.
在直角梯形ABCD中，BC∥AD，且BC＝AD＝DN，
∴四边形BCDN是平行四边形，BN∥CD.
又∵BN?平面PCD，∴BN∥平面PCD.
∵BN∩EN＝N，∴平面BEN∥平面PCD.
又BE?平面BEN，∴BE∥平面PCD.
22．(12分)如图，在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．
(1)求证：不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?
解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
又＝＝λ(0<λ<1)，
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.
又EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC.
∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)，知BE⊥EF.
若平面BEF⊥平面ACD，又平面BEF∩平面ACD＝EF，则BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝，AB＝tan60°＝，∴AC＝＝.
由AB2＝AE·AC，得AE＝，∴λ＝＝，
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
