第一章单元质量评估(一)
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．函数f(x)＝·sinx的导数为( C )
A．f′(x)＝2·sinx＋·cosx
B．f′(x)＝2·sinx－·cosx
C．f′(x)＝＋·cosx
D．f′(x)＝－·cosx
解析：f′(x)＝()′·sinx＋·(sinx)′＝·sinx＋·cosx，故选C.
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( A )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
解析：∵y′＝2x＋a，
∴曲线y＝x2＋ax＋b在(0，b)处的切线方程的斜率为a，
切线方程为y－b＝ax，即ax－y＋b＝0.∴a＝1，b＝1.
3．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝( B )
A．e2
B．e
C.
D．ln2
解析：f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，
∴f′(x0)＝lnx0＋1＝2，∴x0＝e.
4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( B )
A．0
B．－4
C．－2
D．2
解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
5．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( B )
A．－
B.
C．－
D.
解析：因为y′＝＝，所以y′|x＝＝，故曲线在点M处的切线的斜率为.
6．如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，给出下面四个判断：
①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；
④x＝2是f(x)的极小值点．
其中，所有正确判断的序号是( B )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①②③④
解析：由函数y＝f(x)的导函数的图象可知：
(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；
(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．
7．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( A )
A．0≤a≤21
B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21
D．a＝0或a＝21
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．故选A.
8．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8
300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( D )
A．30元
B．60元
C．28
000元
D．23
000元
解析：设毛利润为L(P)，
由题意知L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)
＝(8
300－170P－P2)(P－20)
＝－P3－150P2＋11
700P－166
000，
所以L′(P)＝－3P2－300P＋11
700，
令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23
000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23
000元．
9．函数f(x)＝－(aA．f(a)＝f(b)
B．f(a)C．f(a)>f(b)
D．f(a)，f(b)大小关系不能确定
解析：f′(x)＝－＝，
当x<1时，f′(x)<0，即f(x)在区间(－∞，1)上单调递减，
又∵af(b)．
10．函数f(x)＝－x3＋x2＋x－2的零点个数及分布情况为( A )
A．一个零点，在内
B．二个零点，分别在，(0，＋∞)内
C．三个零点，分别在，，(1，＋∞)内
D．三个零点，分别在，(0,1)，(1，＋∞)内
解析：利用导数法易得函数f(x)在内单调递减，在内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，而f＝－<0，f(1)＝－1<0，故函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点，且交点横坐标在内，故选A.
11．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( C )
A．f(0)＋f(2)<2f(1)
B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)>2f(1)
解析：当1≤x≤2时，f′(x)≥0，则f(2)≥f(1)；
而当0≤x≤1时，f′(x)≤0，则f(1)≤f(0)，
从而f(0)＋f(2)≥2f(1)．
12．设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f′(x)>f(x)，对任意的正数a，下面不等式恒成立的是( B )
A．f(a)B．f(a)>eaf(0)
C．f(a)<
D．f(a)>
解析：构造函数g(x)＝，则g′(x)＝>0，故函数g(x)＝在R上单调递增，所以g(a)>g(0)，即>，即f(a)>eaf(0)．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线的方程为x＋y－2＝0.
解析：设所求切线与曲线的切点为P(x0，y0)，
∵y′＝－，∴y′x＝x0＝－，所求切线的方程为
y－y0＝－(x－x0)．
∵点(2,0)在切线上，
∴0－y0＝－(2－x0)，
∴xy0＝2－x0.①
又∵x0y0＝1，②
由①②解得
∴所求直线方程为x＋y－2＝0.
14．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为(1,1)．
解析：∵y′＝ex，∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k＝1.又曲线y＝(x>0)上点P处的切线与曲线y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，∴曲线y＝(x>0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，∵y′＝′＝－x－2，∴曲线y＝(x>0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，解得a＝1，又P(a，b)在曲线y＝上，∴b＝1，故点P的坐标为(1,1)．
15．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N＋)的前n项和是.
解析：f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，得
则f(x)＝x2＋x，＝＝－，
其和为＋＋＋…＋＝1－＝.
16．已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为[1，＋∞)．
解析：根据题意，知f′(x)＝mx＋－2≥0对一切x>0恒成立，∴m≥－2＋，令g(x)＝－2＋＝－2＋1，则当＝1时，函数g(x)取得最大值1，故m≥1.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)设函数f(x)＝－x3－2mx2－m2x＋1－m(其中m>－2)的图象在x＝2处的切线与直线y＝－5x＋12平行．
(1)求m的值；
(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最小值．
解：(1)因为f′(x)＝－3x2－4mx－m2，
所以f′(2)＝－12－8m－m2＝－5，
解得m＝－1或m＝－7(舍去)，即m＝－1.
(2)令f′(x)＝－3x2＋4x－1＝0，
解得x1＝1，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
1
f′(x)
－
＋
f(x)
2
?
?
2
所以函数f(x)在区间[0,1]上的最小值为f＝.
18．(12分)已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k>0)，若f(x)的单调递减区间是(0,4)，
(1)求k的值；
(2)当k3－.
