模块综合评估(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列几何体中棱柱有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
2．已知直线l1经过A(－3,4)，B(－8，－1)两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2( )
A．垂直
B．平行
C．重合
D．相交但不垂直
3．经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程是( )
A．x＋y＝2
B．x＋y＝1
C．x＝1或y＝1
D．x＋y＝2或x＝y
4．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中正确命题的序号是( )
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
5．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直线的方程是( )
A．y＝－3x或y＝x
B．y＝3x或y＝－x
C．y＝－3x或y＝－x
D．y＝3x或y＝x
6．一个容器形如倒置的等边圆锥，如下图，当所盛水深是容器高的一半时，将容器倒转，此时水深是容器高的( )
A．1＋
B.
C．1－
D．1－
7．某棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为( )
A．8＋4
B．20
C．12＋4
D．8＋12
8．在坐标平面yOz上，与两点A(1,2,3)与B(－2,2,0)距离相等的点有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
9．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A．(－，)
B．[－，]
C.
D.
10．正方体的外接球与内切球的表面积分别为S1和S2，则( )
A．S1＝2S2
B．S1＝3S2
C．S1＝4S2
D．S1＝2S2
11．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S—ABC的体积为( )
A．3
B．2
C.
D．1
12．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( )
A．y2－4x＋4y＋8＝0
B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0
D．y2－2x－y－1＝0
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．直线l1的斜率为1，直线l2在x轴的截距为，且l1∥l2，则直线l2的方程是(
).
14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(
).
15．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点H与点C重合；
②点D与点M与点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确命题的序号为(
)..
16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是(
).．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2,0)．
(1)求直线CD的方程；
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．
18．(12分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．
(1)求证：CD∥平面A1EB；
(2)求证：AB1⊥平面A1EB.
19．(12分)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切．
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P(x0，y0)满足|PO|2＝|PA|·|PB|，求x＋y的取值范围．
20．(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．
21．(12分)在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D，E分别为BC，CA的中点．
(1)试在BC上求作一点F，使AD∥平面PEF，并证明你的结论．
(2)设AB＝PA＝2，对于(1)中的点F，求三棱锥B—PEF的体积．
22．(12分)已知直线l：y＝k(x＋2)与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S.
(1)试将S表示成k的函数S(k)，并求出它的定义域；
(2)求S的最大值，并求取得最大值时k的值．模块综合评估(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列几何体中棱柱有( D )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
解析：由棱柱定义知，①③为棱柱．
2．已知直线l1经过A(－3,4)，B(－8，－1)两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2( A )
A．垂直
B．平行
C．重合
D．相交但不垂直
解析：本题考查直线的斜率、倾斜角及平面上两直线的位置关系．由题意可知直线l1的斜率k1＝＝1，又由直线l2的倾斜角是135°，可知其斜率k2＝tan135°＝－1，所以k1k2＝－1，故直线l1与直线l2垂直．
3．经过点M(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程是( D )
A．x＋y＝2
B．x＋y＝1
C．x＝1或y＝1
D．x＋y＝2或x＝y
解析：当直线过原点时，所求直线方程为y＝x；当直线不过原点时，设所求直线方程为x＋y＝a，把(1,1)代入得a＝2.所以x＋y＝2为所求．
4．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中正确命题的序号是( D )
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
解析：①中与两平行平面都平行的直线可平行，可相交，还可异面，④中两直线可能垂直或异面．
5．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直线的方程是( A )
A．y＝－3x或y＝x
B．y＝3x或y＝－x
C．y＝－3x或y＝－x
D．y＝3x或y＝x
解析：由题知圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0的圆心为(2，－1)，半径为
.设切线为y＝kx，则＝，解得k＝－3或.
6．一个容器形如倒置的等边圆锥，如下图，当所盛水深是容器高的一半时，将容器倒转，此时水深是容器高的( C )
A．1＋
B.
C．1－
D．1－
解析：V水∶V容器＝3∶13＝1∶8，倒置后，容器内空气所占部分为圆锥，体积占容器的，高为容器高的
＝，故水深是容器高的1－.
7．某棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为( C )
A．8＋4
B．20
C．12＋4
D．8＋12
解析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，且四棱锥的顶点在底面的投影为底面矩形的中心．四棱锥的高为2，底面矩形的相邻两个边长分别为4、6，两相邻侧面的斜高分别为＝、＝＝2.
所以侧面积为2＝4＋12.
8．在坐标平面yOz上，与两点A(1,2,3)与B(－2,2,0)距离相等的点有( D )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
解析：设点P(0，y，z)在坐标平面yOz上，由|PA|＝|PB|.得(0－1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝(0＋2)2＋(y－2)2＋z2，解得z＝1，y∈R，所以符合条件的点有无数个．
9．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( D )
A．(－，)
B．[－，]
C.
D.
解析：过A(4,0)的直线l可设为y＝k(x－4)，代入(x－2)2＋y2＝1中，得(1＋k2)x2－4(1＋2k2)x＋16k2＋3＝0.由Δ＝16(1＋2k2)2－4(1＋k2)(16k2＋3)＝－12k2＋4≥0，解得k∈.
10．正方体的外接球与内切球的表面积分别为S1和S2，则( B )
A．S1＝2S2
B．S1＝3S2
C．S1＝4S2
D．S1＝2S2
解析：不妨设正方体的棱长为1，则外接球直径为正方体的对角线，长为，而内切球直径为1，所以＝2＝3，所以S1＝3S2.