解：(1)f′(x)＝3kx2－6(k＋1)x，
由f′(x)<0得0∵f(x)的递减区间是(0,4)，
∴＝4，∴k＝1.
(2)证明：设g(x)＝2＋，g′(x)＝－.
当x>1时，1<，
∴g′(x)>0，∴g(x)在x∈[1，＋∞)上单调递增．
∴x>1时，g(x)>g(1)，即2＋>3，
∴2>3－.
19．(12分)已知函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围．
解：(1)当k＝0时，f(x)＝－3x2＋1，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为[0，＋∞)．
当k>0时，f′(x)＝3kx2－6x＝3kx，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，，单调减区间为.
(2)当k＝0时，函数f(x)不存在极小值，
当k>0时，依题意得f＝－＋1>0，
即k2>4，所以k的取值范围为(2，＋∞)．
20．(12分)湖北宜昌“三峡人家”风景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b为常数，当x＝10时，y＝19.2；当x＝20时，y＝35.7.(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)
(1)求f(x)的解析式；
(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游收入－投入)
解：(1)由条件得
解得a＝－，b＝1，
则f(x)＝－＋x－ln(x≥10)．
(2)由题意知T(x)＝f(x)－x＝－＋x－ln(x≥10)，
则T′(x)＝＋－＝－，
令T′(x)＝0，则x＝1(舍去)或x＝50.
当x∈(10,50)时，T′(x)>0，T(x)在(10,50)上是增函数；
当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，T(x)在(50，＋∞)上是减函数，
∴x＝50为T(x)的极大值点，又T(50)＝24.4.
故该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元．
21．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值．
(1)求c的取值范围；
(2)若f(x)在x＝2处取得极值，且当x<0时，f(x)解：(1)∵f(x)＝x3－x2＋cx＋d，
∴f′(x)＝x2－x＋c，要使f(x)有极值，则方程f′(x)＝x2－x＋c＝0，有两个实数解，从而Δ＝1－4c>0，∴c<.
(2)∵f(x)在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝4－2＋c＝0，
∴c＝－2.∴f(x)＝x3－x2－2x＋d.
∵f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)，
∴当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，函数单调递增，当x∈(－1,2]时，f′(x)<0，函数单调递减．
∴x<0时，f(x)在x＝－1处取得最大值＋d，
∵x<0时，f(x)∴＋d0，
∴d<－7或d>1，
即d的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞)．
22．(12分)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
解：(1)f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.
于是，当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln2)
ln2
(ln2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
2－2ln2＋2a
单调递增
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝2－2ln2＋2a.
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)及a>ln2－1知，对任意x∈R，都有g′(x)≥g′(ln2)＝2－2ln2＋2a>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是，当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)，而g(0)＝0，
从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，
即ex－x2＋2ax－1>0，
故ex>x2－2ax＋1.第一章单元质量评估(一)
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．函数f(x)＝·sinx的导数为( )
A．f′(x)＝2·sinx＋·cosx
B．f′(x)＝2·sinx－·cosx
C．f′(x)＝＋·cosx
D．f′(x)＝－·cosx
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
3．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2
B．e
C.
D．ln2
4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )
A．0
B．－4
C．－2
D．2
5．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－
B.
C．－
D.
6．如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，给出下面四个判断：
①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；
④x＝2是f(x)的极小值点．
其中，所有正确判断的序号是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①②③④
7．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．0≤a≤21
B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21
D．a＝0或a＝21
8．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8
300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元
B．60元
C．28
000元
D．23
000元
9．函数f(x)＝－(aA．f(a)＝f(b)
B．f(a)C．f(a)>f(b)
D．f(a)，f(b)大小关系不能确定
10．函数f(x)＝－x3＋x2＋x－2的零点个数及分布情况为( )
A．一个零点，在内
B．二个零点，分别在，(0，＋∞)内
C．三个零点，分别在，，(1，＋∞)内
D．三个零点，分别在，(0,1)，(1，＋∞)内
11．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1)
B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)>2f(1)
12．设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f′(x)>f(x)，对任意的正数a，下面不等式恒成立的是( )
A．f(a)B．f(a)>eaf(0)
C．f(a)<
D．f(a)>
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线的方程为(
).
14．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为(
)
15．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N＋)的前n项和是(
).
16．已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为(
)
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)设函数f(x)＝－x3－2mx2－m2x＋1－m(其中m>－2)的图象在x＝2处的切线与直线y＝－5x＋12平行．
(1)求m的值；
(2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最小值．
18．(12分)已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k>0)，若f(x)的单调递减区间是(0,4)，
(1)求k的值；
(2)当k3－.
19．(12分)已知函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围．
20．(12分)湖北宜昌“三峡人家”风景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b为常数，当x＝10时，y＝19.2；当x＝20时，y＝35.7.(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)
(1)求f(x)的解析式；
(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游收入－投入)
21．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值．
(1)求c的取值范围；
(2)若f(x)在x＝2处取得极值，且当x<0时，f(x)22．(12分)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