11．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S—ABC的体积为( C )
A．3
B．2
C.
D．1
解析：
如图，过AB作与直径SC垂直的球的截面，交SC于点D，在Rt△SAC中，SA＝SC·cos30°＝2，AD＝SA·sin30°＝，同理BD＝，故△ABD为正三角形．S△ABD＝××sin60°＝，故VS—ABC＝×4×＝.
12．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( C )
A．y2－4x＋4y＋8＝0
B．y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0
D．y2－2x－y－1＝0
解析：由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)，所以过点C(－2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0.故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．直线l1的斜率为1，直线l2在x轴的截距为，且l1∥l2，则直线l2的方程是x－y－＝0.
解析：因为l1∥l2，直线l1的斜率为1，所以直线l2的斜率为1.又直线l2在x轴的截距为，由点斜式可知直线l2的方程是y＝x－，即x－y－＝0.
14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是24π.
解析：该四棱柱底面积为4，从而底面边长为2，其外接球的直径为该四棱柱的体对角线，即2R＝＝2，R＝.所以S＝4πR2＝24π.
15．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：
①点H与点C重合；
②点D与点M与点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
其中正确命题的序号为②④.
解析：本题考查空间想象能力．
16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是[－2，2]．
解析：圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝4.
先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P到圆心的距离为2”．
再将“直线上存在点P到圆心的距离为2”转化为“圆心到直线的距离小于或等于2”．
即≤2，解得－2≤k≤2.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方程为2x－y－2＝0，点C(2,0)．
(1)求直线CD的方程；
(2)求AB边上的高CE所在的直线方程．
解：(1)因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD.所以kCD＝kAB＝2.
所以直线CD的方程为y＝2(x－2)，即2x－y－4＝0.
(2)因为CE⊥AB，所以kCE＝－＝－.
所以直线CE的方程为y＝－(x－2)，即x＋2y－2＝0.
18．(12分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．
(1)求证：CD∥平面A1EB；
(2)求证：AB1⊥平面A1EB.
证明：(1)设A1B与AB1交于F，连接EF，则EF∥CD，又CD?平面A1EB，EF?平面A1EB，
故CD∥平面A1EB.
(2)由CD∥EF，CD⊥平面A1B1BA，∴EF⊥平面A1B1BA，
又AB1?平面A1B1BA，∴EF⊥AB1，
又∵A1B⊥AB1，又EF∩A1B＝F，故AB1⊥平面A1EB.
19．(12分)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切．
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P(x0，y0)满足|PO|2＝|PA|·|PB|，求x＋y的取值范围．
解：(1)由题意知，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，
即r＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2＝4.
(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1由x2＋y2＝4，得A(－2,0)，B(2,0)，
由|PO|2＝|PA|·|PB|，得·＝x＋y，整理得x－y＝2，
所以令t＝x＋y＝2y＋2＝2(y＋1)．
因为点P(x0，y0)在圆O内，所以由此得0≤y<1，
所以2≤2(y＋1)<4，所以t∈[2,4)，所以(x＋y)∈[2,4)．
20．(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．
解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.
同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD.
又PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC.
(2)如图，设BD与AC交于点O，连接OE.
因为PC⊥平面BDE，BE、OE?平面BDE.
所以PC⊥BE，PC⊥OE.
所以∠BEO即为二面角B－PC－A的平面角．
由(1)知BD⊥平面PAC.
又OE、AC?平面PAC，所以BD⊥OE，BD⊥AC，故矩形ABCD为正方形，
所以BD＝AC＝2，BO＝BD＝.
由PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD得PA⊥BC.
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
而PB?平面PAB，所以BC⊥PB.
在Rt△PAB中，PB＝＝，
在Rt△PAC中，PC＝＝3.
在Rt△PBC中，由PB·BC＝PC·BE，得BE＝.
在Rt△BOE中，OE＝＝.所以tan∠BEO＝＝3，
即二面角B－PC－A的正切值为3.
21．(12分)在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D，E分别为BC，CA的中点．
(1)试在BC上求作一点F，使AD∥平面PEF，并证明你的结论．
(2)设AB＝PA＝2，对于(1)中的点F，求三棱锥B—PEF的体积．
解：(1)CD的中点F即为所求．证明如下：取CD的中点F，
∵E，F分别为CA，CD的中点，∴AD∥EF.
又AD?平面PEF，EF?平面PEF，∴AD∥平面PEF.
(2)∵VB—PEF＝VP—BEF，又S△BEF＝BF×EF＝×BC×AD＝.
∴VB—PEF＝VP—BEF＝S△BEF×PA＝.
22．(12分)已知直线l：y＝k(x＋2)与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S.
(1)试将S表示成k的函数S(k)，并求出它的定义域；
(2)求S的最大值，并求取得最大值时k的值．
解：(1)如图，直线l的方程为kx－y＋2k＝0(k≠0)，原点O到l的距离为|OC|＝，
弦长|AB|＝2＝2，
△ABO的面积S＝|AB|·|OC|＝.
因为|AB|>0，所以－1(2)令＝t，因为－1所以S(k)＝＝4＝4.
所以当t＝，即＝，k2＝，k＝±时，Smax＝2.
